（垂径定理、圆周角定理）讲义--北师大版九年级数学下册 .docx

垂径定理圆周角定理垂径定理知识精讲一 垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2.推论1： （1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量 补充说明：做题过程中，定理与推论（1）可以直接使用，而推论（2）、（3）需证明后再使用垂径定理例题例题1、下列语句中，正确的有（ ）相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；长度相等的两条弧是等弧；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A.1个B.2个C.3个D.4个例题2、如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A.2cmB.cmC.2cmD.2cm例题3、在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm例题4、如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30°，求弦CD的长例题5、如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为点E，CE2（1）求AB的长；（2）求O的半径随练随练1、如图，O的弦AB垂直半径OC于点D，CBA=30°，OC=3cm，则弦AB的长为（）第1题 第2题A.9cmB.3cmC.cmD.cm随练2、如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示则这个小圆孔的宽口AB的长度是（ ）A.5mmB.6mmC.8mmD.10mm随练3、如图，内接于，为线段的中点，延长交于点，连接，则下列五个结论，正确结论的是_ 第3题 第5题随练4、4在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB6cm，CD8cm，则弦AB与CD之间的距离是_随练5、如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且CDAB于点E，CD=4，AE=2，则O的半径为_随练6、如图，在梯形中，以上一点为圆心的圆经过、两点，且，则圆心到弦的距离是多少？随练7、如图，已知在O中，AB，CD两弦互相垂直，E为垂足，AB被分成4cm和10cm两段（1）求圆心O到CD的距离；（2）若O的半径为8cm，求CD的长圆周角定理知识精讲一圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半二圆周角定理的推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形注意：推论3不可以直接利用，需要证明圆周角定理例题例题1、如图，C是O上一点，若圆周角ACB=40°，则圆心角AOB的度数是（）A.50°B.60°C.80°D.90°例题2、如图，在中，则的度数为 例题3、如图，O的半径是2，AB是O的弦，点P是弦AB上的动点，且1OP2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°例题4、如图，已知ABC中，以AB为直径的半O交AC于D，交BC于E，求DOE的度数随练随练1、如图，点A、B、C在O上，CO的延长线交AB于点D，BD=BO，A=50°，则B的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°随练2、如图，线段AB是O的直径，弦CDAB，如果BOC70°，那么BAD等于（ ）A.20°B.30°C.35°D.70°圆周角定理的推论例题例题1、如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，ABC=50°，则DAB等于（ ）A.55°B.60°C.65°D.70°例题2、如图，AB是O的直径，C、D是圆上的两点（不与A、B重合），则_例题3、如图，在ABC中，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E连接ED，若ED=EC（1）求证：AB=AC；（2）填空：若AB=6，CD=4，则BC= ；连接OD，当A的度数为 时，四边形ODEB是菱形例题4、如图，A、P、B、C是圆上的四个点，APCCPB60°，连接AB、BC、AC（1）求证：ABC是等边三角形；（2）若PAC90°，求PB的长随练随练1、已知：如图，是的外接圆，若，则的直径长为 随练2、已知：中，以为直径的交于点 （1）如图，当为锐角时，与交于点，连接，请问与有怎样的数量关系？并证明OADCBE（2）如图，若不动，绕点逆时针旋转，当为钝角时，的延长线与交于点，连接，（1）中结论是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由BADCEO随练3、如图，AB是O的直径，BC、CD、DA是O的弦，且BC=CD=DA，则BCD=（ ）A.105°B.120°C.135°D.150°随练4、如图，在等腰RtABC中，ACB90°，AB4，点E为AB的中点以AE为边作等边ADE（点D与点C分别在AB的异侧），连接CD则ACD的面积为_8 学科网（北京）股份有限公司