2022年湖南省长沙市中考数学试卷真题+答案.pdf

2022年年湖南省湖南省长沙市长沙市中考中考数学数学试卷试卷 注意事项：注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共本学科试卷共25个小题，考试时量个小题，考试时量120分钟，满分分钟，满分120分分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共意的选项本大题共10个小题，每小题个小题，每小题3分，共分，共30分）分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 2. 如图是由 5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查某班 45名学生的身高情况宜采用全面调查 B. “太阳东升西落”是不可能事件 C. 为了直观地介绍空气各成分百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币 26次，出现正面朝上的次数一定是 13次 4. 下列计算正确是（ ） 6-16-6-16的的 A B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 义务教育课程标准（2022年版） 首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 7. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动现需购买甲，乙两种读本共 100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为 10元/本，乙种读本的单价为 8元/本，设购买甲种读本 x本，则购买乙种读本的费用为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 如图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按以下步骤作图： 分别过点 A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于 P、Q两点； 作直线 PQ交 AB于点 D； 以点 D为圆心，AD长为半径画弧交 PQ于点 M、连接 AM、BM 若，则 AM的长为（ ） .752aaa=541aa-=236326aaa=222()abab-=-(5,1)( 5,1)-(5, 1)-(1,5)( 5, 1)-8x10(100) x-8(100) x-(1008 ) x-75ABCDAECFBAE=!DCF657075105O!128AOB=P32526472ABC!12AB2 2AB = A. 4 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共6个小题，每小题个小题，每小题3分，共分，共18分）分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_ 12. 分式方程的解是_ . 13. 如图，A、B、C是上的点，垂足为点 D，且 D为 OC的中点，若，则 BC的长为_ 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数 t的值为_ 15. 为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体 1000名学生中，随机抽取了 100名学生进行调查结果显示有 95名学生知晓由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有_名 16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力看似“码码相同”，实则“码码不同”通常，一个“二维码”由 1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于 1000个方格只有 200个方格作为数据码根据相关数学知识，这 200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神） ：就是 200个 2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂） ：等于； JXND（觉醒年代） ：个位数字是 6； 3219x-253xx=+O!OCAB7OA =220 xxt+ =200220022002200222002002的 QGYW（强国有我） ：我知道，所以我估计比大 其中对的理解错误的网友是_（填写网名字母代号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共9个小题，第个小题，第17、18、19题每小题题每小题6分，第分，第20、21题每小题题每小题8分，分，第第22、23题每小题题每小题9分，第分，第24、25题每小题题每小题10分，共分，共72分解答应写出必要的文字说分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点 D为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为 （1）求该斜坡的高度 BD； （2）求斜坡新起点 C与原起点 A之间的距离 （假设图中 C，A，D三点共线） 20. 2022年 3月 22日至 28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了 150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表 成绩 x/分 频数 频率 15 0.1 a 0.2 45 b 60 c 10321024,101000=2002601020021201| 4|( 2)20353-+-+38 2(1)6xxx - -20m30BADBDAD= （1）表中_，_，_； （2）请补全频数分布直方图： （3）若某班恰有 3名女生和 1名男生的初赛成绩均为 99分，从这 4名学生中随机选取 2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的 2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率 21. 如图，AC平分，垂足分别为 B，D （1）求证：； （2）若，求四边形 ABCD的面积 22. 电影刘三姐中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题其大意是：把 300条狗分成 4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题： （1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“”，错误的打“” 刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案 （ ） 刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案 （ ） 该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种 （ ） =ab =c =BADCBABCDADABCADC43ABCD= （2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多 40条”，求每个群里狗的数量 23. 如图，在中，对角线 AC，BD相交于点 O， （1）求证：； （2）若点 E，F分别为 AD，AO的中点，连接 EF，求 BD的长及四边形 ABCD的周长 24. 如图，四边形 ABCD内接于，对角线 AC，BD相交于点 E，点 F在边 AD上，连接 EF （1）求证：； （2）当时，则_；_；_ （直接将结果填写在相应的横线上） （3）记四边形 ABCD，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由 当，时，试用含 m，n，p的式子表示 25. 若关于 x函数 y，当时，函数 y的最大值为 M，最小值为 N，令函数，我们不妨把函数 h称之为函数 y的“共同体函数” （1）若函数，当时，求函数 y的“共同体函数”h的值； 若函数（，k，b为常数） ，求函数 y的“共同体函数”h的解析式； ABCD!ABAD=ACBD322EFAO=O!ABEDCE很2DCCBDFECDB= AEDEBECE-=AFFEABAD+=111ABADAF+-=ABECDE12,S S S12SSS=+ABECDEDCCB=ABmADnCDp=AE CE的1122txt- +2MNh-=4044yx=1t =ykxb=+0k （2）若函数，求函数 y的“共同体函数”h的最大值； （3）若函数，是否存在实数 k，使得函数 y的最大值等于函数 y的“共同体函数”h的最小值若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由21yxx=紅红24yxxk= -+ 2022年年湖南省湖南省长沙市长沙市中考中考数学数学试卷试卷 注意事项：注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6.本学科试卷共本学科试卷共25个小题，考试时量个小题，考试时量120分钟，满分分钟，满分120分分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共中填涂符合题意的选项本大题共10个小题，每小题个小题，每小题3分，共分，共30分）分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得 【详解】解：相反数是 6 故选 D 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键 2. 如图是由 5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6-16-6-166-的 【解析】 【分析】根据从正面看的图形是主视图即可求解 【详解】解：该几何体的主视图是 故选 B 【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图掌握以上知识是解题的关键 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 调查某班 45名学生的身高情况宜采用全面调查 B. “太阳东升西落”是不可能事件 C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图 D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币 26次，出现正面朝上的次数一定是 13次 【答案】A 【解析】 【分析】根据全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，逐项分析判断即可求解 【详解】解：A. 调查某班 45名学生的身高情况宜采用全面调查，故该选项正确，符合题意； B. “太阳东升西落”是必然事件，故该选项不正确，不符合题意； C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意； D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币 26次，出现正面朝上的次数可能是 13次,故该选项不正确，不符合题意； 故选 A 【点睛】本题考查了全面调查与普查，随机事件，必然事件，统计图的选择，掌握以上知识是解题的关键根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，由此根据情况选择即可 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式逐项分析判断即可求解 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选 A 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，单项式的乘法，完全平方公式，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键 5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是 故选 D 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键 6. 义务教育课程标准（2022年版） 首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定某班有 7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 3，3 D. 4，4 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数及中位数的概念进行判断即可 【详解】3出现次数最多， 众数是 3； 752aaa=541aa-=236326aaa=222()abab-=-752aaa=54aaa-=235326aaa=222()2abaabb-=-+(5,1)( 5,1)-(5, 1)-(1,5)( 5, 1)-(5,1)( 5, 1)-! 把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6， 4位于第四位， 中位数4； 故选：A 【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，一组数据中，出现次数最多的数为众数；按从小到大（或从大到小）顺序排列，处于中间位置的一个数（或两个数的平均数）为这组数据的中位数，熟练掌握这两个知识点是解题的关键 7. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”读书活动现需购买甲，乙两种读本共 100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为 10元/本，乙种读本的单价为 8元/本，设购买甲种读本 x本，则购买乙种读本的费用为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列求得购买乙种读本本，根据单价乘以数量即可求解 【详解】解：设购买甲种读本 x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为 8元/本，则则购买乙种读本的费用为元 故选 C 【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题关键 8. 如图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质即可求解 【详解】如图，设交于点， 为的8x10(100) x-8(100) x-(1008 ) x-()100 x-()100 x-8(100) x-的75ABCDAECFBAE=!DCF657075105,AE CDG ， 故选：C 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键 9. 如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质以及四边形的内角和即可求解 【详解】解：PA，PB是的切线， ， ， ， 则， 故选 B 【点睛】本题考查了切线的性质以及四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键 10. 如图，在中，按以下步骤作图： 分别过点 A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于 P、Q两点； 作直线 PQ交 AB于点 D； 以点 D为圆心，AD长为半径画弧交 PQ于点 M、连接 AM、BM 若，则 AM的长为（ ） !ABCD75BAE=75DGEBAE= =!AECF!75DCFDGE= =O!128AOB=P32526472O!,OAPA OBPB90PAOPBO= =!128AOB=P360909012852=- =ABC!12AB2 2AB = A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可知垂直平分，是等腰直角三角形，据此即可求解 【详解】解：由作图可得垂直平分， 则等腰直角三角形 由勾股定理得： 故选：B 【点睛】本题考查了作垂线，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握基本作图理解题意是解题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共6个小题，每小题个小题，每小题3分，共分，共18分）分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求解即可 【详解】式子在实数范围内有意义， ， 解得， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0，熟练掌握知识点是解题的关键 12. 分式方程的解是_ . 【答案】x=2 32PMAB12DMAB=ABM!PMAB122ADDMAB=ADM!是2222AMAD=19x-19x 190 x-!19x-190 x -19x 19x 253xx=+ 【解析】 【详解】解：两边同乘 x（x+3） ，得 2（x+3）=5x， 解得 x=2， 经检验 x=2是原方程的根； 故答案为：x=2 【点睛】考点：解分式方程 13. 如图，A、B、C是上的点，垂足为点 D，且 D为 OC的中点，若，则 BC的长为_ 【答案】7 【解析】 【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解 【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点， ， D为 OC的中点， ， 四边形是菱形， 故答案为：7 O!OCAB7OA =OCABABOCAOBC,OB CA!O!OCABADDB=!ODDC=AOBC7OA =7BCAO= 【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数 t的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，求解即可 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键 15. 为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体 1000名学生中，随机抽取了 100名学生进行调查结果显示有 95名学生知晓由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有_名 【答案】 【解析】 【分析】用即可求解 【详解】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有（名） 故答案为： 【点睛】本题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体是解题的关键 16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力看似“码码相同”，实则“码码不同”通常，一个“二维码”由 1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于 1000个方格只有200个方格作为数据码根据相关数学知识，这 200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神） ：就是 200个 2相乘，它是一个非常非常大的数； 220 xxt+ =1t!x220 xxt+ =224 10tD =- 1t 1t0D =D200602101201| 4|( 2)20353-+-+ 【详解】解： = =6 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握各部分的运算法则是解答本题的关键 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 所以，不等式组的解集为 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键 19. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点 D为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为 （1）求该斜坡的高度 BD； （2）求斜坡新起点 C与原起点 A之间的距离 （假设图中 C，A，D三点共线） 【答案】 （1）10m （2）20m 【解析】 【分析】 （1）根据含 30度角的直角三角形的性质即可求解 （2）根据，可得，根据等腰三角形的性质即可求解 【小问 1 详解】 ， 1201| 4|( 2)20353-+-+432 1+ -+38 2(1)6xxx - -24x- -4x 24x- 20m30BADBDAD=15BADCABC= +15ABC=!30BADBDAD=20mAB =12BDAB=10m= 【小问 2 详解】 C，A，D三点共线， 【点睛】本题考查了含 30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，掌握以上知识是解题的关键 20. 2022年 3月 22日至 28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了 150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表 成绩 x/分 频数 频率 15 0.1 a 0.2 45 b 60 c （1）表中_，_，_； （2）请补全频数分布直方图： （3）若某班恰有 3名女生和 1名男生的初赛成绩均为 99分，从这 4名学生中随机选取 2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的 2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率 【答案】 （1）30，0.3，0.4 （2）见解析 （3）选出的 2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为 【解析】 !30BAD=15ACB=15ABCBADC= -=20mACAB=6070 x7080 x8090 x90100 x2kh =0k yx314044404422202222MNh- =ykxb=+0k 1122txt- +11,22Mk tb Nk tb=+=-+22MNkh- =0k 2kh =0k 1xyx112t -32t 1122txt- +2424,11212122MNtttt=-+-+ ， 当时，随 的增大而增大， 当时，取得最小值，此时取得最大值， 最大值为； 【小问 3 详解】 对于函数， ，抛物线开口向下， 时，随的增大而增大， 时，随的增大而减小， 当时，函数 y的最大值等于， 在时， 当时，即时， ， 的最小值为（当时） ， 若， 解得， 但，故不合题意，故舍去； 当时，即时， ()()()()()()22 212 211444422 21212121212141ttMNhttttttt+-=-=-+-+-+-32t 241t -t32t =241t -h()()44121 212 42htt=-+24yxxk= -+()224xk=-+ +10a = - 2x yx2x =4k+1122txt- +122t +3t2211422Nttk= -+-+211422Mttk= -+h =2MN-=22111114422222ttkttk-+- -+-+=2t-h1232t =124k=+72k = -32t 5t2211422Mttk= -+-+211422Nttk= -+ ， 的最小值为（当时） ， 若， 解得， 但，故不合题意，故舍去 当时，即时， i)当时，即时 对称轴为，抛物线开口向上，在上， 当2时，有最小值， 解得 i i)当 时，即时， ， ， 对称轴为，抛物线开口向上，在上， h =2MN-=2t -h1252t =124k=+72k = -52t 72k = -11222tt- +3522t 4Mk=+112222tt-+-322t 211422Nttk= -+-+22114415252222228kttkMNhtt+-=-+!52t =102322t t =h18148k=+318k = -112222tt-+-522t 4Mk=+N =211422ttk-+2211441392222228kttkMNhtt+-+-=-+!32t =102522t 当2时，有最小值， 解得 综上所述，时，存在 t =h18148k=+318k = -2t =318k = -