最新单步法的收敛和稳定PPT课件.ppt

第八章常微分方程数值解法8.3.1 单步法的收敛性单步法的收敛性 数值解法的基本思想就是要通过某种离散化方法，将微分方程转化为某种数值解法的基本思想就是要通过某种离散化方法，将微分方程转化为某种差分方程（例如，（差分方程（例如，（8.1.8）式）来求解。这种转化是否合理，还要看差分方程）式）来求解。这种转化是否合理，还要看差分方程的解的解 ，是否收敛到微分方程的准确解，是否收敛到微分方程的准确解 。ny nxy 定义定义8.3 对于任意固定的对于任意固定的 ，若对于初值问题（，若对于初值问题（8.1.1）的显）的显式式单步法（单步法（8.1.8）产生的近似解）产生的近似解 ，均有，均有 ，则，则称该方法是称该方法是收敛的收敛的。 在定义中，在定义中， 是固定的点，当是固定的点，当 时有时有 ，n不是固定的。显不是固定的。显然，若方法是收敛的，则在固定点然，若方法是收敛的，则在固定点 处的整体截断误差处的整体截断误差 趋趋于零。下面给出方法收敛的条件。于零。下面给出方法收敛的条件。 定理定理8.1设初值问题（设初值问题（8.1.11）的单步法（）的单步法（8.1.8）是）是p阶的（阶的（ ），），且函数满足对且函数满足对y的的Lipschitz条件即存在常数条件即存在常数 ，使，使 n0hnhxxn 0ny nhxyynn，同同时时0nxnx nnnyxye 1 p0 L第八章常微分方程数值解法第八章常微分方程数值解法第八章常微分方程数值解法第八章常微分方程数值解法第八章常微分方程数值解法第八章常微分方程数值解法第八章常微分方程数值解法定义定义8.5 若（若（8.3.3）式中的）式中的 ，则称对应的单步法是绝对稳定的。在复，则称对应的单步法是绝对稳定的。在复平面上，平面上， 满足满足 的区域，称为方法的绝对稳定区域，它与实轴的交的区域，称为方法的绝对稳定区域，它与实轴的交称为称为绝对稳定区间绝对稳定区间。 1hEh1hE 一些单步法的一些单步法的 表达式和它们的绝对稳定区间列于表表达式和它们的绝对稳定区间列于表8-4。从表中可见，。从表中可见，隐式方法比显式方法的绝对稳定性好。隐式方法比显式方法的绝对稳定性好。hE表表 8-4 方法方法 绝对稳定区间绝对稳定区间 Euler法法 改进的改进的Euler法法 三阶三阶R-K法法 四阶四阶R-K法法 隐式隐式Euler法法 梯形式梯形式 hE02h212hh02h62132hhh051. 2h24621432hhhh0785. 2hh112121hh0h0h1第八章常微分方程数值解法例例 8.4 分别取分别取h=1，2，4，用经典，用经典R-K方法计算方法计算 ,011 yexyy，其准确解为其准确解为 。 11 exexyx 解解 本题本题 分别为分别为-1，-2，-4。有表。有表8-4可知，当可知，当 时，该方法时，该方法才稳定，计算结果列于表才稳定，计算结果列于表8-5h ，1 785.2 h h=1的解的解 h=2的解的解 h=4的解的解 准确解准确解表表 8-5nx 5 3.6394 3.6730 5.4715 3.6389 9 7.6323 7.6367 16.8291 7.6322 13 11.6321 11.6326 57.6171 11.6321 第八章常微分方程数值解法由表由表8-5可见，可见，h=1和和h=2时，计算结果确实稳定，时，计算结果确实稳定，h=4时，结果发时，结果发散。此外，散。此外，h为为1的计算精度比的计算精度比h为为2的计算精度高。因为的计算精度高。因为h 越小，方法的越小，方法的截断误差越小。但若截断误差越小。但若h过分小的话，计算步数非常多，其累积误差会增加。过分小的话，计算步数非常多，其累积误差会增加。所以，实际计算时，应选取合适的步长，常常采用自动变步长的所以，实际计算时，应选取合适的步长，常常采用自动变步长的R-K方方法。法。