广东省中山市东区2020-2021学年八校九年级(上)期中数学试卷(含解析).doc

2020-2021学年广东省中山市东区八校九年级（上）期中数学试卷一选择题（共10小题）1方程x2x的实数根是（）A1或0B1或0C1或1D12已知O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与O的位置关系是（）A点P在O上B点P在O内C点P在O外D无法确定3抛物线y3（x2）2+5的对称轴是直线（）Ax2Bx5Cx2Dx54如图，正五边形ABCDE内接于O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则CPD（）A45°B36°C35°D30°5如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是的中点，如果DAB70°，则ABC的度数等于（）A55°B60°C65°D70°6如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（）A（802x）（36x）260×6B36×802×36x80x260x6C（362x）（80一x）260D（802x）（36x）2607已知m是一元二次方程x2x20的一个根，则2020m2+m的值为（）A2014B2016C2018D20208如图，在正方形ABCD中，AB3，点M在CD的边上，且DM1，AEM与ADM关于AM所在的直线对称，将ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ABF，连接EF，则线段EF的长为（）A3BCD9已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；bac；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b）（m1的实数）；其中正确的结论有（）A5个B4个C3个D2个10如图，四边形ABCD内接于O，AB9，AD15，BCD120°，弦AC平分BAD，则AC的长是（）ABC12D13二填空题（共6小题）11点P（5，8）关于原点对称点P'的坐标为 12将抛物线yx24x4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为 13若关于x的方程（k2）x24x+30有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 14如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA5，则PCD的周长为 15如图，在RtABC，B90°，ACB50°将RtABC在平面内绕点A逆时针旋转到AB'C'的位置，连接CC'若ABCC'，则旋转角的度数为 °16如图，一张扇形纸片OAC，AOC120°，OA8，连接AB，BC，AC，若OAAB，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）三解答题（共6小题）17如图，在平面直角坐标系内，ABC的顶点坐标分别为A（1，5），B（4，1），C（1，1），将ABC绕点A逆时针旋转90°，得到ABC，点B，C的对应点分别为点B，C（1）画出ABC；（2）写出点A，B关于原点O的对称点A，B的坐标；（3）求出在ABC旋转的过程中，点C经过的路径长18已知关于x的方程x2+ax+a30（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根19如图，已知CD是O的直径，弦ABCD，垂足为点M，点P是上一点，且BPC60°（1）判断ABC的形状，并说明你的理由；（2）若DM2，求O的半径20某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；（2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？21如图，O过ABCD的三顶点A、D、C，边AB与O相切于点A，边BC与O相交于点H，射线AP交边CD于点E，交O于点F，点P在射线AO上，且PCD2DAF（1）求证：ABH是等腰三角形；（2）求证：直线PC是O的切线；（3）若AB2，AD，求O的半径22如图，抛物线yx2+bx+c与直线yx+c相交于A（0，1），B（3，）两点，过点B作BCx轴，垂足为点C，在线段AB上方的抛物线上取一点D，过D作DFx轴，垂足为点F，交AB于点E（1）求该抛物线的表达式；（2）求DE的最大值；（3）连接BD、CE，四边形BDEC能否成为平行四边形？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由2020-2021学年广东省中山市东区八校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1方程x2x的实数根是（）A1或0B1或0C1或1D1【分析】利用因式分解法求解可得【解答】解：x2x，x2x0，则x（x1）0，x0或x10，解得x10，x21，故选：A2已知O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与O的位置关系是（）A点P在O上B点P在O内C点P在O外D无法确定【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【解答】解：O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，点P到圆心O的距离大于圆的半径，点P在O外故选：C3抛物线y3（x2）2+5的对称轴是直线（）Ax2Bx5Cx2Dx5【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴【解答】解：y3（x2）2+5，此函数的对称轴就是x2故选：A4如图，正五边形ABCDE内接于O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则CPD（）A45°B36°C35°D30°【分析】连接OC，OD求出COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题【解答】解：如图，连接OC，OD，ABCDE是正五边形，COD72°，CPDCOD36°，故选：B5如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，点C是的中点，如果DAB70°，则ABC的度数等于（）A55°B60°C65°D70°【分析】连接BD，根据圆周角定理得到ADB90°，求出ABD，根据圆内接四边形的性质求出C，根据等腰三角形的性质求出CBD，结合图形计算，得到答案【解答】解：连接BD，AB是直径，ADB90°，ABD90°DAB20°，四边形ABCD是半圆的内接四边形，C180°DAB110°，点C是的中点，CDCB，CBD×（180°110°）35°，ABCABD+CBD55°，故选：A6如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（）A（802x）（36x）260×6B36×802×36x80x260x6C（362x）（80一x）260D（802x）（36x）260【分析】根据题意和图形，可以列出相应的分式方程，本题得以解决，注意每块草坪的面积都为260平方米【解答】解：由题意可得，（802x）（36x）260×6，故选：A7已知m是一元二次方程x2x20的一个根，则2020m2+m的值为（）A2014B2016C2018D2020【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2m2，再把2020m2+m变形为2020（m2m），然后利用整体代入的方法计算【解答】解：m是一元二次方程x2x20的一个根，m2m20，即m2m2，2020m2+m2020（m2m）202022018故选：C8如图，在正方形ABCD中，AB3，点M在CD的边上，且DM1，AEM与ADM关于AM所在的直线对称，将ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ABF，连接EF，则线段EF的长为（）A3BCD【分析】解法一：连接BM先判定FAEMAB（SAS），即可得到EFBM再根据BCCDAB3，CM2，利用勾股定理即可得到，RtBCM中，BM，进而得出EF的长；解法二：过E作HGAD，交AB于H，交CD于G，作ENBC于N，判定AEHEMG，即可得到，设MGx，则EH3x，DG1+xAH，利用勾股定理可得，RtAEH中，（1+x）2+（3x）232，进而得出EHBN，CGCMMGEN，FN，再根据勾股定理可得，RtEFN中，EF【解答】解：如图，连接BMAEM与ADM关于AM所在的直线对称，AEAD，MADMAEADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到ABF，AFAM，FABMADFABMAEFAB+BAEBAE+MAEFAEMABFAEMAB（SAS）EFBM四边形ABCD是正方形，BCCDAB3DM1，CM2在RtBCM中，BM，EF，故选：C解法二：如图，过E作HGAD，交AB于H，交CD于G，作ENBC于N，则AHGMGE90°，由折叠可得，AEMD90°，AEAD3，DMEM1，AEH+MEGEMG+MEG90°，AEHEMG，AEHEMG，设MGx，则EH3x，DG1+xAH，RtAEH中，（1+x）2+（3x）232，解得x1，x21（舍去），EHBN，CGCMMGEN，又BFDM1，FN，RtEFN中，EF，故选：C9已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；bac；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b）（m1的实数）；其中正确的结论有（）A5个B4个C3个D2个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：由二次函数的图象开口向下可得a0，由抛物线与y轴交于x轴上方可得c0，由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c0的根的判别式b24ac0，把x1代入yax2+bx+c，得：ya+b+c，由函数图象可以看出x1时二次函数的值为正，对称轴为x1，a，b异号，b0，abc0；故abc0，此选项错误；当x1时，ax2+bx+c0，ab+c0，（ab+c）0，bac；故此选项正确；当x2时，ax2+bx+c0，4a+2b+c0；2c3b；当x3时函数值小于0，y9a+3b+c0，且x1，即a，代入得9（）+3b+c0，得2c3b，正确；当x1时，y的值最大此时，ya+b+c，而当xm时，yam2+bm+c，所以a+b+cam2+bm+c，故a+bam2+bm，即a+bm（am+b），正确正确故选：B10如图，四边形ABCD内接于O，AB9，AD15，BCD120°，弦AC平分BAD，则AC的长是（）ABC12D13【分析】根据圆内接四边形的性质求出FBCD，BAD+BCD180°，求出BAC30°，根据角平分线性质求出CFCE，根据全等求出BFDE，求出AF长，根据勾股定理求出CF即可【解答】解：过C作CEAD于E，CFAB交AB延长线于F，则BFCDEC90°，AC平分BAD，CFCE，由勾股定理得：AF2AC2CF2，AE2AC2CE2，AFAE，A、B、C、D四点共圆，FBCD，BAD+BCD180°，BCD120°，BAD60°，AC平分BAD，BACDAC30°，在FBC和DEC中FBCDEC（AAS），BFDE，AB9，AD15，AF+AEAB+BF+ADDE9+BF+15DE9+1524，AFAE12，BAC30°，AFC90°，AC2CF，CF2+122（2CF）2，解得：CF4，AC2CF8，故选：B二填空题（共6小题）11点P（5，8）关于原点对称点P'的坐标为（5，8）【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案【解答】解：点P（5，8）关于原点对称点P'的坐标为：（5，8）故答案为：（5，8）12将抛物线yx24x4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为y（x+1）23【分析】先把解析式化成顶点式，然后直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式【解答】解：yx24x4（x2）28，将抛物线y（x2）28向左平移3个单位，再向上平移5个单位，平移后的抛物线的解析式为：y（x2+3）28+5即y（x+1）23，故答案为：y（x+1）2313若关于x的方程（k2）x24x+30有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k且k2【分析】先根据关于x的方程（k2）x24x+30有两个不相等的实数根得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可【解答】解：关于x的方程（k2）x24x+30有两个不相等的实数根，解得：k且k2故答案为：k且k214如图，P为O外一点，PA、PB分别切O于A、B，CD切O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA5，则PCD的周长为10【分析】由于CA、CE，DE、DB都是O的切线，可由切线长定理将PCD的周长转换为PA、PB的长【解答】解：PA、PB切O于A、B，PAPB5；同理，可得：ECCA，DEDB；PDC的周长PC+CE+DE+DPPC+AC+PD+DBPA+PB2PA10即PCD的周长是1015如图，在RtABC，B90°，ACB50°将RtABC在平面内绕点A逆时针旋转到AB'C'的位置，连接CC'若ABCC'，则旋转角的度数为100°【分析】先利用平行线的性质得到CCB90°，则可计算出ACC40°，再根据旋转的性质得ACAC，CAC等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出CAC即可【解答】解：ABCC'，ABC+CCB180°，而B90°，CCB90°，ACC90°ACB90°50°40°，RtABC在平面内绕点A逆时针旋转到AB'C'的位置，ACAC，CAC等于旋转角，ACCACC40°，CAC180°40°40°100°，即旋转角为100°故答案为10016如图，一张扇形纸片OAC，AOC120°，OA8，连接AB，BC，AC，若OAAB，则图中阴影部分的面积为（结果保留）【分析】证明S阴S扇形AOB求解即可【解答】解：OAAB，OAOB，OAOBAB，AOB是等边三角形，AOBABO60°，AOC120°，BOC120°60°60°，ABOBOC60°，ABOC，SABCSABO，S阴S扇形AOB故答案为三解答题（共6小题）17如图，在平面直角坐标系内，ABC的顶点坐标分别为A（1，5），B（4，1），C（1，1），将ABC绕点A逆时针旋转90°，得到ABC，点B，C的对应点分别为点B，C（1）画出ABC；（2）写出点A，B关于原点O的对称点A，B的坐标；（3）求出在ABC旋转的过程中，点C经过的路径长【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B、C即可得到，ABC；（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；（3）利用弧长公式计算【解答】解：（1）如图，ABC为所作；（2）点A的坐标为（1，5）；点B的坐标为（4，1）；（3）点C经过的路径218已知关于x的方程x2+ax+a30（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【分析】（1）根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据根与系数的关系，可得方程的另一根；（2）根据根的判别式，可得答案【解答】解：（1）将x1代入方程x2+ax+a30得，1+a+a30，解得，a1；方程为x2+x20设另一根为x1，则1x113，x12（2）a24（a3）a24a+12a24a+4+8（a2）2+80，不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根19如图，已知CD是O的直径，弦ABCD，垂足为点M，点P是上一点，且BPC60°（1）判断ABC的形状，并说明你的理由；（2）若DM2，求O的半径【分析】（1）由CD是O的直径，弦ABCD，根据垂径定理，即可得ACBC，然后由圆周角定理，即可求得BAC60°，根据等边三角形的判定定理，即可证得ABC是等边三角形；（2）首先连接OA，AD，即可证得OAD是等边三角形，然后根据含30°的直角三角形的性质，即可求得AD的长，继而可得O的半径【解答】解：（1）ABC是等边三角形理由：CD是O的直径，弦ABCD，ACBC，BPC60°，BACBPC60°，ABC是等边三角形（2）连接OA，AD，CD是O的直径，弦ABCD，CAD90°，DCABCA30°，ADC60°，MAD30°，AOD是等边三角形，DM2，AD2DM4，OD4，O的半径为420某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；（2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（1降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1x），第二次后的价格是100（1x）2，据此即可列方程求解；（2）销售定价为每件m元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可【解答】解：（1）根据题意得：100（1x）281，解得：x10.1，x21.9，经检验x21.9不符合题意，x0.110%，答：每次降价百分率为10%；（2）设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则y（m60）100+5×（100m）5（m90）2+4500，a50，当m90元时，w最大为4500元答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元21如图，O过ABCD的三顶点A、D、C，边AB与O相切于点A，边BC与O相交于点H，射线AP交边CD于点E，交O于点F，点P在射线AO上，且PCD2DAF（1）求证：ABH是等腰三角形；（2）求证：直线PC是O的切线；（3）若AB2，AD，求O的半径【分析】（1）要想证明ABH是等腰三角形，只需要根据平行四边形的性质可得BADC，再根据圆内接四边形的对角互补，可得ADC+AHC180°，再根据邻补角互补可知AHC+AHB180°，从而可以得到ABH和AHB的关系，从而可以证明结论成立；（2）要证直线PC是O的切线，只需要连接OC，证明OCP90°即可，根据平行四边形的性质和边AB与O相切于点A，可以得到AEC的度数，又PCD2DAF，DOF2DAF，COEDOF，通过转化可以得到OCP的度数，从而可以证明结论；（3）根据题意和（1）（2）可以得到AED90°，由平行四边形的性质和勾股定理，由AB2，AD，可以求得半径的长【解答】（1）证明：四边形ADCH是圆内接四边形，ADC+AHC180°，又AHC+AHB180°，ADCAHB，四边形ABCD是平行四边形，ADCB，AHBB，ABAH，ABH是等腰三角形；（2）证明：连接OC，如右图所示，边AB与O相切于点A，BAAF，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，CDAF，又FA经过圆心O，OEC90°，COF2DAF，又PCD2DAF，COFPCD，COF+OCE90°，PCD+OCE90°，即OCP90°，直线PC是O的切线；（3）四边形ABCD是平行四边形，DCAB2，FACD，DECE1，AED90°，AD，DE1，AE，设O的半径为r，则OAODr，OEAEOA4r，OED90°，DE1，r2（4r）2+12解得，r，即O的半径是22如图，抛物线yx2+bx+c与直线yx+c相交于A（0，1），B（3，）两点，过点B作BCx轴，垂足为点C，在线段AB上方的抛物线上取一点D，过D作DFx轴，垂足为点F，交AB于点E（1）求该抛物线的表达式；（2）求DE的最大值；（3）连接BD、CE，四边形BDEC能否成为平行四边形？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）利用已知表示出D，E点坐标，再利用二次函数最值求法得出答案；（3）利用平行四边形的性质得出只需BCDE，四边形BDEC即为平行四边形，进而求出答案【解答】解：（1）把A（0，1）、B（3，）两点坐标代入yx2+bx+c，得，解得：，所以yx2+x+1；（2）由（1）得直线AB的解析式为：yx+1，设点D的横坐标为x，则点D、E的坐标分别为（x，x2+x+1），（x，x+1）所以DEx2+x（x）2+，当x时，DE的最大值为；（3）能理由如下：因为BCDE，所以只需BCDE，四边形BDEC即为平行四边形由题意可得BC，所以DEx2+x，解方程x2+x，解得：x1，或x2，代入yx2+x+1，得y4或，所以点D的坐标为（1，4）或（2，）