【高中生必备】高中数学知识笔记.docx

绪 论一、课程概述：1、什么是数学?恩格斯 : “ 数学是研究数量关系和空间形式的科学. ”课程标准：“数学是研究数量关系和空间形式的科学, 是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具. "(1) 数学是一切科学的共同语言伟大的物理学家伽利略曾说：“ 宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在黑暗的 迷宫里游荡，什么也认识不清. ”爱因斯坦在研究相对论时, 花了数年时间, 试图形成关于引力的某种结论，却不知道如何从数学上加以表述. 他求助于好友数学家格洛斯曼.格洛斯曼向他介绍了与我们学过的欧氏几何不同的黎曼几何，从而促进了相 对论的产生.而黎曼几何在此之前 60 年已经产生了.所以, 另一位物理学家, 诺贝尔奖获得者温伯格说 : “ 真是 不可思议, 当一位物理学家得到了一个思想时, 却发现在它之前, 数学家已经发现了. ”18 世纪初，牛顿在前人基础上总结出了万有引力定律.人们根据此定律，通过计算，就可以精确地求出太阳 系中各个行星的运行轨道就是我们今后要学到的椭圆.当时人们只知道太阳系中有五颗行星，其运行规律与 由万有引力定律计算出的结果几乎完全一致，万有引力定律取得了巨大成功. 但 1781 年, 天文学家发现了第 7颗行星天王星, 其观测数据与计算结果差异甚大, 是万有引力定律有问题, 还是其它原因?18441845 年, 英国的耶得默斯, 法国的勒威烈, 各自独立地根据万有引力定律和天王星的观测数据, 运用相 关数学知识, 进行了大量的计算, 推算出在天王星附近还有一颗行星, 并给出其运行轨道.1846 年, 德国天文台在勒威烈预言的位置, 找到了那颗行星, 即第 8 颗行星海王星.这是人类第一次通 过数学计算准确地预言了行星的位置.(2) 数学是人们在日常生活、工作中必需的基础知识和技能现在我们处在一个信息社会，在社会生活中几乎处处充满着数学.购物、购房、购买股票、参加保险时，采取什 么样的方案，可以获得最大收益；看报纸、看电视、听广播时，随时可以发现数学概念天气预报中，有降水概 率、正负温度、空气污染指数，各地方各企业的增长率，购买彩票时，号码有多少种排列组合，个人所得税税率是多 少，我们每个人都有身高、体重、体温、血压 .(3) 数学是训练智能，提高人类思维水平的工具加里宁曾说：“数学是锻炼思维的体操. ”数学的特点就是高度的抽象性，严密的逻辑性.它将纷繁复杂的自然现象、社会现象，经过抽象和简化，从不 证自明的少数几个公理出发，逻辑地演绎出整个系统，其立论清晰、严密而极具理性，成为训练人的思维能力的最 好工具.我们广大中学生在学习数学的过程中，不仅能体会到数学探究过程中的各种思维想象、类比、联想、 直觉、顿悟等，而且在经历严谨理性的证明、准确合理的计算过程中，能大大提高我们的逻辑思维能力，学会用公 理化的方法，从纷繁的事实中找出最基本的、最本质的东西，用逻辑演绎的方法，将其表述出来.当我们将来走上工作岗位之后会发现，在学校里学的一大堆数学知识似乎没有什么用处，但数学中所蕴涵的思想和精神，却无时无刻不在发挥着积极的作用.(4) 数学是一门艺术大家看到这句话一定会觉得可笑，数学怎么成了一门艺术？数学有以下几个特点：对 ( 匀 ) 称、简洁、统一、奇异.这正是数学的美，数学的艺术性所在.古希腊著名学者毕达哥拉斯曾说：“ 一切平面图形中最美的是圆，一切立体图形中最美的是球. ” 因为这 两种图形在各个方向上都是对称的.黄金分割在优选法中有着重要作用.数学的语言本身就是最简洁的文字，却极其深刻地反映了复杂的客观规律.爱因斯坦的质能公式：E = mc2 (m 为物体质量，c 为光速 ) 就是核爆炸的理论依据.统一性是指部分与部分，部分与整体之间的和谐一致.引入相反数后，有理数的加减法就可以统一为代数和 的形式；有了倒数概念，乘法与除法得到了统一；平面几何中的相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理 可以统一到圆幂定理中.1777 年，法国数学家布丰邀请许多宾朋来家做了一个奇特的试验.他事先在白纸上画好一条条等间距的平 行线，铺在桌上，又拿出一些质量均匀长度为平行线间距一半的小针，请客人把针一根根随便扔到纸上，布丰则在 一旁计数，结果共投了 2212 次，其中与任一平行线相交的有 704 次，布丰又做了一个简单的除法 2212 ÷ 704，( 请 大家先不要计算，猜一猜结果是多少？ )计算的结果是 3. 142，然后他宣布这就是圆周率 的近似值，并且投的次数越多越精确.这个结果使人非常 惊讶， 竟然和一个风马牛不相及的投针试验联系在一起.然而，这却是有数学理论依据的.我们将在高中阶段的 概率学习中了解这一试验的理论依据.奥地利著名物理学家薛定谔(Erwin Schrödinger, 1887 年 8 月 12 日 1961 年 1 月 4 日)提出的一个思想实 验：将一只猫关在装有少量镭和氰化物的密闭容器里.镭的衰变存在几率，如果镭发生衰变，会触发机关打碎装有 氰化物的瓶子，猫就会死；如果镭不发生衰变，猫就存活.根据量子力学理论，由于放射性的镭处于衰变和没有衰 变两种状态的叠加，猫就理应处于死猫和活猫的叠加状态.这只既死又活的猫就是所谓的 “ 薛定谔猫 ”.但是， 不可能存在既死又活的猫，则必须在打开容器后才知道结果 .1957 年，休 · 埃弗莱特提出的 “ 多世界诠释 ”似乎为人们带来了福音，由于它太离奇开始没有人认真对待. 格利宾认为，多世界诠释有许多优点，由此它可以代替哥本哈根诠释.格利宾在书中写道：“埃弗莱特 指出 两只猫都是真实的.有一只活猫，有一只死猫，它们位于不同的世界中.问题并不在于盒子中的放射性原子是否衰 变，而在于它既衰变又不衰变.当我们向盒子里看时，整个世界分裂成它自己的两个版本.这两个版本在其余的各 个方面都是全同的.区别只是在于其中一个版本中，原子衰变了，猫死了；而在另一个版本中，原子没有衰变，猫还 活着. ”也就是说，上面说的 “ 原子衰变了，猫死了；原子没有衰变，猫还活着 ”这两个世界将完全相互独立地演变 下去，就像两个平行的世界一样.格利宾显然十分赞赏这一诠释，故他接着说 ：“ 这听起来就像科幻小说，然 而 它是基于无懈可击的数学方程，基于量子力学朴实的、自洽的、符合逻辑的结果. ”“ 在量子的多世界中， 我们通过参与而选择出自己的道路.在我们生活的这个世界上，没有隐变量，上帝不会掷骰子，一切都是真实的. ” 按格利宾所说，爱因斯坦如果还活着，他也许会同意并大大地赞扬这一个 “ 没有隐变量，上帝不会掷骰子 ” 的理论.这个诠释的优点：薛定谔方程始终成立，波函数从不坍缩，由此它简化了基本理论.它的问题设想过于离奇，付出的代价是这些平行的世界全都是同样真实的.无懈可击的数学方程最终会给出答案.当我们克服了很多困难，做出了一道道数学难题时，就会喜形于色，这也是一种美的享受.2、怎样学好高中数学？抓好四个环节：(1) 课前认真预习高中数学课堂容量大，内容抽象，逻辑严密，仅仅靠课堂理解是不够的.所以课前一定要认真预习，先把下一 课要学习的内容认真看一遍，对照老师布置的预习题，看看自己哪些内容没有看懂，作个记号，在课堂上注意听老师是如何讲解的.预习不是要求大家掌握多少内容，更多时给大家培养一个自学的习惯.(2) 课堂专心听讲课堂 45 分钟是我们学习的主阵地，一定要认真听老师的讲解，积极思考老师提出的问题，并适当记录，但不 要做录音机，什么都记.那记什么呢？记书上没有提到，老师补充讲解的内容；记书上虽然有，但比较零散，而老师进行了概括总结的内容；记自己没有听懂的内容，以便课后再向老师请教.(3) 课后及时复习，完成作业高中数学的特点决定了，我们很难在课堂上就透彻理解所有内容.所以每堂课结束以后，一定要及时看书、看课堂笔记.记忆概念、性质、公式.不懂之处，要及时询问老师、同学，一定不能等到问题成堆再去解决.(4) 一个单元、章节结束后，及时归纳，形成较完整的知识体系、逻辑体系.当我们学完一个单元或一个章节后，要及时归纳总结，找出知识的前后联系，在自己的头脑中形成一个比较 完整的知识体系.然后整理出一些常见题型及其解法，从中提炼出所蕴含的数学思想，数学方法，将其内化为自己 的知识，那你对这一单元，这一章节的知识就掌握的比较透彻了.相信经过自己的刻苦努力，再运用一些适合自己 的学习方法，同学们一定会在数学这一学科上取得满意的成绩，为将来进一步学习打下良好的基础.4、4 对数函数4、5 函数的应用 ( 二 )第五章三角函数 (23)5、1 任意角和弧度制5、2 三角函数的概念5、3 诱导公式5、4 三角函数的图象与性质5、5 三角恒等变换5、6 函数 y Asin( x )5、7 三角函数的应用必修 ( 第二册 ) ( 共计 69 课时 )章节第六章平面向量及其应用 (18)6、1 平面向量的概念6、2 平面向量的运算6、3 平面向量基本定理及坐标表示6、4 平面向量的应用第七章复数 (8)7、1 复数的概念7、2 复数的四则运算* 7、3 复数的三角表示第八章立体几何初步 (19)8、1 基本立体图形8、2 立体图形的直观图8、3 简单几何体的表面积与体积8、4 空间点、直线、平面之间的位置关系8、5 空间直线、平面的平行8、6 空间 · 直线、平面的垂直第九章统计 (13)9、1 随机抽样9、2 用样本估计总体9、3 案例统计 公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率 (9)10、1 随机事件与概率10、2 事件的相互独立性10、3 频率与概率选择性必修 ( 第一册 ) ( 共计 43 课时 )章节第一章空间向量与立体几何 (15)1、1 空间向量及其运算1、2 空间向量基本定理1、3 空间向量及其运算的坐标表示1、4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程 (16)第三章2、1 直线的倾斜角与斜率2、2 直线的方程2、3 直线的交点坐标与距离公式2、4 圆的方程2、5 直线与圆、圆与圆的位置关系3、1 椭圆圆锥曲线的方程 (12)3、2 双曲线3、3 抛物线选择性必修 ( 第二册 ) ( 共计 30 课时 )章节第四章数列 (14)4、1 数列的概念4、2 等差数列4、3 等比数列* 4、4 数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用 (16)5、1 导数的概念及其意义5、2 导数的运算5、3 导数在研究函数中的应用选择性必修 ( 第三册 ) ( 共计 35 课时 )章节第六章计数原理 (11)6、1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理6、2 排列与组合6、3 二项式定理第七章随机变量及其分布 (10)7、1 条件概率与全概率公式7、2 离散型随机变量及其分布列7、3 离散型随机变量的数字特征7、4 二项分布与超几何分布7、5 正态分布第八章成对数据的统计分析 (9)8、1 成对数据的统计相关性8、2 一元线性回归模型及其应用8、3 列联表与独立性检验题注说明：带有“”为提升性学习内容带有“”为基础性学习和必须掌握的内容目 录第一篇、函数学第一部分 集合与逻辑用语1. 1. 1 集合 11. 1. 2 逻辑用语 2第二部分 函数概念与性质1. 2. 1 函数三要素 31. 2. 2 函数单调性与奇偶性 41. 2. 3 函数周期性与对称性 5第三部分 初等函数、方程与不等式1. 3. 1 函数图像与变换 61. 3. 2 函数零点与基本不等式 71. 3. 3 一次函数及其变换 81. 3. 4 反比例函数及其变换 91. 3. 5 二次函数及其变换 101. 3. 6 二次方程与不等式 121. 3. 7 幂函数 131. 3. 8 幂函数的衍生函数 141. 3. 9 指数与指数函数 151. 3. 10 对数与对数函数 17第四部分 导数与积分1. 4. 1 极限与导函数 191. 4. 2 极限与定积分 211. 4. 3 导数在函数中的应用 22第五部分 三角函数1. 5. 1 三角函数概念与计算 251. 5. 2 正余弦型三角函数 271. 5. 3 三角恒等变换 28第六部分 数 列1. 6. 1 等差与等比数列 291. 6. 2 数列通项公式 301. 6. 3 数列求和公式 32第二篇、几何学第一部分 平面向量2. 1. 1 向量及其运算 342. 1. 2 向量的位置关系 352. 1. 3 向量法研究三角形性质 362. 1. 4 解三角形 37第二部分 复 数2. 2. 1 复数概念与计算 382. 2. 2 复数的三角表示 38第三部分 立体几何与空间向量2. 3. 1 空间几何体的结构特征 402. 3. 2 空间点线面位置关系 422. 3. 3 几何法求空间角与距 432. 3. 4 立体几何的空间向量方法 442. 3. 5 空间球的表面积与体积 46第四部分 直线与圆2. 4. 1 直线与直线方程 482. 4. 2 直线与圆位置关系 492. 4. 3 线性规划与最优解 50第五部分 圆锥曲线2. 5. 1 椭圆及其性质 512. 5. 2 双曲线及其性质 522. 5. 3 抛物线及其性质 532. 5. 4 点差法与通法 542. 5. 5 圆锥曲线的参数方程 552. 5. 6 仿射变换与齐次式 562. 5. 7 圆锥曲线考点梳理 57第三篇、数理统计与概率第一部分 统计学3. 1. 1 单一数据的统计分析 603. 1. 2 成对数据的统计分析 61第二部分 计数原理3. 2. 1 排列与组合 633. 2. 2 二项式定理 64第三部分 概率与概型3. 3. 1 古典概型与几何概型 653. 3. 2 事件与概率计算 66第四部分 离散型随机变量3. 4. 2 离散型随机变量 673. 4. 1 概率分布 68 函数学第一部分 集合与逻辑用语集 合1、元素与集合的概念元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c， 表示.集合：把一些元素组成的总体叫做集合 ( 简称集 ).用大写拉丁字母A、B、C 表示.2、元素与集合的关系关系概 念记法读法属 于a 是集合A 的元素，就说 a 属于集合Aa Aa 属于集合A不属于a 不是集合A 中的元素，就说 a 不属于集合Aa Aa 不属于集合A3、集合的表示方法(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用大括号 “ ”括起来表示集合的方法.(2) 描述法：设A 是一个集合，我们把集合A 中所有具有共同特征p(x)的元素 x 所组成 的集合表示为 x A/p(x) ，这种表示集合的方法称为描述法. 4、常用数集常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记 法NN 或N+ZQR 5、集合间的关系空 集 : 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集是任何集合的子集. 子 集：A 中的任一元素都属于B, 记做：A B真子集：如果A B，且B 中至少有一元素不属于A.记作：A B 6、含n 个元素的集合集合 子集个数 真子集个数 非空子集个数 非空真子集个数a1 ,a2 , ,an 2n 2n 1 2n 1 2n 2· 1 ·小 课 堂集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性小 课 堂四种命题的真假性之间的关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系充要条件应用说明：唯一性：给定条件p, 由p 推 出 q 成立时，q 推出的结果不是 唯一的p，则必要性不成立。 eg : x = 1 x = 1，x = 1 x =± 1，则 x = 1 是 x = 1 的 充分不必要条件。 不等式推论：小范围不等式 成立 大范围不等式成立，反 之不成立。小推大，大不可推小命题的否定与否命题： (1)命题“ x R，3x2 - 2x +1 > 0 ”的否定是 x0 R， 3x - 2x0 + 1 0 。 (2)命题“若 a、b 都是正数， 则 a + b 2”的否命题 是若 a、b 不都是正数， 则 a + b < 2 。 7、集合的运算运算交 集并 集补 集语言描述属于集合A 且属于集合B的元素组成的集合所有属于集合A 或属于集合B 的元素的组成的集合全集中集合A 以外的部分称为A 的补集.表示A B = x x A 且 x BA B = x x A 或 x BCUA = x x U 且 x Aveen图A AB BA BABUACA逻辑用语1、命题：可以判断真假的陈述语句称为命题.2、真值表pq非pp 或qp 且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 3、四种命题 原命题：若p 则q逆命题：若 q 则p 否命题：若 ¬p 则 ¬q 逆否命题：若 ¬q 则 ¬原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假 4 、充要条件充分条件：若p q，则p 是 q 充分条件.必要条件：若 q p，则p 是 q 必要条件.充要条件：若p q，且 q p，则p 是 q 充要条件. 5、全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题：短语 “ 所有的 ”“ 任意一个 ”在逻辑中通常叫做全称量 词，并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.(2) 存在量词与特称命题：短语 “ 存在一个 ”“ 至少有一个 ”在逻辑中通常叫做存在 量词，并用符号 “ ”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.(3) 全称命题与特称命题的符号表示及否定全称命题p： x ,p(x)，它的否定 ¬p： x0 ,¬p(x0).其否定是特称命题特称命题p： x0 ,p(x0), 它的否定 ¬p： x ,¬p(x).其否定是全称命题.·2 ·x第二部分 函数概念与性质函数三要素1 、函数的概念设A，B 是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的 任意一个元素 x，在集合B 中都有唯一确定的元素f(x) 和它对应，那么称f : A B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y =f(x)，x A.其中所有输入值 x 组成的集 合A 叫作函数y =f(x) 的定义域；所有输出值 y 组成的集合叫作函数y =f(x)的值域. 2、函数的定义域(自变量的取值范围) 定义域的约束： 1 分式的分母不能为零；3 根号下被开方数大于等于零24对数的真数大于零；零指数幂底数不为零3、函数的值域(因变量的取值范围)函数值域要综合函数定义域和函数单调性.如图，函数f(x) 是定义在 a,b 上的函数由图可知：f(x) 的值域是 f(m),f(n).y f(x)a m n b x 4、求函数值域的几种方法(1) 函数定义域直接制约着函数的值.对于比较简单的单调函数可通过定义域求得值域(2) 换元法求解函数值域：(换元后自变量取值范围改变，函数值域不会变化)二次函数型可通过换元法转化为二次函数，进而求解函数值域分子、分母是一次函数或二次齐次式有理函数用换元法转化为常见初等函数求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，用换元法转化为基本不等式求值域(3) 导数方法求值域：通过求解函数极值和端点值来确定函数的最值. 5、含参问题与最值(1)若： f(x) 恒成立，则 f(x)max；(2)若： f(x) 恒成立，则 f(x)min； f(x) 成立，则 f(x)min f(x) 成立，则 f(x)maxf(x) y = yyy = f(x)0xx0 x·3 ·小 课 堂函数概念通俗易懂的理解为： 唯一的自变量 x 有唯一的因 变量 y 与之对应。函数问题，定义域优先 f(x2)f(x1)小 课 堂函数单调性的性质运算：增函数+增函数=增函数减函数+减函数=减函数 2 添加根号单调性不改变 变倒数、加负号单调性改变复合函数：设y 是 的函数y =f(), 是 x 的函数 = (x) 如果 (x)的值全部或部分在 f()的定义域内，则 y 通过 成为 x 的函数，记 y =f(x)eg : y = x2 + 2、y = sin(x - 1)2 y = tan (3x + 1) 都是复合函数 而 y = log(cosx - 3 )就不是复合 函数 , x 都不能使 y 有意义判断复合函数的单调性步骤：求复合函数的定义域； 将复合函数分解为常见函数 (一次、二次、幂、指、对函数)； 判断每个常见函数的单调性 将中间变量的取值范围转化 为自变量的取值范围； 求出复合函数的单调性。1函数单调性与奇偶性 1、函数单调性的定义：设任意实数 x1、x2 a,b, 且 x1 < x2 .那么：f(x1) f(x2) < 0f(x) 在 a,b 上是增函数；f(x1) f(x2) > 0f(x) 在 a,b 上是减函数.yf(x1)f(x2)yx1 x2 xx1 x2 x 2、斜率式判断单调性：设x1 x2 a,b ,x1 x2 那么上是增函数；上是减函数.(x1 - x2)f(x1) -f(x2) > 0 )2 > 0f(x) 在 a,b(x1 - x2)f(x1) -f(x2) < 0 )2 < 0f(x) 在 a,b 3、导数法判断单调性：设函数 y =f(x) 在某个区间内可导.若f (x) >0，则f(x) 为增函数；若f (x) <0，则f(x) 为减函数. 4、复合函数单调性：同增异减.复合函数f gx 有：当f x 与gx 的增减性相同时，复合函数就是增函数 ( 同增 )；当f x 与gx 的增减性相反时，复合函数就是减函数 ( 异减 ). 5、函数的奇偶性：奇 函 数偶 函 数前 提定义域关于原点对称图 示yxyx计算式f( -x) =-f(x)f( -x) =f(x)对称性f(x) 关于原点对称f(x) 关于 y 轴对称特点在 x= 0 处有定义，则：f(0) = 0对任意的 x，都有f(x) =f( x )6、多项式函数P(x) = anxn + an-1xn-1 +a0 的奇偶性多项式函数P(x) 是奇函数 P(x) 偶次项的系数全为零. ( 常数按偶次项看待 ) 多项式函数P(x) 是偶函数 P(x) 奇次项的系数全为零.·4 ·函数周期性与对称性 1、周期性定义：函数f x 定义域内任意的 x，存在一个不等于 0 的常数 T，使得f x+ T =f x 恒成立，则称f x 是周期函数，T 是它的一个周期.一般 T 是f x 的周期，则 kT k Z 也是f x 的周期. 2、函数周期推导(1) f(x) =f(x + a)，则f(x) 的周期 T = a；(2) f(x a) =f(x + a)，或f(x + a) =± 1f(x)(f(x) 0)，则f(x) 的周期 T = 2a；(3) f(x) = 1 (f(x) 0)，则f(x) 的周期 T = 3a；(4) f(x + a) =f(x) f(x + a)，则f(x) 的周期 T = 6a.(5) 若f(x + a) =f(x + b) 或f(x - a) =f(x - b) ，则 T = b - a 3 、函数 y =f(x)的图象的对称性(1)y =f(x) 图象关于 x = a 对称 f(a + x) =f(a - x) f(2a - x) =f(x).(2)y =f(x) 图象关于 x = 对称 f(a + mx) =f(b - mx)4、两个函数图象的对称性(1) 函数 y =f(x) 与函数 y =f( -x) 的图象关于直线 x = 0( 即 y 轴 ) 对称.(2) 函数 y =f(x) 和y =f 1 (x) 的图象关于直线 y = x 对称. 5、周期性与对称性的关系若函数 y =f(x) 的图像关于直线 x = a，x = b 都对称，则f(x) 为周期函数且 2 b - a是它的一个周期推论：偶函数 y =f(x) 图像关于 x = a 对称，则f(x) 为周期函数且 2 a 是它的一个周期·5 ·小 课 堂周期性是对称性的一种体现y y =f(x - a)xx x2 + ay y =f(x)2x1y =f(x)y对称翻折xy =f(x)yxxy yy小 课 堂第三部分 初等函数、方程与不等式函数图像与变换1、五点法画图：函数化简 定义域