2022年北马其顿数学奥林匹克试题.docx

2022北马其顿数学奥林匹克1、 无穷数列定义如下：x1=2,且对任意n1,均有;求证：。2、在圆内接四边形ABCD中，点E为AC中点。过点C，D，E的圆与BC再次相交于点F。设B1为B关于F的对称点。证明：EF与B1DF外接圆相切。3、无穷数列定义如下：a1=2，且对任意n1，均有。对整数m2，L(m)表示m的最大素因数。证明：存在整数k，使得L(ak)>10001000。4、甲乙两人在一个2022×2022的网格表上玩游戏：首先，甲用若干个1×2和2×1的骨牌无重叠的覆盖这个网格表；其次，乙在不看表格的情况下，选择一个正整数n；随后，乙查看表格，选择其中n个骨牌，将它们固定在表格上，粘牢；接下来，甲将其他的骨牌拿走。此时，甲在保留已固定骨牌的情况下，重新用骨牌无重叠的覆盖网格表。如果甲能找到能够一种与之前不完全相同的覆盖方法，则甲获胜，否则乙获胜。求乙可以确保必胜的最小正整数n。5、锐角ABC的外接圆为w，其外心为I，A所对的旁心为IA。直线AI与w再次交于点D。A1为A在w上的对径点，w上两点X，Y满足IXD-IAYD=90°。过X，Y作w的切线，两者交于点Z。求证：A1，D，Z共线。学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司