n阶行列式的定义概要.ppt

第一章第一章 行列式行列式n内容提要内容提要1 n1 n阶行列式的定义阶行列式的定义2 2 行列式的性质行列式的性质3 3 行列式按行行列式按行(列列)展开展开4 4 克拉默法则克拉默法则行列式是一个重要的工行列式是一个重要的工具，它在数学的各个领具，它在数学的各个领域及其它各学科都有着域及其它各学科都有着广泛的应用广泛的应用1 n n阶行列式的定义阶行列式的定义 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 排列与逆序排列与逆序 n n阶行列式的定义阶行列式的定义一、二阶与三阶行列式一、二阶与三阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 当当 时，该方程组有唯一解时，该方程组有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 1 1. .二阶行列式二阶行列式求解公式求解公式为为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 请观察，此公式有何特点？请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得相减而得.其求解公式为其求解公式为11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元线性方程组二元线性方程组 我们引进新的符号来表示我们引进新的符号来表示“四个四个数分成两对相乘再相减数分成两对相乘再相减”. .1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa记号记号 11122122aaaa数表数表 表达式表达式 称为由该称为由该数表所确定的数表所确定的二阶行列式二阶行列式，即，即11221221a aa a 其中，其中， 称为称为元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 为为行标行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 为为列标列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 2.2.三阶行列式三阶行列式定义定义 对于有对于有9个元素个元素 排成排成3行行3列的式子列的式子记记称为称为三阶行列式三阶行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主对角线主对角线 副对角线副对角线 二阶行列式的对角线法则二阶行列式的对角线法则并不适用！并不适用！ija三阶行列式的计算三阶行列式的计算 对角线法则对角线法则 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. . 实线上的三个元素的乘积冠正号，实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号虚线上的三个元素的乘积冠负号. .3232-344-52D 例例1 计算行列式计算行列式 解解按对角线法则，有按对角线法则，有 D3 ( 3) 22 4 42 ( 5) 3 3 ( 3) 42 2 23 4 ( 5) 18303236608 72 方程左端方程左端解解由由 得得2111120.64xx 例例2 求解方程求解方程 22264124Dxxxx228,xx2280 xx 24.xx 或或二、排列与逆序二、排列与逆序定义定义1, 2, n由正整数由正整数 组成的一个没有重复数字组成的一个没有重复数字的的n元有序数组，称为一个元有序数组，称为一个n级排列，简称级排列，简称排排列列，记为，记为 。)(21niii 1 2ni ii例如例如4231423165341265341215231523是一个是一个4 4级排列级排列是一个是一个6 6级排列级排列不是一个排列不是一个排列n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义定义 在一个在一个n级排列级排列 中，如果数中，如果数 ，则称数则称数 与与 构成一个构成一个逆序逆序。在一个。在一个n级排列中，逆序级排列中，逆序的总数称为该排列的的总数称为该排列的逆序数逆序数，记为，记为例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考题：思考题：还能找到其它逆序吗？还能找到其它逆序吗？答：答：2和和1，3和和1也构成逆序也构成逆序.)(21ntsiiiiistii siti1 2()ni ii 计算排列的逆序数的方法计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为则此排列的逆序数为12ntttt 设设 是是 1, 2, , n 这这n 个自然数的任一排列，并规个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。定由小到大为标准次序。 先看有多少个比先看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ；再看有多少个比再看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;最后看有多少个比最后看有多少个比 大的数排在大的数排在 前面，记为前面，记为 ;1 2ni ii1i1i1t2i2i2tninint例例1： 求排列求排列 32514 的逆序数的逆序数.解：解：(32514)010315 练习：练习： 求排列求排列 453162 的逆序数的逆序数.9t 解：解：因为因为3 3排在首位，故其逆序的个数为排在首位，故其逆序的个数为0 0； 在在2 2的前面比的前面比2 2大的数有大的数有1 1个，故其逆序的个数为个，故其逆序的个数为1 1； 在在5 5的前面比的前面比5 5大的数有大的数有0 0个，故其逆序的个数为个，故其逆序的个数为0 0； 在在1 1的前面比的前面比1 1大的数有大的数有3 3个，故其逆序的个数为个，故其逆序的个数为3 3； 在在4 4的前面比的前面比4 4大的数有大的数有1 1个，故其逆序的个数为个，故其逆序的个数为1 1。 易见所求排列的逆序数为易见所求排列的逆序数为 定义定义逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列；逆序数为奇数的排列；逆序数为奇数的排列称为称为奇排列奇排列。 定义定义把一个排列把一个排列 中某两个数中某两个数 ， 的位置互的位置互换，而其余数不动，得到另一个排列换，而其余数不动，得到另一个排列 ，这样的变换称为一个对换，记为这样的变换称为一个对换，记为 。siti1 2()tsni iiii 1 2()stni iiii ,stii将两个相邻元素对换，称为相邻对换将两个相邻元素对换，称为相邻对换 定理定理1 1任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。即即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。 证明：证明：第一种情形。第一种情形。先看相邻对换的情况先看相邻对换的情况 设排列为设排列为 ，对换，对换 与与 ，变为，变为 11lmaa abbbab11lmaa babb显然，显然， ， 这些元素的逆序数经过对换并不改变，这些元素的逆序数经过对换并不改变， 1laa1mbb 与与 两元素的逆序数改变为：两元素的逆序数改变为： abab 当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数不变而的逆序数不变而 的逆序数减少的逆序数减少1 1；ab当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 1而而 的逆序数不变；的逆序数不变；ab ba所以，所以，排列排列 与排列与排列 的奇偶性改变。的奇偶性改变。11lmaa abbb11lmaa babb第二种情形。第二种情形。 再看一般情况。再看一般情况。设排列为设排列为 ，对它做，对它做 次相邻对换，变成次相邻对换，变成 111lmnaa abb bccm111lmnaa abbb cc再做再做 次相邻对换，变成次相邻对换，变成 1m 111lmnaa bbb acc总之，经总之，经 次相邻对换，排列次相邻对换，排列 变成变成 21m 111lmnaa abb bcc111lmnaa bbb acc所以这两个排列的奇偶性改变。所以这两个排列的奇偶性改变。定理定理2 2 个自然数个自然数 共有共有 个个 级排列，其中奇偶排列各级排列，其中奇偶排列各占一半。占一半。n 1n !nn证明证明 级排列的总数为级排列的总数为 个。个。n!n设其中奇排列为设其中奇排列为 个，偶排列为个，偶排列为 个。个。pq若对每个奇排列都做同一对换，则由定理若对每个奇排列都做同一对换，则由定理1 1， 个奇排列均变成偶排列，故个奇排列均变成偶排列，故 ； ppq 同理，对每个偶排列做同一变换，则同理，对每个偶排列做同一变换，则 个偶排列均变成奇排列，故个偶排列均变成奇排列，故 。 qqp 从而，从而，!2npq 三、三、n阶行列式的定义阶行列式的定义111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a规律：规律： 三阶行列式共有三阶行列式共有3!项。项。 每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积。每项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积。1.1.每项的符号取决于：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，每项的符号取决于：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取如果对应的列标构成的排列是偶排列则取正号，奇排列则取负号。负号。所以，三阶行列式可以写成所以，三阶行列式可以写成 1 2 31231 2 3()123( 1)j j jjjjj j jaaa 其中其中 表示对所有表示对所有3 3级排列求和级排列求和。 1 2 3j j j 二阶行列式有类似规律二阶行列式有类似规律。下面将行列式推广到一般的情形下面将行列式推广到一般的情形 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a定义定义由由 个元素个元素 排成排成n行、行、n列构成列构成的记号：的记号：2n ,1, 2,ijai jn 1 2121 21112121222()1212( 1)nnnnnj jjjjnjj jjnnnnaaaaaaDaaaaaa 简记作简记作 ，其中其中 为行列式为行列式D的的( (i, j) )元元 detijaija称为称为n阶行列式阶行列式，其中，其中 表示对所有表示对所有n阶排列阶排列求和。求和。1 2nj jj 12nj jj规律规律 n 阶行列式共有阶行列式共有 n! 项项 每项都是取自不同行不同列的每项都是取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，每项各元素个元素的乘积，每项各元素行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式：行标按自然数顺序排列后就是行列式的一般项形式： 3.3.若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中若行列式每项的行标都按自然数的顺序排列，其中 是指项的符号，且列序构成是指项的符号，且列序构成 n 级排列级排列 ，若此排列为，若此排列为奇排列则此项取负号，若此排列为偶排列则此项取正号，所奇排列则此项取负号，若此排列为偶排列则此项取正号，所以行列式项的符号一半为正，一半为负。以行列式项的符号一半为正，一半为负。 1 212()12( 1)nnj jjjjnjaaa 1 2()( 1)nj jj 12nj jj思考题：思考题： 成立成立吗？吗？答：答：符号符号 可以有两种理解：可以有两种理解：若理解成绝对值，则若理解成绝对值，则 ；若理解成一阶行列式，则若理解成一阶行列式，则 . .11 1 11 11 注意：注意：当当n = 1时，一阶行列式时，一阶行列式|a| = a，注意不要与，注意不要与绝对值的记号相混淆绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式例如：一阶行列式 . 11 例如例如 所表示的代数和中有所表示的代数和中有4！=24项项。 行标排列为行标排列为12341234，元素取自不同行；列标排列，元素取自不同行；列标排列为为12341234，元素取自不同列，且逆序数，元素取自不同列，且逆序数 , ,即元素乘即元素乘积积 前面应冠以正号，所以前面应冠以正号，所以 为为D的一项。的一项。 行标排列为行标排列为12341234，元素取自不同行；列标排列，元素取自不同行；列标排列为为43124312，元素取自不同列，且逆序数，元素取自不同列，且逆序数 , ,即排列即排列43124312为奇排列，所以元素乘积为奇排列，所以元素乘积 前面应冠以负号，所前面应冠以负号，所以以 为为D的一项。的一项。 有两个元素取自第四列，所以它不是有两个元素取自第四列，所以它不是D的一项。的一项。11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11223344a a a a 12340 11223344a a a a11223344a a a a14233142a a a a 43125 14233142a a a a14233142a a a a 11243344a a a a定理定理3 3n阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为1 2121 2()12( 1)nnni iiiii ni iiDa aa 证明证明按行列式定义有按行列式定义有1212( 1)ntjjnjDaaa 12()ntj jj 记记12112( 1)nsiii nDa aa 1 2()nsi ii 由上面讨论知：由上面讨论知：对于对于 中任一项中任一项 ，总有且仅，总有且仅D1212( 1)ntjjnjaaa 有有 中某一项中某一项 与之对应并相等与之对应并相等1D1212( 1)nsiii na aa 于是，于是，1D 与与 中的项可以一一对应并相等。中的项可以一一对应并相等。D从而，从而，1DD 例例1 1计算计算n阶行列式阶行列式112122313233123000000nnnnnaaaaaaDaaaa 的值，其中的值，其中0iia 1, 2,in 解解记行列式的一般项为记行列式的一般项为 1 21212( 1)nnj jjjjnjaaa D中有很多项为零，现在考察有哪些项不为零。中有很多项为零，现在考察有哪些项不为零。 一般项中第一个元素一般项中第一个元素 取自第一行，但第一行中只有取自第一行，但第一行中只有 不为零，因而不为零，因而 ，即，即 中只有含有中只有含有 的那些项可能不为的那些项可能不为零，其他项均为零；零，其他项均为零； 一般项中第二个元素一般项中第二个元素 取自第二行，第二行中有取自第二行，第二行中有 和和不为零，因第一个元素不为零，因第一个元素 已取自第一列，因此第二个元素不已取自第一列，因此第二个元素不能再取自第一列，即不能取能再取自第一列，即不能取 ，所以第二个元素只能取，所以第二个元素只能取 ，从而从而 ，即，即 中只有含中只有含 的那些项可能不为零，其他的那些项可能不为零，其他项均为零；项均为零； 这样推下去，可得这样推下去，可得 ， ， 。 因此，因此， 中只有中只有 这一项不为零，其他项均为这一项不为零，其他项均为零。零。 由于由于 ，因此这一项应取正号，于是可得，因此这一项应取正号，于是可得 11 ja11a11j D11a22 ja21a22a11a21a22a22j D1122nna aa33j 44j njn D 120n 1122a a112122313233112233123000000nnnnnnna a aaaaaaaaDaaaa下三角形行列式下三角形行列式同理同理111213122232331122333000000nnnnnnnaaaaaaaaaDa a aaa 上三角形行列式上三角形行列式特殊情况：特殊情况：(1)112233112233000000000000nnnnaaaDaaaaa对角行列式对角行列式行列式中从左上角到右下角的对角线称为行列式中从左上角到右下角的对角线称为主对角线主对角线 由行列式定义不难得出：一个行列式若有一行（或一列）中由行列式定义不难得出：一个行列式若有一行（或一列）中的元素皆为零，则此行列式必为零的元素皆为零，则此行列式必为零 (2)11121,1121222,131321000000nnnnaaaaaaaaaDa 12,123,1312,10000000nnnnnnnn nnnaaaaaaaaa (1)2112,11,211n nnnnna aaa (1)212,11,211n nnnnna aaa (3)12,1321000000000000nnnaaaDa (1)212,111n nnnna aa 例例2 2计算行列式计算行列式0001002003004000D 解解一般项为一般项为 ， 1 21212( 1)nnj jjjjnjaaa 现考察不为零的项。现考察不为零的项。11 ja取自第一行，取自第一行，140a 14j 同理可得，同理可得， ， ， 。23j 32j 41j 即行列式中不为零的项只有即行列式中不为零的项只有 4321( 1)1 2 3 4 24 所以，所以，24D 但第一行只有但第一行只有 ，故只可能，故只可能 。例例3 3 已知已知 是六阶行列式中的一项，求是六阶行列式中的一项，求 并确并确定该项的符号。定该项的符号。2331425614ija a a a a a, i j解解由行列式的定义可知，由行列式的定义可知，行列式的每一项的元素均取自不同行、不同列，行列式的每一项的元素均取自不同行、不同列， 所以有，所以有，6 ,i 5j 再将该项的行标按自然数的顺序排好，得再将该项的行标按自然数的顺序排好，得 142331425665a a a a a a列标的逆序数为列标的逆序数为 431265 1221 6 为偶排列。为偶排列。 故此项符号为正号。故此项符号为正号。例例4 4利用行列式计算利用行列式计算000100020002000100000000nDnnn 解解(1)(2)1)1,12,2( 1)nnnnnnnDaaa (1)(2)1)( 1)1 2(1)nnnn (1)(2)1)( 1)!nnn 所以所以(1)(2)2( 1)!nnnDn 结束结束