2022年四川省宜宾市中考数学试卷(及答案).pdf

学科网（北京）股份有限公司 2022年年四川省四川省宜宾市宜宾市中考中考数学数学试卷试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12个小题，每小题个小题，每小题4分，共分，共48分分 1. 4 的平方根是（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 16 2. 如图是由 5 个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算不正确的是（ ） A. 3362aaa+= B. ()236aa-= C. 32aaa= D. 235aaa= 4. 某校在中国共产主义青年团成立 100 周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 94，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，94 5. 如图,在ABCD中，5ABAC=，D是BC上的点,DEAB交AC于点E，DFAC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 6. 2020 年 12 月 17 日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球2021 年 10 月 19 日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为20.300.04亿年用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（ ） （单位：年） A. 82.034 10 B. 92.034 10 C. 82.026 10 D. 92.026 10 7. 某家具厂要在开学前赶制 540 套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成桌凳比原计划多 2 套，结果提前 3 天完成任务问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成的 学科网（北京）股份有限公司 x 套桌凳，则所列方程正确的是（ ） A 54054032xx-=- B. 54054032xx-=+ C. 54054032xx-=+ D. 54054032xx-=- 8. 若关于 x 的一元二次方程2210axx+-=有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A. 0a B. 1a -且0a C. 1a -且0a D. 1a - 9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，5AB =，3BC =，将BCD沿 BD 折叠到BED位置，DE 交 AB 于点F，则cosADF的值为（ ） A. 817 B. 715 C. 1517 D. 815 10. 已知 m、n 是一元二次方程2250 xx+-=两个根，则22mmnm+的值为（ ） A. 0 B. 10 C. 3 D. 10 11. 已知抛物线2yaxbxc=+的图象与 x 轴交于点()2,0A -、()4,0B，若以 AB 为直径的圆与在 x 轴下方的抛物线有交点，则 a 的取值范围是（ ） A. 13a B. 13a C. 103a D. 103a -的解集为_ 15. 如图，ABC中，点 E、F 分别在边 AB、AC 上，12 = 若4BC =，2AF =，3CF =，则EF =_ 16. 数学九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶著作，书中提出了已知三角形三边 a、b、c 求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即为222222142cabSc a+-=-现有周长为 18 的三角形的三边满足: :4:3:2a b c =，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为_ 17. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示） 若直角三角形的内切圆半径为 3，小正方形的面积为 49，则大正方形的面积为_ 的 学科网（北京）股份有限公司 18. 如图，OMN 是边长为 10 的等边三角形，反比例函数 y=kx(x0)的图象与边 MN、OM 分别交于点 A、B（点 B 不与点 M 重合） 若 ABOM 于点 B，则 k 的值为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共7个小题，共个小题，共78分分 19. 计算： （1）124sin3032-+-； （2）21111aaa-+- 20. 已知：如图，点 A、D、C、F 在同一直线上，ABDE，BE= ，BCEF= 求证：ADCF= 21. 在 4 月 23 日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从 4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类） ，选择一类自己最喜欢的书籍进行统计根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息回答问题： 学科网（北京）股份有限公司 （1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求 m 的值； （3）如果选择 C 类书籍的同学中有 2 名女同学，其余为男同学，现要在选择 C 类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率 22. 宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城 2200 周年之际的 2018 年，新建成的东楼（如图 1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地某数学小组为测量东楼的高度，在梯步 A 处（如图 2）测得楼顶 D 的仰角为 45，沿坡比为 7：24 的斜坡 AB 前行 25 米到达平台 B 处，测得楼顶 D 的仰角为 60，求东楼的高度 DE （结果精确到 1 米参考数据：31.7，21.4） 23. 如图，一次函数yaxb=+的图象与 x 轴交于点()40A，与 y 轴交于点 B，与反比例函数()0kyxx=的图象交于点 C、D若tan2BAO=，3BCAC= （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求OCD的面积 24. 如图，点 C 是以 AB 为直径的O上一点，点 D 是 AB 的延长线上一点，在 OA 上取一点 F，过点 F 作AB 的垂线交 AC 于点 G，交 DC 的延长线于点 E，且EGEC= 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：DE 是O的切线； （2）若点 F 是 OA 的中点，4BD =，1sin3D=，求 EC 的长 25. 如图，抛物线2yaxbxc=+与 x 轴交于()3,0A、()1,0B -两点，与 y 轴交于点()0,3C，其顶点为点 D，连结 AC （1）求这条抛物线所对应二次函数的表达式及顶点 D 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上取一点 E，点 F 为抛物线上一动点，使得以点 A、C、E、F 为顶点、AC 为边的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标； （3）在（2）的条件下，将点 D 向下平移 5 个单位得到点 M，点 P 为抛物线的对称轴上一动点，求35PFPM+的最小值 的 学科网（北京）股份有限公司 2022年年四川省四川省宜宾市宜宾市中考中考数学数学试卷试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12个小题，每小题个小题，每小题4分，共分，共48分分 1. 4 的平方根是（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 16 【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x就是 a 的一个平方根 【详解】（ 2 ）2=4， 4 的平方根是2， 故选 A 【点睛】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键. 2. 如图是由 5 个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给几何体判断即可 【详解】解：从正面看，所看到图形是： 故选：D 【点睛】考查几何体三视图的知识，从正面看到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图掌握以上知识是解题的关键 的的 学科网（北京）股份有限公司 3. 下列计算不正确的是（ ） A. 3362aaa+= B. ()236aa-= C. 32aaa= D. 235aaa= 【答案】A 【解析】 【分析】根据合并同类项法则判定 A；根据幂的乘方法则计算并判定 B；根据同底数幂相除法则计算并判定 C；根据同底数幂相乘运算法则计算并判定 D 【详解】解：A、a3+a3=2a3，故此选项符合题意； B、(-a3)2=a6，故此选项不符合题意； C、32aaa=，故此选项不符合题意； D、235aaa=，故此选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除法，同底数幂相除法，熟练掌握合并同类项、幂的乘方 、 ，同底数幂相除法、同底数幂相除法运算法则是解题的关键 4. 某校在中国共产主义青年团成立 100 周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 94，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，94 【答案】D 【解析】 【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义以及众数的定义求解即可 【详解】将这组数据从小到大重新排列为 88，91，93，94，95，95，97， 这组数据的中位数为 94，95 出现了 2 次，次数最多，故众数为 95 故选：D 【点睛】本题主要考查中位数和众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数众数：在一组数据中出现次数最多的数 5. 如图,在ABCD中，5ABAC=，D是BC上的点,DEAB交AC于点E，DFAC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由于 DEAB， DFAC，则可以推出四边形 AFDE 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明AFDE 的周长等于 AB AC 【详解】DEAB，DFAC， 则四边形 AFDE 是平行四边形， B EDC，FDB C AB AC， B C， B FDB，C EDF， BF FD，DE EC， 所以AFDE 的周长等于 AB AC 10 故答案为 B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键 6. 2020 年 12 月 17 日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球2021 年10 月 19 日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为20.300.04亿年用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（ ）（单位：年） A. 82.034 10 B. 92.034 10 C. 82.026 10 D. 92.026 10 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，看小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n 是负整数 【详解】解：20.30亿0.04 亿=20.26 亿=2026000000=2.026109， 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题主要考查科学记数法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数解题关键是正确确定 a 的值以及 n 的值 7. 某家具厂要在开学前赶制 540 套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多 2 套，结果提前 3 天完成任务问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成 x 套桌凳，则所列方程正确的是（ ） A. 54054032xx-=- B. 54054032xx-=+ C. 54054032xx-=+ D. 54054032xx-=- 【答案】C 【解析】 【分析】设原计划每天完成 x 套桌凳，根据“提前 3 天完成任务”列出分式方程即可 【详解】解：设原计划每天完成 x 套桌凳，根据题意得， 54054032xx-=+ 故选：C 【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意是解题的关键 8. 若关于 x 的一元二次方程2210axx+-=有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A. 0a B. 1a -且0a C. 1a -且0a D. 1a - 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出 a0，=22-4a（-1）=4+4a0，再求出即可 【详解】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+2x-1=0 有两个不相等的实数根， a0，=22-4a（-1）=4+4a0， 解得：a-1 且 a0， 故选：B 【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 为常数，a0） ，当 b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac0 时，方程没有实数根 9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，5AB =，3BC =，将BCD沿 BD 折叠到BED位置，DE 交 AB 于点 F，则cosADF的值为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A. 817 B. 715 C. 1517 D. 815 【答案】C 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AFDEFBDD，得出AFEF=，DFBF=，设AFEFx=，则5BFx=-，根据勾股定理列出关于 x 的方程，解方程得出 x 的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可 【详解】解：四边形 ABCD 为矩形， CD=AB=5，AB=BC=3，90AC = =， 根据折叠可知，3BEBC=，5DEDE=，90= =EC， 在AFD 和EFB 中903AEAFDEFBADBE = = =， AFDEFBDD（AAS） ， AFEF=，DFBF=， 设AFEFx=，则5BFx=-， 在Rt BEFD中，222BFEFBE=+， 即()22253xx-=+， 解得：85x =，则817555DFBF=-=， 315cos17175ADADFDF=，故 C 正确 故选：C 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明AFDEFBDD，是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 10. 已知 m、n 是一元二次方程2250 xx+-=的两个根，则22mmnm+的值为（ ） A. 0 B. 10 C. 3 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出 mn=5，把 x=m 代入方程得 m2+2m-5=0，即 m2+2m=5，代入即可求解 【详解】解：m、n 是一元二次方程2250 xx+-=的两个根， mn=5，m2+2m-5=0， m2+2m=5， 22mmnm+=55=10， 故选：A 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出 mn=-5，m2+2m=5 是解题的关键 11. 已知抛物线2yaxbxc=+的图象与 x 轴交于点()2,0A -、()4,0B，若以 AB 为直径的圆与在 x 轴下方的抛物线有交点，则 a 的取值范围是（ ） A. 13a B. 13a C. 103a D. 103a -的解集为_ 【答案】41x- -， 解得：x1， 解得：x-4， -4x-1 故答案为：-40)的图象与边 MN、OM分别交于点 A、B（点 B 不与点 M 重合） 若 ABOM 于点 B，则 k 的值为_ 【答案】9 3 【解析】 【分析】过点 B 作 BCx 轴于点 C，过点 A 作 ADx 轴于点 D，设 OC=x，利用含 30 度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点 B(x，3x)，点 A(15-2x，23x-53)，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解 【详解】解：过点 B 作 BCx 轴于点 C，过点 A 作 ADx 轴于点 D，如图： OMN 是边长为 10 的等边三角形， OM=MN=ON=10，MON=MNO=M=60， OBC=MAB=NAD=30， 设 OC=x，则 OB=2x，BC=3x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x， NA=10-MA=4x-10，DN=12NA=2x-5，AD=3DN=3(2x-5)= 23x-53， OD=ON-DN=15-2x， 点 B(x，3x)，点 A(15-2x，23x-53)， 学科网（北京）股份有限公司 反比例函数 y=kx(x0)的图象与边 MN、OM 分别交于点 A、B， x3x=(15-2x)( 23x-53)， 解得 x=5(舍去)或 x=3， 点 B(3，3 3)， k= 93 故答案为：93 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了等边三角形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共7个小题，共个小题，共78分分 19. 计算： （1）124sin3032-+-； （2）21111aaa-+- 【答案】 （1）3 （2）1a- 【解析】 【分析】 （1）先化简二次根式，把特殊角三角函数值代入，并求绝对值，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可； （2）先计算括号，再运用除法法则转化成乘法计算即可求解 【小问 1 详解】 解：原式12 34232=- +- 3=； 【小问 2 详解】 解：原式211111aaaaa+-=-+ ()()111aaaaa+-=+ 1a=- 【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握实数混合运算与分式混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值 的 学科网（北京）股份有限公司 20. 已知：如图，点 A、D、C、F 在同一直线上，ABDE，BE= ，BCEF= 求证：ADCF= 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据ABDE，可得AEDF= ，根据AAS证明ABCDEF，进而可得ACDF=，根据线段的和差关系即可求解 【详解】证明：ABDE， AEDF= ， 在ABC与DEF中， AEDFBEBCEF = = =， ()AASABCDEF， ACDF=， ACDCDFDC-=-， ADCF= 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键 21. 在 4 月 23 日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从 4 类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类） ，选择一类自己最喜欢的书籍进行统计根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息回答问题： 学科网（北京）股份有限公司 （1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求 m 的值； （3）如果选择 C 类书籍的同学中有 2 名女同学，其余为男同学，现要在选择 C 类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率 【答案】 （1）40 人，见解析 （2）40 （3）23 【解析】 【分析】 （1）根据A类的人数与占比即可求得总人数，进而即可求得C类的人数，补全统计图； （2）根据B的人数与总人数即可求解 （3）用画树状图或列表的方法求概率即可求解 【小问 1 详解】 九（1）班人数：1230%40=（人） ， C 类的人数()4012 16 84=-+=（人） ， 补全的条形统计图为： 【小问 2 详解】 16%100%40%40m=， 40m =， 【小问 3 详解】 （方法一）画树状图： 学科网（北京）股份有限公司 共有 12 种等可能性结果，其中一男一女的机会有 8 种， ()82123P=一男一女 （方法二）列表： 1女 2女 1男 2男 1女 1女2女 1女1男 1女2男 2女 2女1女 2女1男 2女2男 1男 1男1女 1男2女 1男2男 2男 2男1女 2男2女 2男1男 共有 12 种等可能性结果，其中一男一女的机会有 8 种， ()82123P=一男一女 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图或列表的方法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 22. 宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城 2200 周年之际的 2018 年，新建成的东楼（如图 1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地某数学小组为测量东楼的高度，在梯步 A 处（如图 2）测得楼顶 D 的仰角为 45，沿坡比为 7：24 的斜坡 AB 前行25 米到达平台 B 处，测得楼顶 D 的仰角为 60，求东楼的高度 DE （结果精确到 1 米参考数据：31.7，21.4） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】40m 【解析】 【分析】根据7:24i =，25AB =，设7BFa=，则24AFa=，根据勾股定理求得1a =，又设BEx=，则FCBEx=，7CEBF=，求出 DE，根据ACDC=列出方程，解方程进而根据3DEx=即可求解 【详解】解：在Rt ABF中，7:24i =，25AB =， 设7BFa=，则24AFa=，由222AFBFAB+=， 得()()22224725aa+=， 解得：1a =， 7BF =，24AF = 又设BEx=，则FCBEx=，7CEBF= 在Rt BDE中，60DBE=， 则33DEBEx=， 37DCDEECx=+=+， 在RtACD中，45DAC=，则ACDC=， 24AFFCx+=+， 2437xx+=+， 解得：()17132x =+， 17173334022DEx= + 东楼的高度约为 40m 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键 23. 如图，一次函数yaxb=+的图象与 x 轴交于点()40A，与 y 轴交于点 B，与反比例函数()0kyxx=的图象交于点 C、D若tan2BAO=，3BCAC= 学科网（北京）股份有限公司 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求OCD的面积 【答案】 （1）28yx= -+，6yx= （2）8 【解析】 【分析】 （1）根据tan2BAO=，可得出 B 点的坐标，运用待定系数法即可求出 AB 的解析式；再通过比例关系解出点 C 的坐标，可得反比例函数表达式； （2）过 D 作DFy轴，垂足为点F，联列方程组解出点 D 的坐标，再根据OCDAOBODBOACSSSS=-即可求出OCD的面积 【小问 1 详解】 在Rt AOB中，tan2BAO=， 2BOOA=， ()40A，()08B， A、B 两点在函数yaxb=+上， 将()40A，、()08B，代入yaxb=+得 408abb+= 解得2a = -，8b =， 28yx= -+ 设()11C xy，过点 C 作CEx轴，垂足为 E，则CEBO， ACCEABBO=， 又3BCAC=， 学科网（北京）股份有限公司 14ACCEABBO=， 即184CE=，2CE =，即12y =， 1282x-+ =， 13x =， ()32C， 1 13 26kx y= =， 6yx=； 【小问 2 详解】 解方程组286yxyx= -+=，得1116xy=，2232xy= ()32C，()16D ， 过 D 作DFy轴，垂足为点F OCDAOBODBOACSSSS=- 111222OCDSOA OBBO DFOA CE=- ()14 8 8 1 4 22= - - 8= 【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 24. 如图，点 C 是以 AB 为直径O上一点，点 D 是 AB 的延长线上一点，在 OA 上取一点 F，过点 F 作 AB 的垂线交 AC 于点 G，交 DC 的延长线于点 E，且EGEC= （1）求证：DE 是O的切线； （2）若点 F 是 OA 的中点，4BD =，1sin3D=，求 EC 的长 【答案】 （1）见解析 （2）5 24 【解析】 【分析】 （1）连结 OC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理证90OCE=，即可由切线的判定定理得出结论； （2）解RtOCD，求出2CO =，从而求得6OD =，则可求得4 2CD=，再证OCDEFD，得ODCDEDFD=，即可求得21 24ED =，即可由ECEDCD=-求解 【小问 1 详解】 证明：如图，连结 OC， OAOC=， 1A= ， 又EGEC=， 32 = ， 又34 = ， 42 = ， 的 学科网（北京）股份有限公司 又EFAB， 490A + =， 1290 + =，即90OCE=， OCDE， DE 是O的切线； 【小问 2 详解】 解：在RtOCD中，4BD =，1sin3CODOD=， 143COCOCOODOBBDOB=+， 2CO =， 6OD =， 2222624 2CDODOC=-=-=， 又点 F 为 AO 中点， 112122FOAO=， 7FDFOOD=+=， DD= ，90OCDEFD= = OCDEFD， ODCDEDFD=，即64 27ED=， 21 24ED =， 21 25 24 244ECEDCD=-=-= 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键 25. 如图，抛物线2yaxbxc=+与 x 轴交于()3,0A、()1,0B -两点，与 y 轴交于点()0,3C，其顶点为点 D，连结 AC 学科网（北京）股份有限公司 （1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点 D 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上取一点 E，点 F 为抛物线上一动点，使得以点 A、C、E、F 为顶点、AC 为边的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标； （3）在（2）的条件下，将点 D 向下平移 5 个单位得到点 M，点 P 为抛物线的对称轴上一动点，求35PFPM+的最小值 【答案】 （1）2yx2x3= -+，顶点 D 的坐标为()1,4 （2）()2, 5F -或()4, 5F- （3）245 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标； （2）先用待定系数法求直线 AC 解析式为3yx= - +，再过点 F 作FGDE于点 G，证OACGFE，得3OAGF=，设 F 点的坐标为()2,23mmm-+，则 G 点的坐标为()21,23mm-+，所以13FGm=-=，即可求出2m = -或4m =，从而求得点 F坐标； （3） ，是平移得得点 M 的坐标为()1, 1-，则（2）知点()14, 5F-与点()22, 5F - -关于对称轴1x =对称，连结12FF，对称轴于点 H，连结1FM、2F M，过点2F作21F NFM于点 N，交对称轴于点 P，则4MH =，13HF =，15MF =在1Rt MHF中，1113sin5FHHMFMF=，则在Rt MPN中，13sin5PNHMFPM=，所以35PNPM=，所以1235PFPMPFPNF N+=+=为最小值，根据 学科网（北京）股份有限公司 1 22116 4522MF FSF N= = ，所以2245F N =，即可求出35PFPM+ 【小问 1 详解】 解：抛物线2yaxbxc=+经过点()3,0A，()1,0B -，()0,3C， 9330303ababc+=- +=，解得：123abc= -=， 抛物线的解析式为：2yx2x3= -+=-(x-1)2+4， 顶点 D 的坐标为()1,4； 【小问 2 详解】 解：设直线 AC 的解析式为：ykxb=+， 把点()3,0A，()0,3C代入得：1k = -，3b =， 直线 AC 解析式为：3yx= - +， 过点 F 作FGDE于点 G， 以 A、C、E、F 四点为顶点的四边形是以 AC 为边的平行四边形， ACEF，AC=EF， 又OAFG， OACGFE= OACGFE， 3OAGF=， 设 F 点的坐标为()2,23mmm-+， 则 G 点的坐标为()21,23mm-+， 学科网（北京）股份有限公司 13FGm=-=， 2m = -或4m =，当2m = -时，2235mm-+ = -， ()12, 5F -， 当4m =时，2235mm-+ = - ()24, 5F-， ()2, 5F -或()4, 5F-； 【小问 3 详解】 解：由题意，得点 M 的坐标为()1, 1-， 由题意知：点()14, 5F-与点()22, 5F - -关于对称轴1x =对称， 连结12FF，对称轴于点 H，连结1FM、2F M，过点2F作21F NFM于点 N，交对称轴于点 P，则4MH =，13HF =，15MF = 在1Rt MHF中，1113sin5FHHMFMF=，则在Rt MPN中，13sin5PNHMFPM= 35PNPM=， 又21PFPF= 1235PFPMPFPNF N+=+=为最小值， 又1 22116 4522MF FSF N= = ， 2245F N =， 学科网（北京）股份有限公司 求得35PFPM+的最小值为245 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键