平面向量的数量积讲义--高三数学一轮复习.docx

高三数学第一轮复习专题 平面向量的数量积一、平面向量的数量积：1向量的夹角：已知两个非零向量、，作，则叫做向量 与的夹角。当时， 与同向； 当时，与反向。如果与的夹角是，则称与垂直，记作：。2向量的数量积： 已知两个非零向量、，我们把数量叫做与的数量积，记作：，即（其中为与的夹角） 规定：，即零向量与任一向量的数量积为0。向量的投影： 3向量的数量积重要结论： 与为非零向量，为与的夹角（因） ，特别地， （求向量的模） （求向量的夹角）4向量的数量积的运算律：已知向量和实数，（1） （交换律）（2）（3） （分配律）注意：消去律不成立。即：结合律不成立。 （因与不一定共线）例1。求证：（1） （完全平方式）（2） （平方差公式）二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角：1。数量积的坐标表示：，为非零向量， 结论：（1）两向量垂直：（2）求模：若，则，故。若，则（3）求夹角：设是非零向量，为夹角。（4）求投影：在方向上的投影为：在方向上的投影为：规律：求在方向上的投影不必求，只需求即可； 求在方向上的投影不必求，只需求即可。 例。在中，BC=5，AC=8，求。题型一：单位向量有关问题（与同向，与反向，与共线，与垂直） 例。已知，则与平行的单位向量为( ).A. B. C. D.解析：，与平行的单位向量为。注意：与同向的单位向量为：，与共线的单位向量为：。题型二：平行与垂直向量。例1。已知向量若平行，则x=（ ）A -2 B 0 C 1 D 2例2。已知平面向量，若与垂直，则（ ）A -1 B 1 C -2 D 2 题型三：数量积的运算：求模、求夹角、求向量的投影。例。已知向量，则在方向上的投影为（ ）A B C D 解析：在方向上的投影为：例。已知 则向量在方向上的投影为 （ ）A. B. C. D. 解析： 规律：12设向量、满足：，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的范围是 （ ） 题型四：求平面向量的数量积的三种方法 求平面向量的数量积通常有三种方法：方法一：（直接求）。当要求数量积的两向量的模长和夹角都已知或易求时，可以直接求数量积。方法二：（基向量法）先表示，后计算。当要求数量积的两向量的模长和夹角未知，而已知另外两向量的模长和夹角时，可以取已知两向量为基向量，先把未知向量用已知向量表示出来，后计算。方法三：（坐标法）建立直角坐标系，用坐标运算。当已知图形有两个互相垂直的边时，可先建立直角坐标系。例1.等腰直角三角形中，D是斜边BC的中点，若AB=2，则A. B. 2 C. 3 D. 解：（方法一）直接求。（方法二）设为两个基向量。（方法三）以A为原点，以AB、AC所在直线为x、y轴，建立直角坐标系。例2。在中 ，E、F为边BC的三等分点，则（ ）A B C D 分析：的模长和夹角都是未知的，故不能直接求，又不能建立直角坐标系，故只能“先表示，后计算”。解析：由题意得：， 规律：“先表示，后计算”的最终形式中，有三个量需要计算，故可先计算出。引伸：求的余弦值。规律：取两个基向量，先把所求向量用基向量表示出来，再进行数量积的计算。 即“先表示，后计算”，此即为“基向量法”。例3.已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A13 B15 C19 D21【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，因此，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号例4.如图,在同一个平面内，向量,的模分别为1,1,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若,则3.解：（方法一）（这是常用思路） 。解：（方法二）以OC所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系。，即： 。例5.在中，若O为的外心且满足，则 BA.1 B.3 C. 5 D. 6 例6.给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为。如图所示，点C在以O为圆心的弧AB上运动，若，求的最大值。解：（方法一）， 即的最大值为2.（方法二）建立如图所示的坐标系。C在圆弧AB：上运动设，即： ，即的最大值为2.（方法三）连接AB，交OC于D。设 因A、B、D三点共线，则易知，当与弦AB平行的直线与圆弧AB相切时，即时，值最小，即的值最大，此时，的最大值为2。规律总结：建系是一般方法，方法三用的是三点共线的推论。例7.在矩形ABCD中，P为矩形内一点，且，若，求的最大值。解：（方法一）即： 即的最大值为。（方法二）建立如图所示的坐标系。P在以A为圆心的圆上，设，即 故的最大值为。 9学科网（北京）股份有限公司