2021年形考作业答案高等数学基础电大形考作业一.docx
高等数学基本形考作业 1 答案：第 1 章函数第 2 章极限与持续（一）单项选取题下列各函数对中，（C）中两个函数相等x 2A. f (x) = ( x )2 ， g(x) = xB. f (x) =， g(x) = xC. f (x) = ln x 3， g(x) = 3ln xD. f (x) = x + 1， g(x) =x 2 - 1 x - 1分析：判断函数相等两个条件（1）相应法则相似（2）定义域相似A、 f (x) = ( x )2 = x ，定义域x | x ³ 0； g(x) = x ，定义域为 R定义域不同，因此函数不相等；x2B、 f (x) = x ， g(x) = x 相应法则不同，因此函数不相等；C、 f (x) = ln x3 = 3ln x ，定义域为x | x > 0， g(x) = 3ln x ，定义域为x | x > 0 因此两个函数相等D、 f (x) = x + 1，定义域为 R； g(x) = x2 -1 = x +1 ，定义域为x | x Î R, x ¹ 1x -1定义域不同，因此两函数不等。故选 C设函数 f (x) 定义域为(-¥,+¥) ，则函数 f (x) + f (-x) 图形关于（C）对称A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. y = x分析：奇函数， f (-x) = - f (x) ，关于原点对称偶函数， f (-x) = f (x) ，关于 y 轴对称y = f (x)与它反函数 y = f -1 (x)关于 y = x 对称，奇函数与偶函数前提是定义域关于原点对称设 g (x)= f (x)+ f (-x)，则 g (-x)= f (-x)+ f (x)= g (x)所觉得 g (x)= f (x)+ f (-x)偶函数，即图形关于 y 轴对称故选 C下列函数中为奇函数是（B）A. y = ln(1 + x 2)B. y = x cos xa x + a - xC. y =D. y = ln(1 + x)2分析：A、 y (-x)= ln(1+ (-x)2 ) = ln (1+ x2 )= y (x)，为偶函数B、 y (-x)= -x cos(-x)= -x cos x = - y (x)，为奇函数或者 x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、 y (-x)= a- x + ax = y (x)，所觉得偶函数2D、 y (-x)= ln(1- x) ，非奇非偶函数故选 B下列函数中为基本初等函数是（C）A. y = x + 1B. y = -xì- 1 ,x < 02C. y = xD. y = íî1 ,x ³ 0分析：六种基本初等函数（1） y = c （常值）常值函数（2） y = xa,a 为常数幂函数（3）y = ax (a > 0,a ¹ 1)指数函数（4） y = logax (a > 0,a ¹ 1)对数函数（5） y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x 三角函数y = arc sin x,-1,1,（6） y = arc cos x,-1,1,反三角函数y = arc tan x, y = arc cot x分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对对照比较选C下列极限存计算不对的是（D）A. limx 2= 1B. limln(1 + x) = 0x®¥ x 2 + 2x®0C. lim sin x = 0D. lim x sin 1 = 0x®¥xx®¥x分析：A、已知lim 1x®¥ xn= 0(n > 0)x2limx2= limx2= lim1=1= 1x®¥ x2 + 2x®¥ x2 + 2x®¥ 1+ 21+ 0x2x2x2B、limln(1+ x) = ln(1+ 0) = 0x®0初等函数在期定义域内是持续C、lim sin x =limsin x = 01x®¥xx®¥ x1x ® ¥ 时，是无穷小量， sin x 是有界函数，x无穷小量×有界函数仍是无穷小量sin 1D、lim x sin 1 = limx ，令t = 1 ® 0, x ® ¥ ，则原式= lim sin t = 1x®¥故选Dxx®¥1xxt®0t当 x ® 0 时，变量（C）是无穷小量sin x1A.B.xx1C. x sinD. ln(x + 2)x分析； lim f (x)= 0 ，则称 f (x)为 x ® a 时无穷小量x®aA、lim sin x = 1，重要极限x®0xB、lim 1 = ¥ ，无穷大量x®0 xC、lim x sin 1 = 0 ，无穷小量 x ×有界函数sin 1 仍为无穷小量x®0xxD、limln(x + 2)=ln(0+2)= ln 2x®0故选C若函数 f (x) 在点 x 满足（A），则 f (x) 在点 x 持续。00A. lim f (x) = f (xx®x00)B. f (x) 在点 x0某个邻域内有定义C. limx® x+0f (x) = f (x0)D. limx® x+0f (x) = limx® x-0f (x)分析：持续定义：极限存在且等于此点函数值，则在此点持续即lim f (x)= f (x )持续充分必要条件lim f (x)= f (xx®x00)Û lim f (x)= lim f (x)= f (x )x®x0x®x +x®x -0000故选A（二）填空题x 2 - 9函数 f (x) =x - 3+ ln(1 + x) 定义域是x | x > 3分析：求定义域普通遵循原则（1） 偶次根号下量³ 0（2） 分母值不等于 0（3） 对数符号下量（真值）为正（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内量，绝对值不大于等于1)（5） 正切符号内量不能取kp ± p (k = 0,1,22然后求满足上述条件集合交集，即为定义域x 2 - 9f (x) =x - 3+ ln(1 + x) 规定求交集313ìx2 - 9 ³ 0ìx ³ 3或x £ -3ïx - 3 ¹ 0 得ïx ¹ 3ííï1+ x > 0ïx > 1îî定义域为 x | x > 3已知函数 f (x + 1) = x 2 + x ，则 f (x) = x2 - x分析：法一，令t = x +1得 x = t -1则 f (t) = (t -1)2 + (t -1)= t 2 - t 则 f (x)= x2 - x法二， f (x +1) = x(x +1) = (x +1-1)(x +1)因此 f (t) = (t -1)t11 lim(1 +) x =e 2x®¥2xlimæ1+ 1 öx = elim(1+ x)1 = ex分析：重要极限ç÷x®¥ èø，等价式xx®0( )推广lim f (x)= ¥ 则lim(1+x®ax®a1) f (x) = e f xlim( )=lim(1+( ) f (x) =01x®ax®alim(1+ 1 )x x®¥2x= lim(1+ 1 )2 x´12x®¥2xìï1+ x) x,x < 0 ，在f x则f xe1= e2若函数 f (x) = í(1ïî x + k ,x ³ 0x = 0 处持续，则k =e分析：分段函数在分段点 x处持续Û lim f (x)= lim f (x)= f (x )0x®x +x®x -000lim f (x)= lim (x + k )= 0 + k = kx®0+x®0+因此k = exlim f (x)= lim (1+ x)1 = ex®0-x®0-ìx + 1 ,x > 0函数 y = íîsin x ,x £ 0间断点是x = 0 (为第一类间断点)分析：间断点即定义域不存在点或不持续点初等函数在其定义域范畴内都是持续分段函数重要考虑分段点持续性（运用持续充分必要条件）lim f (x)= lim (x +1)= 0 +1 = 1x®0+lim fx®0-(x)x®0+= lim sin x = 0x®0-不等，所觉得 x = 0 其间断点若 lim f (x) = A ，则当 x ® xx® x00时， f (x) - A 称为无穷小量分析： lim( f (x) - A) = lim f (x) - lim A = A - A = 0x®xx®xx®x000所觉得 f (x) - A x ® x0（三）计算题设函数求： f (-2) , f (0) , f (1) 时无穷小量ìe x ,x > 0f (x) = íîx ,x £ 0解： f (-2)= -2 ， f (0)= 0 ， f (1)= e1 = e2x -1求函数 y = lgx2x -1定义域ïxì 2x -1 > 0ìïï1解： y = lg故意义，规定í解得íx >或x < 0xïx ¹ 0ï2ïî则定义域为ìx | x < 0或x > 1 üïîx ¹ 02íýîþ在半径为 R 半圆内内接一梯形，梯形一种底边与半圆直径重叠，另一底边两个端点在半圆上，试将梯形面积表达到其高函数解：设梯形 ABCD 即为题中规定梯形，设高为 h，即 OE=h，下底 CD2R （其中，AB 为梯形上底，下底 CD 与半园直径重叠，O 为园心，E 为 AB 中点）直角三角形 AOE 中，运用勾股定理得OA2 - OE2R2 - h2AE =R2 - h2h (22R + 2 R2 - h2则上底AB 2AE = 2 故 S =R2 - h2)()= h R +求lim sin 3x （第 4，5，6，7，9 极限还可用洛贝塔法则做）x®0 sin 2xsin3 x ´ 3xsin3 x解： lim sin3 x = lim3x= lim3x´ 3 1 ´ 3 = 3 x®0 sin 2xx®0 sin 2x ´ 2xx®0 sin 2x2122求 limx 2 - 12x2xx®-1 sin( x + 1)解： limx2 -1= lim (x -1)(x +1) = limx -1= -1-1 = -2x®-1 sin( x +1)x®-1 sin( x +1)x®-1 sin( x +1)1x +1求lim tan 3x x®0x解： lim tan3 x = lim sin3 x1= lim sin3 x ´1´ 3 = 1´ 1 ´ 3 = 3x®0xx®0xcos3 xx®03xcos3 x1求lim1 + x 2 - 11+ x2 -1x®0sin xlim= lim ( 1+ x2 -1)( 1 + x2 +1) = limx2解：x®0sin xx®0( 1+ x2 +1)sin xx®0( 1+ x2 +1)sin x( 1+ x2 +1) sin xx= limx®0x=0= 0 1+1 ´1()x -1x + 3求lim() x x®¥-+-111x1(1)x(1)- x -1x -1xxx-xe-1-解： lim() = lim(3 ) = lim3= lim= e 4x®¥ x + 3x®¥ 1+x®¥ (1+)xx®¥1 xe3xx(1+ x )3 33求lim x 2 - 6x + 8 x®4 x 2 - 5x + 4x2 - 6x + 8(x - 4)(x - 2)x - 24 - 22解： lim= lim ()() = lim=x®4 x2 - 5x + 4x®4x - 4x -1x®4 x -14 -13设函数ïì(x - 2)2 ,x > 1f (x) = íx ,- 1 £ x £ 1îïx + 1 ,x < -1讨论 f (x) 持续性，并写出其持续区间解：分别对分段点 x = -1,x = 1 处讨论持续性（1）lim f (x)= lim x = -1x®-1+lim fx®-1-(x)x®-1+=(limx®-1-x +1)= -1+1 = 0因此 lim f (x)¹ lim f (x)，即 f (x)在 x = -1 处不持续x®-1+x®-1-（2）lim f (x)= lim (x - 2)2 = (1- 2)2 = 1x®1+lim fx®(1- )(x)x®1+= lim x = 1x®1-f 1 = 1因此lim f (x)= lim f (x)= f (1)即 f (x)在 x = 1 处持续x®1+x®1-由（1）（2）得 f (x)在除点 x = -1 外均持续故 f (x)持续区间为(-¥, -1) (-1, +¥)
