广东省湛江市2022届高三二模数学试题（解析版）.docx

湛江市2022年普通高考测试（二）数 学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：B2. 已知向量，的夹角的余弦值为，且，则（ ）A. 6B. 4C. 2D. 4【2题答案】【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】因为向量，的夹角的余弦值为，且，所以，故选：A3. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，根据函数值域的求法求出集合，进而求出即可【详解】对于集合求的是的取值范围，对于集合求的是的值域， 故选：C4. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【4题答案】【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】，只有一条垂直直线，不能得出，不充分，当时，由于，则有，是必要的，因此是必要不充分条件故选：B5. 已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】B【解析】【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离及垂径定理、勾股定理得到方程，解得即可；【详解】解：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于、两点，且，所以圆心到直线的距离，即，解得（舍去）或；故选：B6. 若，且，则的最小值为（ ）A. 9B. 3C. 1D. 【6题答案】【答案】C【解析】【分析】由基本不等式得，进而结合已知条件得的最小值为.【详解】解：因为，所以，因为所以，即，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为.故选：C7. 若，则（ ）A. B. C. D. 【7题答案】【答案】A【解析】【分析】利用对数和对数函的性质进行化简后比较.【详解】解：故故选：A8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】B【解析】【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理即可得到，从而可求出结果.【详解】由题意知延长则必过点,如图：由双曲线的定义知，又因为，所以，设，则，因此，从而，所以，又因为，所以，即，即，故选：B.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 某学校组建了合唱朗诵脱口秀舞蹈太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）A. 这五个社团的总人数为100B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%C. 这五个社团总人数占该校学生人数的4%D. 从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%【9题答案】【答案】BC【解析】【分析】计算出五个社团的总人数，可判断A,C;计算出脱口秀社团的人数,判断B;计算脱口秀社团或舞蹈社团的人数占五个社团总人数的比例，可判断D.【详解】由于参加朗诵社团的同学有8名，该社团人数占比为 ，故社团总人数为80人，故A错误；合唱团人数为 ，舞蹈社团人数为人，故脱口秀社团的人数为 ，故脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确；五个社团总人数占该校学生人数的 ，故C正确；脱口秀社团人数占五个社团总人数的20%,舞蹈社团的人数占五个社团总人数的 ，因此这两个社团人数占五个社团总人数的45%，故从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%，D错误，故选：BC10. 已知是函数的一个周期，则的取值可能为（ ）A. 2B. 1C. D. 3【10题答案】【答案】ABD【解析】【分析】根据三角恒等变换公式进行化简，根据周期函数定义求出的表达式即可求解【详解】依题意得，由周期函数定义得：，即： 即： 解得：又 或故选：ABD11. 在正方体中，点E为线段上的动点，则（ ）A. 直线DE与直线AC所成角为定值B. 点E到直线AB的距离为定值C. 三棱锥的体积为定值D. 三棱锥外接球的体积为定值【11题答案】【答案】AC【解析】【分析】A.易证平面判断；B.由点E与重合和与重合时判断；C.由三棱锥判断；D. 由 平面，得到三棱锥外接球的球心O在判断.【详解】如图所示：A.因为，又，所以平面，又平面平面，则直线DE与直线AC所成角为定值，故正确；B. 当点E与重合时，点E到直线AB的距离，当点E与重合时，点E到直线AB的距离，故错误；C.因为三棱锥，且点到面EBD的距离为定值， 为定值，故体积为定值，故正确；D. 易知 平面，所以三棱锥外接球的球心O在上，当点E移动时，球心O的位置改变，则球的半径R改变，所以外接球体积不为定值，故错误；故选：AC12. 若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（ ）A. B. 当时，的值不唯一C. 可能等于D. 当时，的取值范围是【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】由题设切点为，进而得，再构造函数，将问题转化为与的交点个数问题，再数形结合求解即可.【详解】解：不妨设切点为，因为，所以切线方程为，所以，整理得，所以令，则，所以，令得.所以，当或时，当时，因为，当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，所以，函数的图像大致如图，所以，当时，故B错误，此时成立；当时，所以，故可能等于，C正确；当当时，显然，故D正确；综上，A正确.故选：ACD三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若，则_.【13题答案】【答案】【解析】【分析】利用正切两角和的公式进行求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：14. 拋物线的焦点为F，点为C上一点，若，则_.【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义，利用代入法进行求解即可.【详解】拋物线的准线方程为：，因为，所以，把 代入抛物线方程中，得，故答案为：15. 的展开式中常数项为_.【15题答案】【答案】【解析】【分析】先求得展开式的通项公式，再分别用81乘以的展开式中的常数项和乘以的展开式中含 的一次项的两种情况求解.【详解】展开式的通项公式为，当81乘以时，令，解得，常数项为；当乘以时，令，解得常数项为 ；所以的展开式中的常数项为 故答案为：16. “物不知数”是中国古代著名算题，原载于孙子算经卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在数书九章大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被除余，被除余，被除余，则在不超过的正整数中，所有满足条件的数的和为_.【16题答案】【答案】【解析】【分析】找出满足条件的最小整数值为，可知满足条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，一个数被除余，被除余，被除余，则这个正整数的最小值为，因为、的最小公倍数为，由题意可知，满足条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，设该数列，则，由，可得，所以，的最大值为，所以，满足条件的这些整数之和为.故答案为：.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.（1）求、两地之间的距离；（2）求.【17题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可直接求得的长；（2）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.【小问1详解】解：由余弦定理可得，所以，.【小问2详解】解：由余弦定理可得，所以，则为锐角，故，因此，.19. 已知数列的前n项和为.（1）从，这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求的通项公式；（2）在第（1）问的前提下，若，求数列的前项和.注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分.【19题答案】【答案】（1）；证明见解析. （2）【解析】【分析】（1）选，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为，进而求解；选：，先根据题意得，进而证明数列是等比数列，公比为，首项为，再求解即可；选：，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为，进而在求解即可.（2）结合（1）得，再根据等比数列求和公式求解即可.【小问1详解】解：选，因为，所以，因为，所以，数列是等比数列，公比为，首项为，所以，即所以，当时，当时，显然满足，所以，.选：，因，所以，解得，故.因为，所以，即，所以，整理得，所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以.选：，因为，所以，所以，两式作差得，即，所以数列是等比数列，公比为，首项为，所以，所以，所以.【小问2详解】解：由（1）得，故，所以数列的前项和满足：21. 某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有、两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从、两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.、两类知识挑战成功分别可获得万元和万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对、两类知识的挑战成功率分别为、，且挑战是否成功与挑战次序无关.（1）若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.【21题答案】【答案】（1）分布列答案见解析 （2）优先选择挑战类知识，理由见解析【解析】【分析】（1）分析可知的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；（2）记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，计算出、的值，比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由题意可知，的可能取值有、，所以，随机变量的分布列如下表所示：【小问2详解】解：记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，由题意可知，随机变量的可能取值有：、，则，所以，（元），（元），所以，所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战类知识.23. 在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，O，E分别是AC与的中点.（1）证明：平面.（2）求与平面所成角的正弦值.【23题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，得到为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：连接，因为为正方形，可得为的中点，在中，因为分别为的中点，所以，又因平面，且平面，所以平面.【小问2详解】解：因为平面，平面，所以，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设平面的法向量，则，取，可得，所以，设与平面所成的角为，则，即与平面所成的角为.25. 已知函数.（1）当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；（2）讨论极值点的个数.【25题答案】【答案】（1）； （2）当时，函数有一个极值点；当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点.【解析】【分析】（1）根据导数的性质，结合函数的单调性和最值的定义进行求解即可；（2）根据导数的性质，结合极值点的定义、一元二次方程根的判别式分类讨论求解即可.【小问1详解】因为，所以，因为函数的定义域为：，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，因此要想在上存在最大值，只需，所以m的取值范围为；【小问2详解】，方程的判别式为.（1）当时，即，此时方程没有实数根，所以，函数单调递减，故函数没有极值点；（2）当时，即， 此时，（当时取等号），所以函数单调递减，故函数没有极值点；（3）当时，即，此时方程有两个不相等的实数根，设两个实数根为，设，则，函数的定义域为：，显然 当时，此时方程有两个不相等的正实数根，此时当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，因此当时，函数有极小值点，当时，函数有极大值点，所以当时，函数有两个极值点，当时，方程有一个正实数根和一个负根，或一个正实数和零根，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数有极大值点，因此当时，函数有一个极值点，综上所述：当时，函数有一个极值点；当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根的判别式分类讨论是解题的关键.27. 已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为，且四边形是面积为8的正方形.（1）求C的标准方程.（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.【27题答案】【答案】（1）； （2）为定值，定值为.【解析】【分析】（1）根据椭圆上、下焦点和左、右顶点的定义，结合正方形的面积进行求解即可；（2）根据平行线的性质、椭圆的定义，结合直线方程与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，利用两点间距离公式进行求解即可.【小问1详解】椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为，因为四边形是面积为8的正方形，所以有且，解得，所以椭圆的标准方程为：；【小问2详解】因为，所以，因为N为C上且在y轴右侧的点，所以，因此，同理可得：，所以设的方程分别为：，设，则，所以，因此，同理可得：，因此，所以，所以为定值，定值为.【点睛】关键点睛：利用平行线的性质，得到比例式子是解题的关键.本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。试卷地址：在组卷网浏览本卷组卷网（）是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题。微信关注组卷网，了解更多组卷技能 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。钱老师 QQ：537008204    曹老师 QQ：713000635 学科网（北京）股份有限公司