广西南宁市2022届高三高中毕业班第二次适应性测试数学（文）试题（解析版）.docx

南宁市2022届高中毕业班第二次适应性测试数学（文科）注意事项：1本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟2考生作答时请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则( )A. B. C. D. 【1题答案】【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集概念运算即可【详解】依题意，故选：D2. 已知i是虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【2题答案】【答案】D【解析】【分析】先根据复数的运算求出，再判断对应的点所在象限即可.【详解】依题意，复数对应的点是，对应的点在第四象限.故选：D3. 若是钝角且，则（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】A【解析】【分析】先求出，再根据商数关系求出即可.【详解】因为是钝角，所以则故选：A.4. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】B【解析】【分析】列举出所有情况，找出第一次点数大于第二次点数的情况，按照古典概型求解即可.【详解】不妨用表示两次投掷的基本事件，其中x代表第一次投掷的点数，y代表第二次投掷的点数故所有投掷的结果所包含的基本事件有：，共36种，其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件，共15种所以第一次点数大于第二次点数的概率故选：B5. 若正四棱锥的所有棱长均相等，E为PD中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【5题答案】【答案】D【解析】【分析】作辅助线，找出异面直线PB与CE所成角或其补角，利用余弦定理解三角形，可得答案.【详解】如图，连接AC，BD，交于点O，则O为BD中点又E为PD中点,所以，因此或其补角为所求角设正四棱锥棱长为2，则，所以，故选:D6. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是A. 15B. 16C. 18D. 21【6题答案】【答案】C【解析】【详解】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.详解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，则，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.7. 设a，则“”是“”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【7题答案】【答案】A【解析】【分析】由指数函数的单调性结合充分必要条件的定义证明即可.【详解】在上递减若，则，故，充分性成立；若，则，故，故故必要性成立，即“”是“”的充要条件.故选：A8. 已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【8题答案】【答案】D【解析】【分析】由条件结合圆的切线性质可得出，结合两点间的距离公式可得出答案.【详解】由得因为两圆的半径均为1，则，则，即所以点P的轨迹方程为故选：D9. 执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是（ ）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】D【解析】【分析】根据程序执行的结果，由程序逻辑列出执行步骤及其结果，结合循环体各次迭代所得结果判断条件即可.【详解】由程序框图，其执行结果如下：1、：，执行循环体；2、：，执行循环体；3、：，执行循环体；4、：，执行循环体；5、：，跳出循环体，输出；框内条件应为.故选：D.10. 已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为（ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】C【解析】【分析】设椭圆右焦点，连接，由椭圆对称性可知四边形为平行四边形，再由余弦定理可得出答案.【详解】设椭圆右焦点，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则因为，可得所以，则，由余弦定理可得，即，即故椭圆离心率，故选：C11. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯85的热茶，放置在25的房间中，如果热茶降温到55，需要10分钟，则欲降温到45，大约需要多少分钟（ ）（，）A. 12B. 14C. 16D. 18【11题答案】【答案】C【解析】【分析】先计算出，再根据条件计算即可.【详解】根据题意有：，.故选：C.12. 已知函数，则函数的最大值是（ ）A. B. C. -1D. 【12题答案】【答案】B【解析】【分析】直接求导确定函数的单调性，进而求出最大值.【详解】依题意函数，则函数在上递增，在上递减因此在上，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量，若，则实数_【13题答案】【答案】#0.5【解析】【分析】先根据向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再根据向量数量积的坐标表示结合即可求出【详解】易得，解得故答案为：14. 若函数，的最小正周期为，则正实数_【14题答案】【答案】2【解析】【分析】根据三角恒等变换公式化简，再根据周期公式可得结果.【详解】，所以，因为，所以解得故答案为：215. 已知数列的前n项和为，满足，则_【15题答案】【答案】160【解析】【分析】先通过递推式证明是等比数列，再按照等比数列的求和公式求解即可.【详解】因为，当时，解得当时，两式相减得，化简得：，又，故是以4为首项，3为公比的等比数列，则故答案为：160.16. 已知圆台上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，是下底圆面直径，若点是下底面圆周上的动点，点是上底面内的动点，则四面体的体积最大值为_【16题答案】【答案】【解析】【分析】根据题意得圆台高为，即动点到圆面的距离为定值，进而当面积最大时，体积最大.【详解】解：因为圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，所以，圆台高为，所以，动点到圆面的距离为定值，因为动点到的最大距离为2，所以故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分17. 在；从中选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题已知ABC中的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c若_（1）求内角A的大小；（2）设，求ABC的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【17题答案】【答案】（1）； （2）或【解析】【分析】(1)若选，结合，利用正弦定理边化角即可求出tanA，从而求出A；若选，结合，利用正弦定理边化角和三角恒等变换即可求出A；(2)根据正弦定理即可求出sinB，从而求出B，根据A和B求出C，根据即可求出三角形面积【小问1详解】若选：由正弦定理及得，则得，若选：由和正弦定理得，得在三角形内，即，【小问2详解】由正弦定理得，即，则，则或，若，则，则；若，则，则ABC的面积为或19. 我国是一个水资源严重缺乏的国家，2021年全国约有60的城市供水不足，严重缺水的城市高达16.4某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并将数据按照，分成5组，制成了如下频率分布直方图（1）设该市共有20万户居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于12（t）的用户数；（2）若该市政府希望使85的居民用户月均用水量不超过标准x（t），试估计x的值（精确到0.01）；（3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下：级差水量基数x（单位：t）水费价格（元/t）第一阶梯1.4第二阶梯2.1第三阶梯2.8小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量【19题答案】【答案】（1）16万 （2）13.67t （3）18t【解析】【分析】（1）根据所有矩形面积之和等于1可得；（2）先判断用水标准所在区间，然后根据小于用水标准的矩形面积之和等于0.85可得；（3）先判断小明家的月用水量达到第几阶梯，然后列式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可得，解得居民用户月均用水量不超过的频率为，所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于的用户数为：（万）【小问2详解】由频率分布直方图知，居民用户月均用水量不超过的频率为：0.80月均用水量不超过的频率为0.92则85的居民用户月均用水量不超过的标准，故解得，即x的值为【小问3详解】因为所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费设小明家上个月的用水量为，由得，所以小明家上个月的用水量为21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，且，E为PD的中点（1）求证：平面ACE；（2）求四棱锥的侧面积【21题答案】【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，可得，利用线面平行的判定定理即得；（2）由题可得平面PAB，平面PAD，进而可得四棱锥侧面均为直角三角形，然后利用面积公式计算即得.【小问1详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，因为底面ABCD是矩形，所以O为BD中点又E为PD中点，所以又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE；【小问2详解】因为底面ABCD，底面ABCD，所以，又底面ABCD是矩形，且，所以平面PAB，平面PAB，所以同理，平面PAD，所以所以侧面均为直角三角形因为，所以所以，所以四棱锥侧面积23. 已知函数，曲线在点处的切线斜率为0（1）求b的值；（2）若函数的极大值为，证明：【23题答案】【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，由直接求解即可；（2）先求导，再分、以及四种情况讨论，只有时成立，求出极大值，构造函数，求出零点的范围，即可证得.【小问1详解】依题意，由题设知，解得小问2详解】的定义域为，由（1）知若，则当时；当时故在单调递增，在单调递减此时有唯一极值令，解得与矛盾，故舍去；若，则，当时；当时；当时故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增此时有唯一极大值令，解得与矛盾，故舍去；若，则，当时，故在上单调递增无极大值；若，则，当时；当时，当时故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增此时有唯一极大值令，化简得（*）令，则，记函数，则在其定义域上恒成立，所以在其定义域上单调递增，又因为，所以区间内存在零点使得方程（*）成立所以，所以.25. 设抛物线的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点（1）求抛物线C的方程；（2）过曲线上一点P引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，求的面积的取值范围(O为坐标原点)【25题答案】【答案】（1）； （2）【解析】【分析】(1)根据几何关系求出该圆和x轴和y轴均相切，得到M的坐标，代入抛物线方程即可求解；(2)设，则，.设，根据导数求出A、B处切线方程，代入可得切点弦AB方程，联立AB方程和抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式可求，求出O到AB距离d，用表示出，构造函数，判断函数单调性求出范围即可【小问1详解】依题意得，设，由抛物线性质，可得圆心是MF的中点，根据中点坐标公式可得，圆心纵坐标为1，则MFy轴，圆半径为1，且过(1，0)，据此可知该圆与x轴和y轴均相切，故圆心为(1，1)，则，代入抛物线方程得，抛物线C的方程为；【小问2详解】在曲线上任取一点，设切点为，y，在点处的切线斜率为，则在点处的抛物线的切线方程为又点在切线上，同理可得，则切点弦AB的方程为(*)，联立方程组，消y得，由韦达定理得，由(*)知，则，点O到AB：的距离为，则，在曲线上，则，故，令，则，时，在恒成立，在上单调递减，的面积的取值范围【点睛】本题关键是利用导数求出抛物线斜率，写出切线方程，根据切线方程求出切点弦AB的方程.在求三角形面积范围时，利用导数求函数的单调性，根据单调性求范围即可（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题记分27. 在平面直角坐标系xOy中，设曲线参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求实数a的值【27题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）曲线的参数方程消去参数即可求出曲线的普通方程；（2）首先曲线的极坐标方程转化为普通方程，可以得到曲线是圆，要使曲线上恰有三个点到曲线的距离为，圆心到直线的距离，求解方程即可.【小问1详解】由已知得代入，消去参数t得曲线的普通方程为【小问2详解】由曲线的极坐标方程得，又，所以，即，所以曲线是圆心为，半径等于的圆因为曲线上恰有三个点到曲线的距离为，所以圆心到直线的距离，即，解得29. 已知函数（1）当，时，解不等式；（2）若函数的最小值是2，证明：【29题答案】【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接分、及解不等式即可；（2）先由绝对值三角不等式求出，再结合基本不等式证明即可.【小问1详解】当，时，解不等式当时不等式化为得，故；当时不等式化为得，故；当时不等式化为，故综上可知，不等式的解集为【小问2详解】易知，因为的最小值是2且，所以，故所以（当且仅当时取等号）.学科网（北京）股份有限公司