2022年《一元二次方程的解法》经典例题精讲 .pdf

精品资料欢迎下载一元二次方程的解法经典例题精讲例 1 解方程025x2分析： 解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好解：025x2，25x2，25x，x55x5x21，例 2 解方程2)3x(2分析： 如果把 x3 看作一个字母 y，就变成解方程2y2了解：2)3x(2，23x，23x23x，或，23x23x21，例 3 解方程081)2x(42分析： 解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好解：081)2x(42整理，81)2x(42，481)2x(2，292x，25x213x21，注意： 对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若ax2，则ax；若b)ax(2，则abx例 4 解方程02x3x2分析： 此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解解法一：02x3x2，(x 2)(x 1)0，x20，x10，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载2x1x21，解法二：a1，b3，c2，01214)3(ac4b22，213x1x2x21，注意： 用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c 的值，先计算“”的值，若0，则方程无解，就不必解了例 5 解关于 x 的方程0n)nm2x3(mx22分析： 先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于 x 的方程，即 x 为未知数， m ，n 为已知数在确定0ac4b2的情况下，利用公式法求解解：把原方程左边展开，整理，得0)nmnm2(mx3x222a1，b3m ，22nmnm2c，)nmnm2(14)m3(ac4b222222n4mn4m0)n2m(22)n2m(m3x22)n2m(m3nmxnm2x21，注意： 解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a、b、c 和ac4b2的值，然后求解但解字母系数方程时要注意： (1) 哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2) 不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c 与方程中字母系数的a、b、c 相混淆；(3) 在ac4b2开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n2m()n2m(2例 6 用配方法解方程x73x22分析： 解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住解：x73x22，023x27x2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载0234747x27x22，162547x2，4547x21x3x21，注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项， 右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方例 7 不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x3x22；(2)y249y162；(3)0 x7) 1x(52分析： 要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac4b2的值的符号就可以了解：(1) a2，b3，c4，041)4(243ac4b22方程有两个不相等的实数根(2) a16，b24，c9，09164)24(ac4b22方程有两个相等的实数解(3) 将方程化为一般形式0 x75x52，05x7x52a4，b7，c5，554)7(ac4b2249100 510方程无实数解注意： 对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c 的符号例 8 已知方程06kxx52的一个根是 2，求另一根及 k 的值分析： 根据韦达定理acxxabxx2121，易得另一根和 k 的值再是根据方程解的意义可知x2 时方程成立， 即把 x2 代入原方程， 先求出 k 值，再求出方程的另一根但方法不如第一种解：设另一根为2x，则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载56x25kx222，53x2，k7即方程的另一根为53，k 的值为 7注意： 一元二次方程的两根之和为ab，两根之积为ac例 9 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x3x22两根的(1) 平方和； (2) 倒数和分析： 已知21xx23xx2121，要求 (1)2221xx，(2)21x1x1，关键是把2221xx、21x1x1转化为含有2121xxxx、的式子因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2 倍，即ab2ba)ba(222，所以ab2)ba(ba222，由此可求出 (1) 同样，可用两数和与积表示两数的倒数和解：(1) 21xx23xx2121，212212221xx2)xx(xx212232149413；(2)211221xxxxx1x121233注意： 利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式例 10 已知方程0mx4x22的两根平方和是34，求 m的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载分析：已知34xx2mxx2xx22212121，求 m就要在上面三个式子中设法用222121xxxx和来表示21xx，m便可求出解：设方程的两根为21xx 、，则2mxx2xx2121，212212221xx2)xx(xx，)xx()xx(xx222212212134)2(2302mxx21，m 30注意：解此题的关键是把式子2221xx变成含2121xxxx、的式子，从而求得m的值例 11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10分析：因为任何一元二次方程都可化为( 二次项系数为 1)0qpxx2的形式如设其根为21xx 、，根据根与系数的关系，得qxxpxx2121，将 p、q 的值代入方程0qpxx2中，即得所求方程0 xxx)xx(x21212解：设所求的方程为0qpxx2210p，210q，p12，q20所求的方程为020 x12x2注意：以21xx 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个例 12 已知两个数的和等于8，积等于 9，求这两个数分析： 把这两个数看作某个二次项系数为1 的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是8，常数项应该是 9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数解： 设这两个数为21xx 、， 以这两个数为根的一元二次方程为0qpxx2qxxp8xx2121，方程为09x8x2解这个方程得74x74x21，这两个数为7474和名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 13 如图 22-2-1 ，在长为 32m ，宽为 20m的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路， 余下的部分作为绿化用草地， 要使草地的面积为2m540，那么道路的宽度应是多少？分析： 设道路的宽度为 x m，则两条道路的面积和为2xx20 x32题中的等量关系为：草地面积道路面积长方形面积解：设道路的宽度为 x m，则2032xx20 x3254020100 x52x2，(x 2)(x 50)0，x20，x500，50 x2x21，x50 不合题意，取 x2答：道路的宽度为 2m 注意： 两条道路重合了一部分，重合的面积为2x因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积2x例 14 某钢铁厂去年 1月份钢的产量为 5000 吨，3月份上升到 7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？分析： 设平均每月增长的百分率为x，则增长一次后的产量为5000(1x) ，增长两次后的产量是2)x1(5000，增长 n 次后的产量 b 是n)x1(5000b这就是重要的增长率公式解：设平均每月增长的百分率为x则7200)x1(50002，2536)x1(2，56x1，22x20 x21.，.( 不合题意，舍去 )答：平均每月增长的百分率是20% 注意： 解方程时，由 1x 的值求 x，并舍去负值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -