数列简易放缩与数学归纳法--高三数学一轮专题复习.docx

数列简易放缩与数学归纳法一、 放缩基本知识与形态分析数列简易放缩的本质是将不规则、不能求和（常见的求和方法（等差等比求和，倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组与并项求和）（约分求积）的数列通过放缩，变为可以求和（约分求积）的数列。其中等差等比求和以及裂项求和是放缩求和中常见的方向；求积放缩主要是变形为能够相互约分的形式。二、 简易放缩的基本分类（1） 形如（2） 形如（3）（4）三、 对放缩进行形态分析（1） 对于形如与的处理方法一：拆和法与拆积法拆和法：一般左边数列通项是不规则的，无法求和的形式，可以对右边的代数式进行和式分解。即将看作另一个数列的前n项和，当时，=；时，。拆和法放缩基本流程：令当时，=；时，证明：利用累加法：例1.设等差数列的前项和为，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记 证明：拆积法：一般左边数列通项是不规则的，无法约分求积的形式，可以对右边的代数式进行积式分解，即将看作另一个数列的前n项积，当时，；时，。拆积法放缩基本流程：令=当时，；时，。证明：利用累乘法：注意：步骤三证明不等式，不一定需要从开始就满足，如，2不满足不等式，但从开始满足不等式，则只需步骤四利用累加（乘）法时注意保留前两项不变，从第三项开始放缩：或例2：等比数列的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上（1）求r的值；（2）当b=2时，记，证明：对任意的 ，不等式成立方法二、数学归纳法证明当时命题成立假设当时命题成立，证明当时也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。例2：等比数列的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上（2）当b=2时，记，证明：对任意的 ，不等式成立（2） 对于形如与，或者（1）类型证明不了的部分题目，则一般直接正面放缩法证明。（1）类型能证明的题型也可直接正面放缩）。当然这类也可以加强命题，及将命题加强为，然后再用（1）类型证明，但是这个一般比较难找，故而显得麻烦，此时建议直接使用正面放缩法。（一）类等比放缩对于通项里含有指数的代数式，可以优先考虑放缩为等比数列求和。方向一；通项放缩：将放缩到，其中是一个等比数列，则，通常，当然有些题目精度较高，需要从第二项乃至第三项等开始放缩，此时或，可以用待定系数法去解得放缩成的通项。通项放缩常用不等式：糖水不等式：；常用不等式链（单调性放缩）：例3：设，证明方向二：公比放缩：有时我们放缩时不容易找到等比数列的通项，或者说放缩时容易找到的等比数列的通项精度不符合我们的要求，此时可以对数列本身进行放缩。研究（这个q经常为n趋向于正无穷大时，的极限值，得到，则有，即，当然有些题精度较高，需要从第二乃至第三项等开始放缩，此时对应地，或者，可用待定系数法去解得要放缩地公比q。例4：（1）已知，证明（2）已知，证明（二）类等差放缩：主要适用于通项或者前n项和中为一次和二次函数地形式）类等差型数列是指数列，从第二项起满足（或），显然对应得到（或（或）例5：已知正项数列满足：，为数列的前n项和，求证：对于任意正整数n，有。裂项放缩（主要适用于通项为复杂的分式形式）裂项放缩的本质在于将不能求和的，放缩为能裂项求和的例6：已知数列的前n项之积满足条件：是首项为2的等差数列；。（1） 求数列的通项公式；（2） 设数列满足，其前n项和为，求证：对于任意的正整数n，都有。6学科网（北京）股份有限公司