概率统计教案2章第1-2节.pdf

概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 41 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第一节 随机变量的概念 第二节 离散型随机变量及其分布律 课时：2 教学目的 教学目的 (1) 理解随机变量的概念理解随机变量的概念和指示函数的定义； (2) 了解分布函数的概念和性质；(3) 会计算与随机变量相联系的事件的概率； (4) 理解离散型随机变量及其分布律的概念理解离散型随机变量及其分布律的概念； (5)掌握 0-1 分布、二项分布和泊松(Poisson)分布掌握 0-1 分布、二项分布和泊松(Poisson)分布.内容 内容 (1) 随机变量的概念和指示函数的定义； (2) 三种常用的离散型随机变量的分布率. 教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强随机变量概念和指示函数定义的讲评，加大例题讲解力度，布置作业训练.内容 内容 离散型随机变量的有关概率问题的计算.教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 加大例题讲解力度.教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析。习题布置 习题布置 P39：1、2； P46：2、3、4、8、9. 参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘： 概率论与数理统计教案、 作业册与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术出版社，2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 42 页页 教 学 内 容 教 学 笔 记 教 学 内 容 教 学 笔 记 内容简介内容简介为了充分利用数学工具研究事件及其概率, 在本章开始引入了随机变量这一基本概念. 任何事件A都可以通过随机变量X来描述, 因此, 研究事件及其概率问题就转化为研究随机变量的概率分布问题. 对于离散型随机变量 X, 首先, 我们研究了 X 的概率分布, 即 X 取什么值以及取这些值的概率大小, 其中重点研究了三种常用的离散型随机变量服从的 0-1 分布、二项分布和泊松分布. 其次, 换另外一个角度研究随机事件, 给出了随机变量的分布函数定义及其求法. 再次, 考虑了离散型随机变量 X 的函数 g(X)的概率分布问题. 预备知识 预备知识 函数概念，组合，超几何分布，级数求和方法. 第二章第二章 随机变量及其分布 随机变量及其分布 随机事件可以通过随机变量来描述, 因此, 研究随机事件及其概率问题就转化为研究随机变量的概率分布问题， 并且对随机变量及其概率分布的研究也扩大了对随机事件及其概率问题的研究. 本章将介绍分布律、分布函数、概率密度等定义， 利用数学分析的方法研究一维离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布理论与方法. 第一节 随机变量的概念第一节 随机变量的概念 定义 设随机试验的样本空间为定义 设随机试验的样本空间为 . X=X()()是定义在样本空间是定义在样本空间 上的实值单值函数, 称上的实值单值函数, 称 X=X()为随机变量为随机变量（random variable）.图 2-1 画出了样本点 与随机变量 X=X()对应的示意图. 图图 2-1 样本点 样本点 与随机变量与随机变量X()对应对应随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或希腊字母 , 等表示, 而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母 x, y, z 等. 有了随机变量, 随机试验中的各种事件就可以通过随机变量的关系式表达出来. 概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 43 页页 讲评讲评 问这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？(1) X 随试验结果的不同而取不同的值,因而在试验之前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值.普通函数的取值是完全确定的. (2) 由于试验结果的出现具有一定的概率,于是这种实值函数取每个值或者某个确定范围内的值也有一定的概率. 普通函数的取值没有概率要求. (3) X 的定义域是样本空间(未必是实数集),自变量是样本点， 而普通函数定义域为实数集，自变量取实数. 例例2.1.4 设随机试验E的样本空间为. A是样本空间的任一子集, 即试验 E 的任一随机事件. 定义随机变量 X()=1,0,AA或者简记为 X=1,0,AA发生不发生.通常称上述随机变量 X=X()为随机事件 A 的指示函数指示函数, 又称为随机事件 A 的示性函数示性函数. 记为 AI（ ）=1,0,AA或者 AI=1,0,AA发生不发生.指示函数建立了随机事件A与随机变量IA之间的联系. 利用随机变量来研究随机事件时常用指示函数 IA. 我们通常研究两类随机变量: (1) 离散型随机变量离散型随机变量: 所有取值可以逐个一一列举出来. 如“取到次品的个数”、 “收到的呼叫次数”等. (2) 连续型随机变量连续型随机变量: 所有取值充满某个区间或区域.例如, “电视机的寿命”、实际问题中常遇到的“测量误差”等. 注意注意 存在着既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量的随机变量. 思考题思考题1.随机变量与普通函数之间有哪些联系与区别？2.随机变量应该分为哪些类型？解题参考 解题参考 1. (1) X 随试验结果的不同而取不同的值,因而在试验之前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值.普通函数的取值是完全确定的. (2) 由于试验结果的出现具有一定的概率,于是这种实值函数取每个值或者某个确定范围内的值也有一定的概率. 普通函数的取值没有概率要求.(3) X 的定义域是样本空间(未必是实数集),自变量是样本点，而普通函数概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 44 页页 定义域为实数集，自变量取实数. 2. 随机变量离散型随机变量，连续型随机变量，非离散型随机变量非连续型随机变量. 第二节第二节 离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量及其分布律 一、 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 定义 设随机变量定义 设随机变量X一切可能的取值为一切可能的取值为x1, x2, , xn, , 且且X取各个值的概率为取各个值的概率为 pk=PX=xk, k =1, 2, 3, , (2.1) 则称则称 X 是离散型随机变量是离散型随机变量(discrete random variable), 称, 称(2.1)式为随机变量式为随机变量 X的概率函数的概率函数或概率分布或概率分布( (probability distribution)， 亦简称为随机变量亦简称为随机变量 X 的分的分布律布律(discrete law) ). 由概率定义可知, 分布律 PX=xk=pk, k=1,2, 满足下列两条性质： (1) pk0,k=1,2,； (2.2) (2) 1kkp . (2.3) 可以验证, 满足上述两条性质的数列pk可以作为某一离散型随机变量的分布律. P X = 0 = P( A1A2 ) = (1 - 0.8)(1 - 0.8) = 0.04 , 概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 45 页页 离散型随机变量的分布律的表示方法有如下三种形式：(1) 公式法: 可以用一个公式统一表示为 PX=xk=pk, k =1, 2, . (2) 列表法: 可以用表格清楚地表示为 X x1 x2 xk P p1 p2 pk (3) 图示法: 为了分析方便, 一般把 x1,x2,xk,从小到大排列. 用图 2-2表示 X 的概率分布及比较概率的大小： 图 2-2 随机变量图 2-2 随机变量 X 的概率分布的概率分布 图 2-2 中竖线段的高度代表 X 在该点取值的概率. 例例 2.2.2 某电子线路 AB 中装有两个并联的继电器, 如图 2-3 所示. 假设这两个继电器是否接通具有随机性, 且彼此独立. 已知每个继电器接通的概率为 0.8, 记 X 为线路中接通的继电器的个数. 求: (1) X 的分布律； (2) 线路 AB 接通的概率. 解解 (1) 记 Ai=第 i 个继电器接通, i=1,2. 所以 事件 A1和 A2相互独立, 且 P(A1)=P(A2)=0.8. 下面求 X 的分布律. 显然, X 可能取 0, 1, 图图 2- -3 并联系统并联系统 2 三个值. 因此, X 的分布律为 122()0.80.80.64.P XP A A (2) 因为系统是并联电路, 所以, 当且仅当至少有一个继电器接通时线路AB 就接通. 所求概率为 PX 1=1PX=0 =10.04=0.96. 二、 常见的三种离散型随机变量的概率分布 二、 常见的三种离散型随机变量的概率分布 下面介绍三种常见的离散型随机变量的概率分布. 1. . 0- -1 分布(分布(0- -1 distribution) )1PX=1=P (AA2AA )= 0.8(122-0.8)+(1-0.8)0.8= 0.32,概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 46 页页 设随机变量 X 只可能取两个值 0 或 1, X=1 的概率为 P(0P1)它的分布律是 PX=k=pk(1-p)1-k, k=0,1 (2.4) 则称 X 服从服从 0- -1 分布分布或两点分布(两点分布(double point distribution) ). 0-1 分布的分布律也可写成 X 01P 1-p p 2. 二项分布(. 二项分布(Binomial distribution) )n 重伯努利试验是一种很重要的数学模型. 它有广泛的应用, 是研究与应用最多的模型之一. 定理定理 1 设随机变量设随机变量X表示表示 n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件 A发生的次数, 事件发生的次数, 事件A在每次试验中发生的概率是在每次试验中发生的概率是 p, 则在则在 n 次试验中次试验中 A 恰好发生恰好发生 k 次的概率为次的概率为 knCpk(1-p)n-k. (2.5) 若记若记 q=1-p, 则有则有 PX=k=knCpkqn-k, k=0,1,2,n. (2.6) 证证 X 所有可能取的值为 0,1,2,n. 由于各次试验是相互独立的, 因此事件 A 在指定的 k(0kn)次试验中发生, 在其余 n-k 次试验中 A 不发生(例如在前 k 次试验中发生, 而后 n-k 次试验中不发生)的概率为 (1) (1)(1)(1).kn kkn kp ppppppp 个个 这种指定的方式共有knC种, 它们是两两互不相容的. 由概率加法公式(3.2)得到，在 n 次试验中 A 恰好发生 k 次的概率为 knCpk(1-p)n-k. 记 q=1p, 即有 PX=k=knCpkqn-k, k=0,1,2,n. 显然 PX=k0, k=0,1,2,n, 概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 47 页页 . 1)(00nknknknkknqpqpCkXP 即 PX=k=knCpkqn-k, k=0,1,2,n 满 足 条 件 (2.2) 式 和 (2.3) 式 , 这 表 明PX=k=knCpkqn-k, k=0,1,2,n 是随机变量的概率分布. 注意到knCpkqn-k刚好是二项式(p+q)n的展开式中出现 pk的那一项, 因此我们称随机变量X服从参数为n, p的二项分布二项分布, 记为 XB(n, p). 显然, 若 XB(n, p), , 则 PX=k表示在 n 次独立重复试验中事件A恰好发生 k 次的概率; ; PXk表示A发生的次数不超过 k 的概率; ; PXk表示 A至少发生 k 次的概率. . 特别地, 当 n=1 时, 二项分布化为 PX=k= pkq1k, q=1-p, k = 0,1. 这就是 0-1 分布. 所以 0-1 分布通常也写成 XB(1, p). 例例 2.2.3 已知某产品的次品率为 0.04, 现有这样一批产品 100 件. (1) 求这批产品中不少于 4 件次品的概率. (2) 问这 100 件产品中恰有 k 件(k= 0,1,100)次品的概率是多少？ 解解 我们将检查一件产品看作是进行一次试验, 则检查 100 件产品相当于做 100 重伯努利试验. 以 X 记 100 件产品中次品的件数, 则有 XB(100, 0.04). (1) 用二项分布概率公式计算：因为(100,0.04)XB, 所以 P4X100=10010010040.040.96kkkkC3100100010.040.960.570 5kkkkC . (2) 依题意，应计算概率分布律 概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 48 页页 100100(0.04) (0.96),kkkP XkCk= 0,1,100. 将计算部分结果列表如下: PX=0=0.0169 PX=1=0.0703 PX=2=0.1450 PX=3=0.1973 PX=4=0.1994 PX=5=0.1595 PX=6=0.1052 PX=7=0.0589 PX=8=0.0285 PX=9=0.0121 PX=10=0.0046 PX=11=0.0016 PX=k0 是常数, 则称 X 服从参数为服从参数为 的泊松的泊松(Poisson)分布分布, 记作记作XP(). 易知, PX=k0, k=0, 1, 2, , 且有 000eeee1.!kkkkkP Xkkk 即 PX=k满足分布律条件(2.2)式和(2.3)式, 因此是随机变量的概率分布. 泊松分布 P()中的参数 的意义将在第四章第二节说明. 服从泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的. 例如：一本书一页中的印刷错误字数, 某地区在一天内邮递遗失的信件数, 某一医院在一天内的急诊病人数, 某一地区一段时间间隔内发生交通事故的次数, 在一段时间间隔内某种放射性物质发出的并经过计数器的 粒子数等等, 都服从泊松分布. 泊松分布也是概率论中的一种重要分布. 泊松分布还有一个非常实用的特性， 即可以用泊松分布作为二项分布的一种近似. 在二项分布 B( n,p)中，当 n 较大时，计算量是令人烦恼的. 而在p 较概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 50 页页 小时使用以下的泊松定理，可以减少二项分布中的计算量。 定理定理 3(泊松泊松(Poisson)定理定理) 在在 n 重伯努利试验中，事件重伯努利试验中，事件 A 在一次试验中发生的概率为在一次试验中发生的概率为 pn(与实验次数与实验次数 n 有关有关)，如果当，如果当 n时，有时，有 npn, 则则 lim1e!kn kkknnnnC ppk. 证证 记 npn=n, 即 pn=n/n. 我们可得 (1)(1)(1)1!kn kkkn knnnnnn nnkC ppknn 1211111!n kknnkknnnn 对固定的 k 有 -lim(1)e!kkkn knnnnC ppklimnn， lim 1en knnn，11lim 111nknn. 所以 lim1e!kn kkknnnnC ppk. 对任意的 k(k=0,1,2,)成立. 定理得证. 由于泊松定理是在 npn 条件下获得的，故在计算二项分布 B(n,p)时，当n 很大且p 很小，而乘积 =np 大小适中时，可以用泊松分布作近似。 思考题思考题1. 离散型随机变量分布律具有哪些性质？满足哪些条件的数列pk可以看作某个离散型随机变量的分布律？2.解题参考 解题参考 1. 概率非负性 pk0,k=1,2,；与归一性1kkp .2. 满足上述两个条件的数列pk可以作为某一离散型随机变量的分布律.概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第一、二节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 51 页页 小 结 与 思 考小 结 与 思 考 本次课,我们介绍了随机变量概念和指示函数定义，学习了离散型随机变量及其概率分布.对于离散型随机变量,如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上,我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定.对于三种重要的常见的离散型随机变量分布， 读者必须熟练掌握分布律定义及参数意义.