百师联盟2021届高三下学期5月冲刺卷(三)新高考卷数学试题 Word版含答案.docx

百师联盟 2021 届高三冲刺卷（三）新高考卷注意事项：数学试卷1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试时间为 120 分钟，满分 150 分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1集合 A = x-1 < x < 2， B = yy = 2x, x Î A ，则 AB = （）A ( -1,2 B æ 1 , 2 öC (-1,4 )D Æ2ç÷èø2角a 和b 满足sin(a + b) = 2sin(a - b) ，则tan æ p +a ö × tan b = （）A. - 13B. - 12ç÷2èø1C. 3D. 33. 已知直线l ， a ， b ，平面a ， b ，则l a 的一个充分条件可以是（）A a Ì a ， b Ì a ， a l ， b lC l b ， b / /aB b a ， l / /bD a / /a ， l a4. 已知a > 0 ， b > 0 ，且a + 2b = 3ab ，则ab 的最小值为（）842 2A1B 9C 9D35. 在新高考改革中，某校在一次高三模拟考试中使用赋分制对学生的化学成绩（满分100 分）进行赋分，按照分数从高到低相应等级和所占人数比例分别为： A 等级（7% ）， B 等级（33% ），C 等级（ 40% ）， D 等级（15% ）， E 等级（ 5% ）现从全年级随机抽取了200 名学生的化学原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，下列说法中正确的是（ ）A. 图中a 值为0.035B. 该200 名学生中，一定有45% 的学生化学原始分数在75 分数分及以上 C根据样本分析，估计化学原始成绩77 分可以在 B 等级处赋分 D采用分层抽样的方法从原始成绩在40,50 )和50,60 )共抽取10 人，则需从50,60 )中抽取8 人6. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数 、统计推断等做出了重要贡献根据贝叶斯统计理论，事件 A ， B ， A （ A 的对立事件）存在如下关系：P(B) = P(BA) × P( A) + P(BA) × P( A)若某地区一种疾病的患病率是0.02 ，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99% ，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99% 的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5% ，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5% %的可能会误报阳性现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为A 0.0688B 0.0198C 0.049D 0.057. 点 A 在双曲线 E : x2 - y2 = 1(a > 0,b > 0) 上，点 F 、F 分别为双曲线 E 的左右焦点，且 F A × F A = 0 ，a2b21212ÐAOF13A. 2= 120°，则该双曲线的离心率为（）3B. 1+2C. 2D. 28. 函数 f (x) =3cos wx -sinwx +1(w > 0) 在æ 0, p ö内存在最小值但无最大值，则w 的范围是（）ç2 ÷A æ 5 , 11ùB æ 5 , 4ùèøC 0,2 D é2, 11ùç 3 3 úç 3úê3 úèûèûëû二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分9. 复数 z = a + bi 满足 1 = 1+ i ，则下列说法正确的是（）zA在复平面内点(a, b)落在第四象限2C z =2B (-1- i)z 为实数1D复数 z 的虚部为- 1210. 在DABC 中，点 D 、 E 、 F 分别是边 AB 、 BC 和 AC 的中点，则（）A 2DF = BCB CD = 2(CE + CF)C CD×(CB - CA) = 0D 4BC × BA = 4BF2 - AC211. 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABCD - A BC D 的底面为长方形， AD = 1， AB =3 ， AA= 2 ，1 1 1 11点 P 在线段 D B 上，并满足 D P = tD B ，其中t 为实数(0 < t < 1)，点 M 在线段 DD 上，并满足DM = tDD ，1 111 111异面直线 DP 与 AM 所成角为q ，则cos q 的取值可能是（）112A 0B 3C 2D 312. 定义在R 上的函数 f (x)的导函数为 f ¢(x)，当 x Î(0,2 )时， f ¢(x) <f (x) ，函数 g (x)=f (x)满足：xxg (x +1)为奇函数，且对于定义域内的所有实数x ，都有 g (4 - x)= g (x)则（）A. g (x )是周期为4 的函数C g æ - 33 ö > g(2021) > g(e)B. g (x )为偶函数D g (x )的值域为-1,12ç÷èø三、填空题：本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上13. 已知| a |=3 ，| b |=1，且a + 2b 与 a 垂直，则 a 与b 的夹角为 14 数列a 为等比数列， a > 0 ，公比为q ，且满足a， 2a + a ， a成等差数列，则q = nn334515. 探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C : y2 = 8x ，一条光线经过 M (8, -6)，与 x 轴平行射到抛物线C 上，经过两次反射后经过 N (8, y )射0出，则 y = ，光线从点 M 到 N 经过的总路程为 016. 定义在0,1上的函数 f (x) = ekx + x2 - kx(k > 0) ，若2 - e £ f (x) £ e 恒成立，则 k 的取值范围为 四、解答题：本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在 a= 16 ， a+ 4a= 32a(n ³ 2, n Î N*)；T4n+1 - 4=；T4a - 4=n三个条件中任选一2n+1nn-1n3n3个补充到下面问题中，然后解答补充完整的题目等比数列a 中， a> 0 ，其前 n 项和为T，且 ，数列b 的前 n 项和为S，且b= log a nnn（1）求b ；nnnn2 n（2）若 1 +S11 + 1 +SS23+ 1 ³ 0.96 ，求 n 的最小值Sn18. 已知DABC 的内角 A 、 B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a = 2b cos C （1） 判断DABC 的形状并证明；（2） 若C = 30° ， DABC 的面积 S = 2 3 ，求DABC 的内切圆半径r 19. 如图，四棱锥 P - ABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， DPAD 是等腰直角三角形， E 为棱 PD 上一点，且 PE = l ED （1） 当l = 1 时，证明：直线 PB / / 平面 ACE ；（2） 当l = 2 时，求二面角 E - AC - D 的余弦值20. 2015 年10 月16 日，习近平总书记在减贫与发展高层论坛上强调，中国扶贫工作要实施精准扶贫方略， 坚持中国制度优势，坚持分类施策当年11 月23 日，中共中央政治局召开会议，审议通过了关于打赢脱贫攻坚战的决定等有关文件，会议确定了通过产业扶持、转移就业、教育支持和医疗救助等措施帮助5000 万年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年序号 x贫困户数 y （百户）第0 年5.4第1年第 2 年第3 年4.63.42.5第 4 年第5 年1.60.5左右贫困人口脱贫的目标下表为某贫困县在实施扶贫政策过程中贫困户的统计数据：（1） 从这六组数据的贫困户数中任意抽取两个值a ，b （百户），设x 为a - b 四舍五入后的整数值，求随机变量x 的分布列及期望值 Ex ；（2） 以2015 - 2019 年五组数据进行相关性分析发现，贫困户数 y （百户）与年份的序号 x 存在较强的线性相关性，试用最小二乘法求相应的回归方程，并利用2020 年的数据对该回归方程进行检验若实际数与预测值的差值的绝对值不超过10 户，则认为回归方程可靠请问该回归方程是否可靠？附：回归方程 y = bx + a 中斜率和截距的最小二乘法公式为：ån x y - nx yån(x - x )(y - y )b =i ii=1ii=i=1， a = y - bx åni=1x2 - nx 2iån (xii=1- x )221. 椭圆C : y2 + x2 = 1(a > b > 0) 的上下焦点分别为 F ， F ，离心率为6， P 为椭圆C 上的一个动点，a2b21232DPFF 的面积最大值为41 2（1） 求椭圆C 的标准方程；（2） 过点M (1,0 )作直线与椭圆C 相交于 A ，B 两点，是否存在 x 轴上的点Q (t,0 )，使得QA×QB 为定值？若存在，求出t ；若不存在，说明理由ln x22. 函数 f (x) = aex -1， a 为常数x（1） 当a = 0 时，求函数 f (x)的单调性和极值；（2）当a = 1 时，证明：对任意 x Î(0, +¥) ， f (x) ³ 1 x百师联盟 2021 届高三冲刺卷（三）新高考卷数学参考答案及评分意见 æ 1öæ 1ö1B【解析】 A = x-1 < x < 2 = (-1,2) ， B = yy = 2x, x Î A = ç 2 ,4 ÷ ，所以 AB = ç 2 ,2 ÷ 2. A【解析】因为sin(a + b) = 2sin(a - b) ，èøèø所以sina ×cosb + cosa ×sin b = 2sin a ×cosb - 2cosa ×sin b ， 所以sina ×cosb = 3cosa ×sin b ，sin æ p +a öæ pöç 2÷sin bcosa ×sin b1故tan ç+a ÷ × tan b =è pø ×b = ab = -è 2øcosæ +a ö cos-sin×cos32ç÷èø3. C【解析】A 选项若a / /b ，则不能得到l a ；B 和D 中l 与a 的位置关系无法确定；C 选项正确4. B【解析】因为a > 0 ， b > 0 ，且a + 2b = 3ab ，所以 1 + 2 = 3 ，ba2ab所以3 = 1 + 2 ³ 2，baab所以³ 2 2 ，即ab ³ 839当且仅当ïbaì1 = 2íïîa + 2b = 3ab即 a = 4 ， b = 2 时等号成立，故ab338的最小值 9 5C【解析】由(0.010 + 0.015+ 0.015+ a + 0.025+ 0.005)´10 = 1得 a = 0.030 ，A 错误；200 名学生为随机抽取，原始分数分布无法完全确定，B 错误；原始分数位于 90,100的频率为 0.05 ，位于80,90 ) 的频率 为 0.25 ，由 (80 - x) ´ 0.030+ 0.3 = 0.4 得x » 76.67 ，所以77 分可以在 B 等级处赋分，C 正确；成绩在40,50 )和50,60 )的比例为2 : 3 ，所以应在50,60 )中抽取的人数为10´3= 6 ，D 错误2 + 36. A【解析】设用该试剂检测呈现阳性为事件B ，被检测者患病为事件 A ，未患病为事件 A ， 则 P(BA) = 0.99 ， P( A) = 0.02 ， P(BA) = 0.05 ， P( A) = 0.98 ，故所求概率 P(B) = 0.99´ 0.02 + 0.05´ 0.98 = 0.06887. B【解析】不妨设点 A 在双曲线的右支上因为 F A × F A = 0 ，12所以 AF AF ，所以 OA =| OF |=| OF1又因为ÐAOF1212= 120°，所以ÐAF F = 30°，1 2所 以 AF = 1 F F = c ， AF=3c ，221 21所以离心率为e =c = 2c =2c=2c=3 + 1AF - AF123c - ca2a8A【解析】 f (x) = 2cos æwx + p ö +1 ，ç÷6èø因为 f (x)在æ 0, p ö内存在最小值但无最大值，ç2 ÷èø当 x Îæ 0, p ö 时， wx + p Îæ p , pw + p ö ，ç2 ÷6ç 626 ÷èøèø故结合图象可得：p < pw + p £ 2p ，26所以 5 < w £ 11 339. ACD【解析】易得 z =1 =1- i= 1 - 1 i ，1+ i(1+ i)(1- i)22所以a = 1 ， b = - 1 ，22ç÷点æ 1 , - 1 ö落在第四象限，A 正确；22èøèø(-1- i)z = (-1- i) æ 1 - 1 i ö = -1，故B 错误；| z |=ç 22 ÷æö12æö12ç 2 ÷ç2 ÷èøèø+ -=2 ，C 正确：易知D 正确210. AD【解析】根据已知条件，易知2DF = BC ，A 正确；因为四边形CFDE 是平行四边形，所以CD = CE + CF ，故B 错误； 因为CB - CA = AB ，而CD AB 不一定成立，所以C 错误；因为 BF = 1 (BA + BC) ，2所以（方法一） 4BF 2 - AC2 = (BA + BC)2 - (BC - BA)2 = 4BC × BA ，故D 正确（方法二）4BF 2 - AC2 = (BA + BC)2 - AC 2 =| BA |2 + | BC |2 - | AC |2 +2BC × BA = 2 | BA | BC | cos B + 2BC × BA= 2BC × BA + 2BC × BA= 4BC × BA故D 正确11BC【解析】如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0) ， A(1,0,0)， P(t, 3t,2) ， M (0,0,2 t) ，所以 DP = (t, 3t,2) ， AM = (-1,0,2 t)DP × AM=DP × AM设直线 DP 与直线 AM 所成角为q ，由0 < t £ 1 知，cosq3t2 t 2 +1 × 4t 2 +1=3t2 t 2 +1 × 4t 2 +1令 f (t )=()()9t 291则 f 2t =£，ç÷4 t 2 +1 4t 2 +14 æ 4t 2 + 1 + 5ö4èt 2ø当且仅当4t 2 =1 即t =t 2时等号成立，22所以 f (t )£ 1 ，又因为直线 DP 与直线 AM 异面，2所以0 < cosq £ 1 ，故选 BC212ABC【解析】因为 g (x)= f (x)，所以 g¢(x)= xf ¢(x)- f (x )，xx2在 x Î(0,2 )时， f ¢(x)<所以 g¢(x)< 0 ，f (x)，所以 xf ¢(x)- f (x)< 0 ，x故 g (x )在(0,2 )上单调递减因为 g (x +1)为奇函数，所以函数g (x )关于点(1,0)中心对称；又g (4 - x)= g (x)，所以函数g (x )关于直线 x = 2 对称，所以 g (x )在(2,4 )单调递增，且可得 g (x )是周期为4 的周期函数，A 正确因为 g æ - 33 ö = g æ 7 ö ， g (2021)= g (1)，结合草图可知 g æ - 33 ö > g (2021)> g (e)，C 正确ç2 ÷ç 2 ÷ç2 ÷èøèøèø对于定义域内任一个 x ，结合周期性可得 g(-x) = g(-x + 4) = g(x) ，故 g (x )为偶函数，B 正确而 g (x )的函数最值无法确定，故D 错误13【解析】(a + 2b) × a = a2 + 2a ×b = 3 + 2a ×b = 0 ，所以a × b = -5p362所以cos a, b =a × b = -3 ，所以夹角cos a, b = 5pa × b2314 3 【解析】由题意知4a + 2a = a + a6，所以3a + 2a q = a q2 ，即q2 - 2q - 3 = 0 ，435且由a > 0 知 q > 0 ，所以q = 3n33315 8 ， 20 【解析】如图，易得P æ 9 , -6 ö ，因为 F (2,0 )，ç÷23èø所以直线 PF 的方程为12x + 5y - 24 = 0 ì y2 = 8x联立í消去 x 整理得3y2 +10 y - 48 = 0 ，î12x + 5 y - 24 = 0可设Q (x , y )，显然-6 和 y是该方程的两个根，0008则-6 y0= -16 ，所以 y =03（方法一）光线从点M 到 N 经过的总路程为| MP | + | PQ | + | QN |= (x- x )+ (x + x + 4)+ (xMPPQN- x )= xQM+ x + 4 = 20 N（方法二）设抛物线的准线为l ，则其方程为 x = -2 ，分别过点 P ，Q 做准线l 的垂线，垂足分别为G ，H ， 则 PF = PG ， QF = QH ，所以 PQ = PF + QF = PG + QH ，故光线从点 M 到 N 经过的总路程为MP + PQ + QN = MG + NH = 8 + 2 + 8 + 2 = 20 16. (0,1 【解析】因为 f (x) = ekx + x2 - kx ，所以 f ¢(x) = kekx + 2x - k ，易知 f ¢(0)= 0 且 f ¢(x) = k 2ekx + 2 > 0 ，所以 f ¢(x)单调递增， 所以当 x Î(0,1 时， f ¢(x)> 0 ， f (x)单调递增又因为2 - e £ f (x)£ e 恒成立，所以需同时满足如下条件：（1） f (0)³ 2 - e ；（2） f (1)£ e 因为 f (0)= 1 ³ 2 - e ，所以（1）成立；对于（2）， f (1)= ek +1- k ，设 g(k) = ek +1- k ，则 g¢(k) = ek -1 ，因为 k > 0 ，所以 g¢(k )> 0 ，则 g (k )单调递增，而 g (1)= e ，所以0 < k £ 1 17. 【解析】（1）设数列a 的公比为q ，则由a> 0 得 q > 0 nn()方案一：选择 a2= 16 ， an+1(+ 4an= 32an-1)n ³ 2, n Î N* 因为an+1+ 4an= 32an-1n ³ 2, n Î N* ，所以aq2 + 4aq - 32a= 0 ，n-1n-1n-1即 q2 + 4q - 32 = 0 ， 解得q = -8 或 q = 4 因为 q > 0 ，所以q = 4 所以an= a × qn-2 = 16× 4n-2 = 4n2所以bn= log a2 n= log24n = 2n ，即bn= 2n 方案二：选择Tn= 4n+1 - 4 3因为Tn= 4n+1 - 4 ，3所以a1= T =142 - 4 = 43又因为T2= 42+1 - 43= 20即 a + a12a= 20 ，所以a2= 16 ，故 q =2 = 4a1所以an= a × qn-2 = 16× 4n-2 = 4n2所以bn= log a2 n= log24n = 2n ，即bn= 2n 方案三：选择因为T4a - 4=nn34a - 44a - 4因为Tn解得a1= n3= 4，所以a1= T = 1， 13又因为T2= 42+1 - 43= 20 ，即a + a12= 20 ，所以a2= 16 ，故q = 2 = 4 ，aa1所以an= a × qn-2 = 16× 4n-2 = 4n2所以bn= log a2 n= log24n = 2n ，即bn= 2n n(2 + 2n)（2） 由（1）可得， Sn即 S = n (1+ n)，n= 2 + 4 + 6 + 2n =，2所 以 1 =1= 1 -1 Sn(1+ n)nn +1n所以 1 +1 + 1 + + 1 = 1- 1 + 1 - 1 + + 1 -1= 1-1SSS123S223nnn +1n +1因为 1 +S11 + 1 +SS23+ 1 ³ 0.96 ，所以1-Sn1n +1³ 0.96所以n ³ 24 ，故 n 的最小值为24 18. 【解析】（1） DABC 是等腰三角形下面证明：因为a = 2b cos C ，所以sinA = 2sin B cos C所以sin(B + C) = 2sin B cosC ，即sin B cos C + cos B sin C = 2sin B cos C所以cos B sin C = sin B cos C ，所以sin(B - C) = sin B cosC - cos B sin C = 0 在DABC 中， B - C Î(-p,p )，所以 B - C = 0 ， 故 B = C ，所以DABC 是等腰三角形（方法二）因为a = 2b cos C ，所以a = 2b × a2 + b2 - c2 = a2 + b2 - c22aba所以b2 - c2 = 0 ，所以b = c ，故DABC 是等腰三角形（2）因为ÐC = 30° ，所以 B = 30° ，且有b = c ， A = 120 °所以 S = 1 bc sin A = 2 3 ，2即3 bc = 2 3 ， 4所以bc = 8 ，故b = c = 2 2 又 a2 = b2 + c2 - 2bc cos A = 24，所以a = 2 6 2又 S = 1 ×(a + b + c)× r ，所以(2 2 +6 )× r = 2 3 ，所以r = 2 6 - 3219. 【解析】（1）证明：连接 AC 交 BD 于O ，连接OE因为四边形 ABCD 是正方形，所以O 为 BD 的中点因为 PE = ED ，所以 E 为 PD 的中点所以 PB / /OE因为 PB Ë 平面 ACE ， OE Ì 平面 ACE所以 PB / / 平面 ACE （2）因为 PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是边长为2 的正方形，DPAD 是等腰直角三角形，所以 AP = 2 以 A 为原点，分别以射线 AB ， AD ， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0) ， D(0,2,0) ， P(0,0, 2)øè由 PE = 2ED 可得 E æ 0, 4 , 2 öç3 3 ÷øè因为 PA 平面 ABCD ，所以平面 ACD 的一个法向量为 AP = (0,0,2 )设平面 ACE 的法向量为n = (x, y, z )，因为 AC = (2,2,0 )， AE = æ 2, 4 , 2 ö ç3 3 ÷ì AC × n = 2x + 2 y = 0ï所以í42ïî AE × n = 3 × y + 3 × z = 0取 x = 1 ，得 y = -1， z = 2 ，所以n = (1, -1,2 )，42 × 6AP × n6所以=| AP | × | n |3因为二面角 E - AC - D 为锐二面角，所以二面角 E - AC - D 的平面角的余弦值为6 320【解析】1）用(x, y)表示取得的数据分别为 x 和 y ，则所有的基本事件有(5.4,4.6) ，(5.4,3.4) ，(5.4,2.5) ，(5.4,1.6)， (5.4,0.5)， (4.6,3.4)， (4.6,2.5)， (4.6,1.6)， (4.6,0.5)， (3.4,2.5)， (3.4,1.6) ， (3.4,0.5) ，(2.5,1.6)， (2.5,0.5) ， (1.6,0.5) 共15 个，对应的x 的取值分别为1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，1， 2 ， 3 ， 4 ，1，2 ， 3 ，1， 2 ，1，即x 的取值有1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，且P(x = 1) = 5 = 1 ， P(x = 2) = 4 ， P(x = 3) = 3 = 1 ， P(x = 4) = 2 ， P(x = 5) = 1 ，153151551515故变量x 的分布列为xP期望值 Ex = 1´1234514121315515155 + 2´ 4 + 3´ 3+ 4´2 + 5´ 1 = 7 15151515153（2）根据题意知， x = 2 ， y = 3.5 ，所以b = 0 + 4.6 + 6.8 + 7.5 + 6.4 - 5´ 2 ´ 3.5 = -0.97 0 +1+ 4 + 9 +16 - 5´ 22则 a = 3.5 + 0.97 ´ 2 = 5.44 所以 y = -0.97x + 5.44当 x = 5 时， y = -0.97´ 5 + 5.44 = 0.59，而预测数与实际数的差值的绝对值为| 0.59 - 0.5 |= 0.09 （百户），即差值为9 户，所以该回归方程可靠6621. 【解析】（1）离心率e = c =，所以c =a ，a333所以b =3 a 因为DPFF 的面积最大值为4，所以 1 × 2c × b = 4 2 ，21 222即a2 = 4 2 ，3所以a2 =12 ，故b2 = 4 所以椭圆C 的标准方程为 y2 + x2124= 1 （2）假设存在符合要求的点Q (t,0 )若直线l 斜率存在，则可设直线l 的方程为 y = k (x -1)ïì y2 + x2 = 1联立í124()ïî y = k(x -1)消去 y ，整理得 3 + k 2x2 - 2k 2 x + k 2 -12 = 0 由题意可知D > 0 ，设 A (x , y )， B (x , y )，11222k 2k 2 -12则 x + x =， x x =123 + k 21 23 + k 2因为QA = (x - t, y )， QB = (x- t, y )1122所以QA×QB = (x - t )(x - t )+ y y = (x - t )(x - t )+ k 2 (x -1)(x-1)()121 21212= 1+ k 2 x x - (t + k 2 )(x + x )+ t 2 + k 21 212= k 2 -12 + k 4 -12k 2 - 2tk 2 + 2k 4 + 3t 2 + t 2 k 2 + 3k 2 + k 43 + k 23 + k 23 + k 2()()t2 - 2t - 8 3 + k 2 + 6t +12=3 + k 26t +12= t 2 - 2t - 8 +3 + k 2若QA·QB 为定值，则6t + 12 = 0 ，解得t = -2则Q (-2,0 )，此时QA·QB = 0 若直线l 斜率不存在，则直线l 的方程为 x = 1 ，代人 y2 + x2124= 1 得 y2 = 9不妨设 A(1,3 )， B (1, -3)， 此时若取Q (-2,0 )，则QA = (3,3)， QB = (3,-3)故QA×QB = 0 综上所述，存在 x 轴上的点Q (t,0 )，使得QA×QB 为定值，此时t = -2 22. 【解析】（1）因为a = 0 ，所以 f (x)= - ln x -1 ，x所以 x > 0 ，且 f ¢(x)= ln x -1 x2由 f ¢(x)= 0 得 x = e ； f ¢(x)> 0 得 x > e ；f ¢(x)< 0 得0 < x < e 列表得xf ¢(x)f (x)(0, e)-e0(e, +¥)+极小值所以 f (x)在(0, e