形考作业答案(高等数学基础电大形考作业一).docx

高等数学基础形考作业 1 答案：第 1 章函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等x 2A. f (x) = ( x )2 ， g(x) = x B. f (x) =， g(x) = xC. f (x) = ln x 3， g(x) = 3ln x D. f (x) = x + 1， g(x) =x 2 - 1 x - 1分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A、 f (x) = ( x )2 = x ，定义域x | x ³ 0； g(x) = x ，定义域为 Rx2定义域不同，所以函数不相等；B、 f (x) = x ， g(x) = x 对应法则不同，所以函数不相等；C、 f (x) = ln x3 = 3ln x ，定义域为x | x > 0， g(x) = 3ln x ，定义域为x | x > 0 所以两个函数相等D、 f (x) = x + 1，定义域为 R； g(x) = x2 -1 = x +1 ，定义域为x | x Î R, x ¹ 1x -1定义域不同，所以两函数不等。故选 C设函数 f (x) 的定义域为(-¥,+¥) ，则函数 f (x) + f (-x) 的图形关于（C）对称A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. y = x分析：奇函数， f (-x) = - f (x) ，关于原点对称偶函数， f (-x) = f (x) ，关于 y 轴对称y = f (x)与它的反函数 y = f -1 (x)关于 y = x 对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设 g (x)= f (x)+ f (-x)，则 g (-x)= f (-x)+ f (x)= g (x)所以 g (x)= f (x)+ f (-x)为偶函数，即图形关于 y 轴对称故选 C下列函数中为奇函数是（B）1 / 7A. y = ln(1 + x 2) B. y = x cos xa x- xa+C. y =D. y = ln(1 + x)2分析：A、 y (-x)= ln(1+ (-x)2 ) = ln (1+ x2 )= y (x)，为偶函数B、 y (-x)= -x cos(-x)= -x cos x = - y (x)，为奇函数或者 x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、 y (-x)= a- x + ax = y (x)，所以为偶函数2D、 y (-x)= ln(1- x) ，非奇非偶函数故选 B下列函数中为基本初等函数是（C）A. y = x + 1 B. y = -xì- 1 ,x < 03 / 72C. y = xD. y = íî1 ,x ³ 0分析：六种基本初等函数（1） y = c （常值）常值函数（2） y = xa,a 为常数幂函数（3）y = ax (a > 0,a ¹ 1)指数函数（4） y = logax (a > 0,a ¹ 1)对数函数（5） y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x 三角函数y = arc sin x,-1,1,（6） y = arc cos x,-1,1,反三角函数y = arc tan x, y = arc cot x分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对对照比较选 C下列极限存计算不正确的是（D）A. limx 2= 1 B. limln(1 + x) = 0x®¥ x 2 + 2x®0C. lim sin x = 0 D. lim x sin 1 = 0x®¥xx®¥x分析：A、已知lim 1 = 0(n > 0)x®¥ xnx2limx2= limx2= lim1=1= 1x®¥ x2 + 2x®¥ x2 +2x®¥ 1+ 21+ 0x2x2x2B、limln(1+ x) = ln(1+ 0) = 0x®0初等函数在期定义域内是连续的C、lim sin x =limsin x = 01x®¥xx®¥ x1x ® ¥ 时，是无穷小量， sin x 是有界函数，x无穷小量×有界函数仍是无穷小量sin 1D、lim x sin 1 = limx ，令t = 1 ® 0, x ® ¥ ，则原式= lim sin t = 1x®¥故选Dxx®¥1xxt®0t当 x ® 0 时，变量（C）是无穷小量sin x1A.B.xx1C. x sinD. ln(x + 2)x分析； lim f (x)= 0 ，则称 f (x)为 x ® a 时的无穷小量x®aA、lim sin x = 1，重要极限x®0xB、lim 1 = ¥ ，无穷大量x®0 xC、lim x sin 1 = 0 ，无穷小量 x ×有界函数sin 1 仍为无穷小量x®0xxD、limln(x + 2)=ln(0+2)= ln 2x®0故选C若函数 f (x) 在点 x 满足（A），则 f (x) 在点 x 连续。00A. lim f (x) = f (xx® x00) B. f (x) 在点 x0的某个邻域内有定义C. limx® x+0f (x) = f (x0) D. limx® x+0f (x) = limx® x-0f (x)分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即lim f (x)= f (x )x®x00连续的充分必要条件lim f (x)= f (x)Û lim f (x)= lim f (x)= f (x )5 / 7x®x0x®x +x®x -0000故选Ax 2 - 9（二）填空题函数 f (x) =x - 3+ ln(1 + x) 的定义域是x | x > 3 分析：求定义域一般遵循的原则（1） 偶次根号下的量³ 0（2） 分母的值不等于 0（3） 对数符号下量（真值）为正（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1)（5） 正切符号内的量不能取kp ± p (k = 0,1,22x 2 - 9然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域f (x) =x - 3+ ln(1 + x) 要求求交集3 1 3ìx2 - 9 ³ 0ìx ³ 3或x £ -3ïx - 3 ¹ 0 得ïx ¹ 3ííï1+ x > 0ïx > 1îî定义域为 x | x > 3已知函数 f (x + 1) = x 2 + x ，则 f (x) = x2 - x 分析：法一，令t = x +1得 x = t -1则 f (t) = (t -1)2 + (t -1)= t 2 - t 则 f (x)= x2 - x法二， f (x +1) = x(x +1) = (x +1-1)(x +1)所以 f (t) = (t -1)t11 lim(1 +) x = e 2x®¥2xlimæ1+ 1 öx = elim(1+ x)1 = ex分析：重要极限ç÷x®¥ èø，等价式xx®0( )推广lim f (x)= ¥ 则lim(1+x®ax®a1) f (x) = e f xlim( )=lim(1+( ) f (x) =01f x则f xex®ax®a1lim(1+ 1 )x x®¥2x= lim(1x®¥+ 1 )2 x´122xìï1函数 f (x) = í(1 + x) x ,x < 0 ，在ïî x + k ,x ³ 0= e2若x = 0 处连续，则k = e分析：分段函数在分段点 x处连续Û lim f (x)= lim f (x)= f (x )0x®x +x®x -000lim f (x)= lim (x + k )= 0 + k = kx®0+x®0+所以k = exlim f (x)= lim (1+ x)1 = ex®0-x®0-ìx + 1 ,x > 0函数 y = íîsin x ,x £ 0的间断点是 x = 0 (为第一类间断点)分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）lim f (x)= lim (x +1)= 0 +1 = 1x®0+lim fx®0-(x)x®0+= lim sin x = 0x®0-不等，所以 x = 0 为其间断点若 lim f (x) = A ，则当 x ® xx® x00时， f (x) - A 称为无穷小量分析： lim( f (x) - A) = lim f (x) - lim A = A - A = 0x®xx®xx®x000所以 f (x) - A 为 x ® x0（三）计算题设函数时的无穷小量ìe x ,x > 0求： f (-2) , f (0) , f (1) f (x) = íîx ,x £ 0解： f (-2)= -2 ， f (0)= 0 ， f (1)= e1 = e2x -1求函数 y = lgx2x -1的定义域ïxì 2x -1 > 0ìïï1解： y = lg有意义，要求í解得íx >或x < 0xïx ¹ 0ï2îïïx ¹ 0î则定义域为ìx | x < 0或x > 1 üíý2îþ在半径为 R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为 h，即 OE=h，下底 CD2R （其中，AB 为梯形上底，下底CD 与半园直径重合，O 为园心，E 为AB 中点）直角三角形AOE 中，利用勾股定理得OA2 - OE2R2 - h2AE =R2 - h2h (22R + 2 R2 - h2则上底AB 2AE = 2故 S =R2 - h2)()= h R +求lim sin 3x （第 4，5，6，7，9 的极限还可用洛贝塔法则做）x®0 sin 2xsin3 x ´ 3xsin3 x解： lim sin3 x = lim3x= lim3x´ 3 1 ´ 3 = 3 x®0 sin 2xx®0 sin 2x ´ 2xx®0 sin 2x2122求 limx 2 - 12x2xx®-1 sin( x + 1)解： limx2 -1= lim (x -1)(x +1) = limx -1= -1-1 = -2x®-1 sin( x +1)x®-1 sin( x +1)x®-1 sin( x +1)1x +1求lim tan 3x x®0x解： lim tan3 x = lim sin3 x1= lim sin3 x ´1´ 3 = 1´ 1 ´ 3 = 3x®0xx®0xcos3 xx®03xcos3 x1求lim1 + x 2 - 1x®0sin xlim1+ x2 -1 = lim ( 1+ x2 -1)( 1 + x2 +1) = limx2解：x®0sin xx®0( 1+ x2 +1)sin xx®0( 1+ x2 +1)sin xx( 1+ x2 +1) sin xx= limx®0=0= 0 1+1 ´1()6 / 7求lim(x®¥x -1 x + 3) x -+-111=1(1)x(1)- x -1x -1解： lim()x = lim(x )x = limx33= lim-xe-1e-4x®¥ x + 3x®¥x®¥x®¥1 xe3ïî=(1+(1+)x(1+)3 3求lim x 2 - 6x + 8 x®4 x 2 - 5x + 4xxx3x2 - 6x + 8(x - 4)(x - 2)x - 24 - 22解： lim= lim ()() = lim=x®4 x2 - 5x + 4x®4 x - 4x -1x®4 x -14 -13设函数ì(x - 2) 2 ,x > 1f (x) = íx ,- 1 £ x £ 1ïx + 1 ,x < -1讨论 f (x) 的连续性，并写出其连续区间解：分别对分段点 x = -1,x = 1 处讨论连续性（1）lim f (x)= lim x = -1x®-1+lim fx®-1-(x)x®-1+limx®-1-x +1)= -1+1 = 0所以 lim f (x)¹ lim f (x)，即 f (x)在 x = -1 处不连续x®-1+x®-1-（2）lim f (x)= lim (x - 2)2 = (1- 2)2 = 1x®1+lim fx®(1- )(x)x®1+= lim x = 1x®1-f 1 = 1所以lim f (x)= lim f (x)= f (1)即 f (x)在 x = 1 处连续x®1+x®1-由（1）（2）得 f (x)在除点 x = -1 外均连续故 f (x)的连续区间为(-¥, -1) (-1, +¥)7 / 7