2022年《两角和与差的正切》课堂实录 .pdf

学习必备欢迎下载两角和与差的正切课堂实录师：前面我们学习了两角和与差的正、余弦公式，请大家回忆有关公式( 学生口答，教师板书公式 )sin() 与 cos( ) 是讨论复角 与单角 、 的正、余弦函数间的关系， 且此关系对任意角、 均成立 . 今天我们要讨论tan( ) 与 tan 、tan 间的关系 .大家想想，能用tan 、tan 来表示 tan( ) 吗？ 以旧引新，创设问题的情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动.生：( 这里提示学生如何用tan 、tan 表示 ) ( 启发学生将- 看成 +(- ) 或师：可以看出， 以上推导是把两角和( 或差 ) 的正切转化为两角和( 或差 ) 的正、 余弦；把两角差的正切转化为两角和的正切，即都采用了“转化”的思想方法，这种思想方法是研究数学问题的基本思想方法. 在上面推导过程中，是否还有其他值得注意的地方？( 稍加停顿，启发学生回答) 分子、分母同除以coscos ，有没有条件限制？生： cos0， cos 0师：还有什么限制？生： cos( ) 0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载师：因此，在公式T 中，必须注意、 的取值范围，应该是使tan 、tan 及tan( ) 都存在的那些值， 即 、 及 都不能取， 若，那么求 tan( )的值，就不能运用公式T+，此时应该用诱导公式. 明确定理、公式成立的条件并从公式推导中提炼思想方法，使学生的认识完整化.师：用什么方法能记住公式T呢？( 让学生议论 ) 生甲：这两个公式不必硬记，记住其推导过程，公式就自然记住了. 生乙： 这两个公式的形式相同，区别仅在于符号上，我觉得只要记住两点：一是右边分子里中间的符号与左边 中间的符号相同；二是分母中间的符号与分子中间的符号相反. 理解记忆和对比记忆都是记忆的有效方法师：我们通过以下的例题来看看如何运用公式例 1：不查表，求值：(1)tan75 (2)(3)(4)( 让学生互相讨论解决，教师巡视指导，并作小结.) 师：通过上例，有以下几个方面值得我们注意：(1) 将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值. (2) 运用公式时，不能仅局限在从左到右的使用，还要善于从右到左的逆用. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(3) 单角和复角是相对的， 60+ 与 30+ 也均可看成单角，那么30角就是它们的差角，因此例1(3) 直接逆用公式T-即可，没有必要将tan(60 + ) 、tan(30 + ) 用公式 T+展开后计算 . (4) 掌握变形技巧，灵活进行“1”的代换. 如例 1(4) 通过例 1(1) 的解法暗示1 可用 tan45来代换 . 恰当地使用暗示，达到启发学生思维的良好效果.师：下面，我们讨论例2. 例 2：不查表，求值：(1)tan15 +tan30+tan15tan30(2)tan17 tan43+tan17tan30+tan43tan30( 让学生思考和讨论，教师进行必要的启发诱导.) 生：第 (1) 题可以仿照求tan75的方法求出tan15，再求出整个式子的值. 师：实际上大家都已注意到，15和30两角的和是特殊角45，能否直接运用公式T+？如果能用，怎么用法？tan15+tan30相当于公式中的tan +tan ，那么这一部分怎样表示呢？( 教师配之以手的形象动作，启发学生进行公式变形.) 生：可将公式T+变形为 tan +tan =tan( +)(1-tantan ) (*) 师：例 2(1) 能用 (*) 式来解吗？请你继续说下去. 生：tan15+tan30+tan15tan30=tan(15 +30)(1- tan15tan30)+tan15 tan30=1 通过具体例子显示出灵活运用公式的优越性，必将给学生留下深刻的印象，有利用学生解题技巧的形成.师：这里说明， 对于公式我们不仅要会正用，还要会逆用， 有时还需要适当变形后再用.大家能否用这样的思想自己完成例2(2) ( 让一学生板演) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3：已知 tan 与 tan 是一元二次方程3x2+5x-2=0 的两个根，且0 90，90 180(1) 求 + 的值(2) 求 cot( - ) 师：求 + 的值，一般是通过求它的某个三角函数值而得到. 求哪一个三角函数值较方便？求值的条件具备了吗？生：可直接求出方程的两根，x2=- 2 0 90 90 180，tan =-2 运用公式T+问题即可解决( 以下略 ) 师： 能不求方程的根吗？实际上，在公式 T+里， 出现的是 tan +tan 与 tan tan .你能联想到什么知识？ 不失时机地联系旧知识，在以新带旧的过程中，数学知识可以不断得到深化，学生的思维能力可以得到提高.生：由一元二次方程根与系数的关系有：，+=135师：上面解法，有没有问题？( 略停顿，引导学生观察、思考.) 由 tan( +)=-1 能肯定 +=135吗？其依据是什么？生： 0 90，90 18090 +270在 90与270之间，只有 135的正切值为-1 ， +=135 特别提醒学生，这种忽略讨论角度范围的错误，在学习中是常见的，要引起足够的重视，以培养学生思维的严密性.师：不求方程的根，tan -tan 如何求呢？( 引导观察tan -tan ，tan +tan ，tan tan 三者之间的关系，进而启发学生得到下面方法 .) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载又 tan -tan 0 根据代数知识，创造运用公式的条件，以使学生灵活地综合运用学过的知识，培养分析与解决问题的能力.师：请小结一下本课所讲的内容. 生：主要内容有推导公式，讨论公式中，、 的取值范围， 如何运用公式？做到三会：正用、逆用、变形用. 师：课外做如下作业阅读课文有关内容( 略 ) 课本习题 ( 略) 研究题1. 若 tan 与 tan 是方程 x2-4x+1=0 的两个根，且、 均为锐角，求+ 的值. 2. 不查表，求 (1+tan1 )(1+tan2 ) (1+tan43 )(1+tan44 ) 的值. 3. 求证： tan(A-B)+tan(B-C)+tan(C-A)=tan(A-B)tan(B-C)tan(C-A) 点评： 1. 激发联想，殊途同归，加强学生的思维能力. 2. 大胆猜想，分类转化，活跃学生的创造性思维. 3. 运用多种教学策略，实现新课程提倡的综合化的教学目标. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -