最新人教版高中数学必修第二册第五单元《概率》测试卷(含答案解析)(1).docx

一、选择题1. 将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷 3 次，至少出现 1 次 6 点向上的概率是（ ）5253191A 216B 216C 216D 2162. 从分别写有a ， b ， c ， d ， e 的 5 个乒乓球中，任取 2 个，这 2 个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为（ ）.2133A 5B 5C 5D 1013. 如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 2 ，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）33131A 16B 4C 16D 44. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a ，则函数 f (x)= x2 + 2ax + 4至多有一个零点的概率为（ ）1125A 3B 2C 3D 65. 在如图所示的电路中，5 个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（ ）295512929A 36B 720C 72D 144a, bx, yìax + by - 8 = 0+-=6. 将颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则关于方程组í，有îx2y240实数解的概率为（ ）2779AB99C. 36D. 367. 从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A. “至少有 1 个白球”和“都是红球”B. “至少有 2 个白球”和“至多有 1 个红球”C. “恰有 1 个白球” 和“恰有 2 个白球”D. “至多有 1 个白球”和“都是红球”8. 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为3213A 10B 5C 2D 59. 在 3 张卡片上分别写上 3 位同学的学号后，再把卡片随机分给这3 位同学，每人 1 张，则恰有 1 位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ）1A. 61B. 312C. D2310. 已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取2 件检查，记次品数为 X ，已知P( X = 1) = 16 ，且该产品的次品率不超过40% ，则这 10 件产品的次品数为（ ）45A2 件B4 件C6 件D8 件11. 六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（ ）71131A 60B 6C 60D 412. 新课程改革把劳动与技术课程作为79 年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准.某校 7 年级有 5 个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一周三周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了 3 个班的劳动与技术课程的概率是（ ）A3 A2C3 A2C3C2C3C2A5 6A5B A5 65CC5 6D55 6A5999913. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521 等，两位数的回文数有11、22、33、99 共 9 个，则三位数的回文数中为偶数的概率是（ ）12A 9B 93C. 94D. 9二、解答题142021 年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定 A、B、C、D、E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分 A 等级排名占比 15%，赋分分数区间是 86-100；B 等级排名占比 35%， 赋分分数区间是 71-85；C 等级排名占比 35%，赋分分数区间是 56-70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是 41-55；E 等级排名占比 2%，赋分分数区间是 30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取 100 名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1） 求图中 a 的值；（2） 用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的 C 等级及以上(含 C 等级)？（结果保留整数）（3） 若采用分层抽样的方法，从原始成绩在40，50)和50，60)内的学生中共抽取 5 人， 查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2 人进行调查分析，求这 2 人中恰有一人原始成绩在40，50)内的概率.152020 年国庆节期间，甲、乙等 5 名游客准备从庐山、三清山、婺源、井冈山4 个景点中选取一个景点游览，设每人只选择一个景点，且选择任一个景点是等可能的（1） 分别求“恰有 2 人选择井冈山”和“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率；（2） 记 X 表示 5 人中选择景点的个数，求X 的分布列与数学期望16. 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会经济生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 p ，乙同学答对每题的概率都为q(p > q)，且在考试中每人各题答题结果互1不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为 2（1） 求 p 和q 的值；（2） 试求两人共答对 3 道题的概率.5，恰有一人答对的概率为12 .17. 在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了100 名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在0,1),1,2 ),2,3)，3,4 ),4,5),5,6 )， 6,7),7,8（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.（1） 由图中数据，求a 的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在 3,4 ) 的概率；（2） 现从抽取的 100 名学生该天居家自主学习的时间在0,1)和1,2 ) 的人中任选 2 人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在0,1)中至少有 1 人的概率；（3） 假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100 名学生该天居家自主学习时间的平均数.18. 有四个编有 1234 的四个不同的盒子，有编有 1234 的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.（1） 小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2） 在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3） 若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 19某医院首批援鄂人员中有 2 名医生，3 名护士和 1 名管理人员.采用抽签的方式，从这六名援鄂人员中随机选取两人在总结表彰大会上发言.（）写出发言人员所有可能的结果构成的样本空间；（）求选中 1 名医生和 1 名护士发言的概率；（）求至少选中 1 名护士发言的概率.202018 年，在我是演说家第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140 名观众，得到如下的列联表：（单位：名）男女总计喜爱4060100不喜爱202040总计6080140（1） 根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关（精确到 0001）（2） 从这 60 名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6 的样本， 然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率P (K ³ k )200.100.050.0250.0100.005k02.7053.8415.0246.6357.879附：临界值表n(ad - bc)2参考公式： K 2 =， n = a + b + c+d （a + b)(c + d )(a + c)(b + d )21. 某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取 100 名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.（1） 若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2） 在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5 人，从这 5 人中任意任取 2 人，求至少有 1 名男生的概率第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩（分）808571928722. 某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5 次数学考试的成绩，统计结果如下表：乙的成绩（分）9076759282（）已知甲、乙两名学生这 5 次数学考试成绩的平均分都为83 分，若从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，请从统计学的角度考虑，你认为选谁参加数学竞赛较合适？并说明理由；（）若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5 道备选题中任意抽出 1 道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从 5 道备选题中任意抽出 3 道，若至少答对其中 2 道，则可参加复赛，否则被淘汰.已知学生甲、乙都只会 5 道备选题中的 3 道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由.男性女性合计参加10没参加8合计30235 月 4 日，修水第二届“放肆青春放肆跑”全民健身彩跑活动在信华城举行，全程约5.4km ，共有 2500 余名参与者.某单位为了解员工参加彩跑活动是否与性别有关，从单位随机抽取 30 名员工进行问卷调查，得到了如下2 ´ 2 列联表：8已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到参加彩跑活动的员工的概率是15 .（1） 完成答题卡上的2 ´ 2 列联表，并判断能否有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关？（2） 已知参加彩跑的女性中共有 4 人跑完了全程，若从参加彩跑的6 名女性中任选两人， 求选出的两人均跑完了全程的概率.n (ad - bc)2附： K 2 = (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )，其中n = a + b + c + d .P (K 2 ³ k )0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82824. 甲乙丙三名射箭选手每次射箭命中各环的概率分布如下面三个表格所示.环数78910概率0.10.20.40.3甲选手环数78910概率0.20.30.30.2乙选手环数78910概率0.10.40.40.1丙选手（1） 若甲乙丙各射箭一次，假设三位选手射箭所得环数相互独立，求这三位选手射箭所得总环数为 28 的概率；环数8910概率0.20.50.3（2） 经过三个月的集训后，甲选手每次射箭命中各环的概率分布如下表所示：若在集训后甲连续射箭两次，假设每次射箭所得环数相互独立，记这两次命中总环数为X，求 X 的分布列及数学期望.空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b25. 在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30 天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数为优或良好，规定为级，轻度或中度污染，规定为级，重度污染规定为级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10 天的数据，则空气质量为级的恰好有 5 天.（1） 求a ， b 的值；（2） 若以这 30 天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366 天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3） 若从抽取的 10 天的数据中再随机抽取 4 天的数据进行深入研究，记其中空气质量为级的天数为X ，求 X 的分布列及数学期望.26. 某电子产品厂商新推出一款产品，邀请了男女各1000 名消费者进行试用，并评分（满分为 5 分），得到了评分的频数分布表如下：男性：评分结果0,1)1,2 ) 2,3 )3,4 )4,5频数50200350300100女 性 ： 评分结果0,1)1,2 ) 2,3 )3,4)4,5频数250300150100200（1） 根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图分别比较男女消费者评分的中位数的相对大小，以及方差的相对大小（其中方差的相对大小给出判断即 可，不必说明理由）；（2） 现从男女各 1000 名消费者中，分别按评分运用分层抽样的方法各自抽出20 人放在一起，在抽出的 40 人中，从评分不小于 4 分的人中任取 2 人，求这 2 人性别恰好不同的概率.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【分析】根据正难则反原则，先求出“抛掷 3 次都没有出现 6 点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案.【详解】解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3 次，这 3 次之间是相互独立， 记事件 A 为“抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上”，则 A 为“抛掷 3 次都没有出现 6 点向上”，记事件 B 为“第i 次中，没有出现 6 点向上”， i = 1,2,3 ，iA = B B BP (B )= 5( ) æ 5 ö3125则，又1 2 3，所以P A =ç÷i6，6èø216P (A)= 1- P (A)= 1- 125 = 91所以故选：D.【点睛】216216 .本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.2A解析：A【分析】基本事件总数n = C2 =10，利用列举法求出这 2 个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻5排列包含的基本事件有 4 个，由此能求出这 2 个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率【详解】解：从分别写有a ， b ， c ， d ， e 的 5 个乒乓球中，任取 2 个，基本事件总数n = C2 =10，5这 2 个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列包含的基本事件有：ab ， bc ， cd ， de ，共 4 个， 这 2 个乒乓球上的字母恰好是按字母顺序相邻排列的概率为 p = 故选： A 【点睛】4 = 2 105本题考概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3C解析：C【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2 个都开，上边的 2 个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果【详解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2 个都开，上边的 2 个中有一个开， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，1111111111113灯泡不亮的概率是´´´+´´´+´´´=，22222222222216灯亮和灯不亮是两个对立事件，313灯亮的概率是1- 16 = 16 ，故选： C 【点睛】本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概 率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题4A解析：A【分析】由函数 f (x)至多有一个零点，求得-2 £ a £ 2 ，得到a 的取值有 1，2，共 2 个可能结果，结合古典概型及概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，抛掷一枚质地的均匀的骰子，正面向上的点数包含6 个可能结果，又由函数 f (x)= x2 + 2ax + 4 至多有一个零点，则D = 4a2 -16 £ 0 ，解得-2 £ a £ 2 ， 又因为a 为正整数，故a 的取值有 1，2，共 2 个可能结果，所以函数故选：A.【点睛】f (x)= x2 + 2ax + 41至多有一个零点的概率为3 .本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，解题时准确找出试验包含的基本事件的个数，求得函数至多一个零点所包含的的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5A解析：A【分析】先求出 A 至 B 畅通的概率,再求出 B 至C 畅通的概率,再利用独立事件的概率求法求出电路通畅的概率.【详解】当开关合上时,电路畅通即表示 A 至 B 畅通且 B 至C 畅通,1éA 至畅通的概率 P = 1-´- æ1- 1 ö´æ1- 1 öù = 5 ,Bê1 ç÷ ç÷ú14ëè2 ø è3 øû61129B 至C 畅通的概率 P2= 1-´=,5630所以电路畅通的概率P = PP= 5 ´ 29 = 29 ,故选:A.【点睛】1 263036本题考查求独立事件的概率,需要学生有一定的计算分析能力,属于中档题.6B解析：B【分析】利用圆心到直线的距离不大于半径可得a, b 的不等式关系，从而得到方程组有解的(a, b) 个数，利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】ìax + by - 8 = 0+-=因为方程组íîx2y2408a2 + b2£ 2有解，故直线ax + by - 8 = 0 与圆 x2 + y2 = 4 有公共点，所以即 a2 + b2 ³ 16 ，当 a = 1时， b = 4,5,6 ，有 3 种情形； 当 a = 2 时， b = 4,5,6 ，有 3 种情形； 当 a = 3 时， b = 3,4,5,6 ，有 4 种情形；当 a = 4,5,6 时， b = 1,2,3,4,5,6 ，有 18 种情形；故方程有解有 28 种情形，而(a, b)共有 36 种不同的情形，故所求的概率为 28 = 7 .369故选：B.【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.7C解析：C【分析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.【详解】对于选项 A, “至少有 1 个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;对于选项 B, “至少有 2 个白球”表示取出 2 个球都是白色的,而“至多有 1 个红球”表示取出的球 1 个红球 1 个白球,或者 2 个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;对于选项 C, “恰有 1 个白球”表示取出 2 个球 1 个红球 1 个白球, 与“恰有 2 个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;对于选项 D, “至多有 1 个白球”表示取出的 2 个球 1 个红球 1 个白球,或者 2 个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.故选 C.【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.8C解析：C【解析】【分析】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有10 种，而相克的有 5 种情况，得到抽取的两种1物质相克的概率是 2 ，进而得到抽取两种物质不相克的概率，即可得到答案.【详解】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有C 2 = 10 种，而相克的有 5 种情况，55则抽取的两种物质相克的概率是= 1 ，故抽取两种物质不相克的概率是1- 1 = 1 ，故选 C.【点睛】10222本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应用，其中解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9C解析：C【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为 A, B, C ，他们的学号分别为1,2,3 ，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如(1,3,2 )表示 A 同学拿到1 号， B 同学拿到3 号， C 同学拿到2 号.三人可能拿到的卡片结果为：(1,2,3 ), (1,3,2 ), (2,1,3 ), (2,3,1), (3,1,2 ), (3,2,1)，共 6种，其中满足题意的结果有(1,3,2 ), (2,1,3 ), (3,2,1)，共 3 种，31结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为： p =.62故选：C.【点睛】 方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数 (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏 (2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.10A解析：A【分析】设 10 件产品中存在n 件次品，根据题意列出方程求出n 的值【详解】设 10 件产品中存在n 件次品，从中抽取 2 件，其次品数为 X ，16C1C116由 P( X = 1) =得，n 10-n =，45C 24510化简得n2 -10n +16 = 0 ， 解得n = 2 或 n = 8 ；又该产品的次品率不超过40% ，n 4 ； 应取n = 2 ， 故选：A【点睛】本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题11C解析：C【分析】根据题意，结合排列组合，利用插空法和特殊位置法，先排丙，再插甲乙，即可得解.【详解】丙排第一，除甲乙外还有 3 人，共 A 3 种排法，此时共有 4 个空，插入甲乙可得 A2 ，34此时共有 A3 × A2 =6 ´12=72 种可能；34丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有C1 A4 排法，甲和乙不排在第一位，2 4则剩下 3 人有 1 人排在第一位，则有C1 A2 A2 种排法，3 2 3此时故共有C1 A4 +C1 A2 A2 =84 种排法.2 43 2 3故概率P = 72 + 84 = 13.A6606故选：C.【点睛】本题考查了排列组合，考查了插空法和特殊位置法，在解题过程中注意各种情况的不重不漏，有一定的计算量，属于较难题.12A解析：A【分析】由题意得 7 年级在周五排 3 个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的 6 节课中的两节课，由此能求出7 年级在周五排 3 个班的劳动与技术课程的概率【详解】由题意可知，7 年级在周五排 3 个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的 6 节课中的两节课，所以 7 年级在周五排 3 个班的劳动与技术课程的概率A3 A2.P =5 6A59故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题13D解析：D【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果【详解】解：三位数的回文数为 ABA，A 共有 1 到 9 共 9 种可能，即1B1 、2B2 、3B3¼1B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A0 A 、 A A 、 A2A 、 A3A 、¼共有9 ´10 = 90 个，其中偶数为 A 是偶数，共 4 种可能，即2B2 ， 4B4 ， 6B6 ， 8B8 ，1B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A0 A 、 A A 、 A2A 、 A3A 、¼其有4´10 = 40 个，404 三位数的回文数中，偶数的概率P = 90 = 9 ； 故选： D 【点睛】本题考查概率的求法，注意列举法在使用时一定做到不重不漏，属于中档题二、解答题314（1）a=0.030；（2）54 分；（3） 5 .【分析】（1） 由各组频率和为 1 列方程即可得解；（2） 由频率分布直方图结合等级达到 C 及以上所占排名等级占比列方程即可的解；（3） 列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【详解】（1）由题意，(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)´10=1，所以 a=0.030；（2）由已知等级达到 C 及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%=85%， 假设原始分不少于 x 分可以达到赋分后的 C 等级及以上，易得50 < x < 60 ， 则有(0.005+0.025+0.030+0.015)´10+(60-x)´0.015=0.85， 解得 x53.33(分)，所以原始分不少于 54 分才能达到赋分后的 C 等级及以上；（3）由题知得分在40,50)和50,60)内的频率分别为 0.1 和 0.15，则抽取的 5 人中，得分在40,50)内的有 2 人，得分在50,60)的有 3 人记得分在50,60)内的 3 位学生为 a，b，c，得分在40,50)内的 2 位学生为 D，E， 则从 5 人中任选 2 人，样本空间可记为W=ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE,共包含 10 个样本用 A 表示“这 2 人中恰有一人得分在40,50)内”，则 A=aD，aE，bD，bE，cD，cE，A 包含 6 个样本，故所求概率 P (A)= 6= 3 .【点睛】105关键点点睛：解决本题的关键是对频率分布直方图的准确把握，在使用列举法解决古典概型的问题时，要注意不遗漏不重复.378115（1） 16 ；（2）分布列见解析， 256 .【分析】（1） 利用排列组合计算方法种数，利用古典概型求概率；（2） 先分析 X 的所有可能取值，计算概率，写出分布列，套公式计算数学期望即可.【详解】（1）所有可能的选择方式有4 5种，“恰有 2 人选择井冈山”的方式有C2 × 33 种，从而“恰有5C2 × 331352 人选择井冈山”的概率为5=45512“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的方式有3 × 43种，从而“甲选择井冈山且乙不选择庐山”的概率为 3× 43 = 3 4516C11（2） X 的所有可能值为 1，2，3，4又 P( X = 1) =4 =，45256(C2 C3 A2 + C4 A2 )45P( X = 2) =45 2455 2=，256æ C2C2öC3 ç5 3 A3 + C3 ?A3 ÷P( X = 3) =4 è2!353 ø = 150 ，C2 ?A44525660P( X = 4) =54 =45256X1234P12564525615025660256故 X 的分布列为 X 的数学期望 E( X ) = 1´ 1+ 2 ´45 + 3´ 150 + 4 ´ 60= 781 【点睛】256256256256256求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：（1） 明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；（2） 利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；（3） 按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.16（1） p = 3 ， q = 2 ；（2） 5 .4【分析】312（1） 由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得 p, q ；（2） 分别求出两人答对 1 道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3 道题，则是一人答对 2 道题另一人答对 1 道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论【详解】解：（1）设 A = 甲同学答对第一题， B = 乙同学答对第一题，则 P (A)= p ，P (B)= q .设C = 甲、乙二人均答对第一题， D 则C = AB ， D = AB + AB.甲、乙二人中恰有一人答对第一题，由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A 与 B 相互独立， AB 与()相互互斥，所以 P (C )= P (AB)= P (A)P (B)， P (D )= P AB + ABAB.= P (AB )+ P (AB)= P (A)P (B )+ P (A)P (B )= P (A)(1- P (B )+ (1- P (A)P (B )ì pq = 1 ,ï2ï ()()由题意可得í5p 1- q + q 1- p =,îï12ì pq = 1 ,ì p = 3 ,ì p = 2 ,ï2即í17ï解得í4ï32 或í3ï p + q =.ïq =,ïq =.îï12îï3îï4由于 p > q ，所以 p = 3 ， q = 2 .43（2）设 Ai= 甲同学答对了i 道题， Bi= 乙同学答对了i 道题， i = 0 ，1，2.由题意得， P (A )= 1 ´ 3 + 3 ´ 1 = 3 ， P (A )= 3 ´ 3 = 9 ，14444824416P (B )= 2 ´ 1 + 1 ´ 2 = 4 ， P (B )= 2 ´ 2 = 4 .1333392339设 E = 甲乙二人共答对 3 道题，则 E = A B+ A B .1 22 1由于 A 和 B 相互独立， A B 与 A B 相互互斥，ii1 22 1所以 P (E )= P (A B)+ P (A B )= P (A )P (B)+ P (A )P (B )= 3 ´ 4 +9 ´ 4 = 5 .1 22 1125218916912所以，甲乙二人共答对 3 道题的概率为12 .【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设 A = 甲同学答对第一题， B = 乙同学答对第一题，设C = 甲、乙二人均答对第一题， D甲、乙二人中恰有一人答对第一题，则C = AB ，D = AB + AB同样两人共答对 3 题分拆成甲答对 2 题乙答对 1 题与甲答对 1 题乙答对 2 题两个互斥事件17（1） a = 0.1； 0.1；（2） 7 ；（3）5.38 小时.10【分析】（1） 由频率之和等于1 求出a 的值，这名学生该天居家自主学习的时间在3,4 )的概率；（2） 由频率分布直方图可知自主学习时间在0,1)和1,2 )的人分别有 2 人和 3 人，设在0,1)的 2 人分别为a, b ，在1,2 )的 3 人分别 A, B, C ，利用列举法结合古典概型的概率公式得出概率；（3） 由频率分布直方图中的数据，求解平均数即可.【详解】解：（1）因为(0.02+0.03+0.05+a + 0.15´ 2 + 0.2 + 0.3)´1 = 1 ，所以a = 0.1.由图可