集合间的基本关系讲义--高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docx

1.2 集合间的基本关系 知识整合一、Venn图 Venn图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用Venn图，可以使问题简单明了地得到解决。二、子集和真子集的区别：如果集合A是集合B的子集，那么有以下两种Venn图的表示方法： AÜB A=B如果集合A是集合B的真子集，则只有以下一种Venn图的表示方法： AÜB三、空集的特征及重要作用：空集里没有任何元素，0也不是空集的元素；空集的书写方法区别于其它集合，一般的集合外层都有一个 ，元素放在 之内，但是空集却不需要加这个 ；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，因此在写一个集合的子集的时候，切勿将空集丢掉；空集作为一个特殊的集合，常常用来作为判断一个命题是否正确的反例；在根据集合之间的关系求参数的值或取值范围的题目中，空集作为集合的子集常常出现在解题的第一步，并且也是学生容易忽略掉的，需要重点强调。四、集合的子集的个数：若集合A中有个元素，则A的子集的个数为个，A的真子集的个数为个，A的非空子集的个数为个，A的非空真子集的个数为个。五、元素与集合、集合与集合之间关系的区别： 元素与集合之间的关系用“”或“”表示；集合与集合之间的关系用“”或“Ü”，“Ý”或“=”表示，注意不要混淆了。六、求参数的取值范围问题要特别注意端点。利用集合与集合之间的关系求参数的取值范围这一类型的题目中，在根据包含关系写出不等式组的时候，一定要注意端点处的等号能不能取到，可画出数轴来直观地理解，以免出错。1.2 集合间的基本关系题型一、判断两个集合的包含关系1已知集合，则以下关系正确的是（       ）ABCD2下列说法正确的是（       ）ABCD3设集合，则（       ）ABCDA4给出下列关系：；，其中正确的个数为（    ）ABCD5用“”或“”填空：（1）Z_N；（2）Z_Q；（3）Q_N；（4）R_Q6下列命题中正确的有_(写出全部正确的序号).2，4，62，3，4，5，6；菱形矩形；x|x200；(0，1)0，1；10，1，2；Ü.7已知集合Mx|x是平行四边形，Nx|x是矩形，Px|x是正方形，Qx|x是菱形，则（       ）A B C D8已知集合，则（       ）ABCD9已知集合A=1，2，3，4，5，集合B=1，2，若集合C满足：Ü，则集合C的个数为（       ）A6个B7个C8个D9个题型二、判断两个集合是否相等1下列表述错误的是（       ）ABCD2下列各式中：；. 正确的个数是（       ）A1B2C3D43给出下列四个命题： 设集合，则；                                  空集是任何集合的子集； 集合，表示同一集合； 集合，集合，则P=Q其中不正确的命题是（       ）A B C D 4（多选）下面关于集合的表示正确的是 （       ）ABCD5若，则的值为（       ）A0B1CD6已知集合，则_.7设集合，集合，则（       ）ABM Ü NC M Ý N D8若集合，则的关系是（       ）A BCD9若集合,，则之间的关系是（       ）ABCD题型三、空集的概念以及判断1下列四个结论：；.其中正确结论的序号有几个（       ）A1个 B2个 C3个 D4个2下列选项中正确的有（       ）A质数奇数； B集合与集合没有相同的子集；C空集是任何集合的真子集； D若，则；3下列关于空集的说法中，错误的是（       ）A0 B C D4（多选）下列关系中正确的是（       ）ABCD5（多选）给出下列关系，其中正确的选项是（       ）ABCD6下列四个命题：（1）空集没有子集；（2）空集是任何一个集合的真子集；（3）=0；（4）任何一个集合必有两个或两个以上的子集其中正确的个数有（ ）个A0B1C2D47下列命题中正确的是（       ）A空集没有子集 B空集是任何一个集合的真子集C任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D设集合，那么，若，则8（多选）下列集合是空集的是（       ）ABCD9（多选）下列四个集合中，是空集的是（       ）ABCD10下列集合中：；，是空集的为_（只填序号）.11已知集合，且，则实数m的取值范围是_.12已知集合，若，则的取值范围是_13若集合，则实数的取值范围是_.题型四、判断集合的子集（真子集）的个数1集合的子集的个数是（       ）A2B3C4D82集合的真子集的个数是（       ）ABCD3集合的非空子集个数为（       ）A3B4C7D84已知集合为非零实数，则M的子集的个数是（       ）ABCD5定义集合AB=，设，则集合AB的非空真子集的个数为（       ）A12B14C15D166已知集合，则满足条件Ü的集合 的个数为（       ）A3B4C7D87若集合，则集合B中元素的个数是（       ）A1个B2个C1或2或3个D0或1或2或3个8满足Ü的集合M共有_个.9若，则，就称是和美集合，集合的所有非空子集中是和美集合的个数为（       ）A4B5C6D710若非空集合M满足：（1）；（2）当时，总有，则符合上述要求的集合M有_个11若集合有且仅有两个子集，则实数_题型五、求集合的子集（真子集）1（多选）若Ü，则(       )ABCD2（多选）已知非空集合满足：，若，则.则集合M可能是（       ）ABCD3已知集合S0,1,2,3,4,5，A是S的一个子集，当时，若有，且，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有_个，其中的一个是_4已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（       ）A1B2C3D45若集合,，用列举法表示集合B=_，C=_.6设集合，若集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，则集合_7设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集.8已知集合，且（1）求实数的值；（2）写出集合A的所有子集9已知集合，试写出的所有子集及真子集10已知集合满足条件：若，则.（1）若，则集合中是否还有其它元素？若没有，说明理由；若有，求出集合中的所有元素；（2）集合是否有可能是只有一个真子集的集合？如果可能，求出集合；如果不能，说明理由.题型六、根据集合之间的关系求参数的值或取值范围1已知集合，若，则实数组成的集合为（       ）ABCD2已知集合，若，则_3设集合，若，则由实数a组成的集合为（       ）ABCD4已知集合，若，则实数a（       ）A2B1C0D5（多选）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（       ）A0B1CD6已知集合.（1）若，求，的值；（2）若，且，求，的值.7已知，且不是空集，（1）求集合的所有可能情况；（2）求、的值.8，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.9设，若，则的取值范围是（       ）ABCD10已知集合，若，则实数的取值范围是（       ）ABCD11已知函数，若，则的取值范围是（       ）A B C D12已知集合或，若，则实数的取值范围_13已知集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.14设集合，（1）当时，求A的非空真子集的个数；（2）若，求m的取值范围15已知集合，（1）若A为空集，求实数a的取值范围；（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围.1.2 集合间的基本关系 答案题型一、判断两个集合的包含关系1、【答案】D【详解】因为，所以，所以，A错误；，B错误；，C错误；D正确.故选:D.2、【答案】D【详解】对于A：是自然数集，是整数集，集合之间的关系应为或Ü，故选项A不正确；对于B：是无理数，是有理数集，故，所以选项B不正确；对于C：表示不含任何元素的集合，而是实数，故两者不相等，所以选项C不正确；对于D：正整数集是实数集的子集，即，故选项D正确；故选：D3、【答案】B【详解】集合A用语言叙述是所有大于1的有理数，所以0是集合A中的元素，故A错，是无理数，不是集合A中的元素，故B正确，2应该是集合A的子集，故C错误，不是集合A的子集，故D错误故选：B4、【答案】B【详解】对于，表示实数集，是实数，所以，故正确；对于，表示自然数集，故错误；对于，表示有理数集，是无理数，所以，故错误；对于，表示自然数集，故错误；对于，空集是任何集合的子集，所以正确，故正确.综上，正确，错误，所以正确的个数为2. 故选：B5、【答案】                    【详解】根据自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系即可得ZN；（2）ZQ；（3）QN；（4）RQ故答案为：；6、【答案】【详解】对于，2，4，6，则2，4，62，3，4，5，6，故正确；对于，菱形不属于矩形，则菱形Ü矩形，故不正确；对于，由，解得，则x|x200，故正确；对于，则(0，1)0，1，故不正确；对于，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以10，1，2不正确；对于，Ü，故正确. 故答案为：.7、【答案】B【详解】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形间的相互关系可知，ACD错误，B正确.故选：B8、【答案】D【详解】由集合或，结合选项，可得.故选：D.9、【答案】B【详解】根据Ü，集合可写成如下形式：1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5所以满足条件的集合C的个数为7个，选项B正确. 故选：B.题型二、判断两个集合是否相等1、【答案】D【详解】对于A，显然成立，故正确；对于B，空集是任何集合的子集，故正确；对于C，由元素的无序性可知，故正确；对于D，集合为点集，与为不同点，故错误. 故选：D2、【答案】B【详解】集合之间只有包含、被包含关系，故错误；两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；空集是任意集合的子集，故，正确；空集没有任何元素，故，错误；两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；正确. 故选：B.3、【答案】C【详解】应为，错误；根据空集的性质，空集是任何集合的子集，正确；或，显然不是同一集合，错误；由题设，、中所含元素一样，即P=Q，正确；故选：C4、【答案】CD【详解】A项：因为，所以，故A错误；B项：若，则，故B错误；C项：，故C正确；D项：因为，所以无解，故D正确，故选：CD.5、【答案】C【详解】因为，所以或，由可解得（不符合，舍去）或，由可解得，综上，则. 故选：C.6、【答案】2或4或1【详解】，若或，则或当时，2，即，解得或，此时或，当时，1，即，解得，所以或4或1，故答案为：2或4或1.7、【答案】B【详解】，当时，当时，所以M Ü N，故选：B8、【答案】A【详解】由已知可知，集合、为奇数集，则，故. 故选：A.9、【答案】B【详解】，显然，故选：B.题型三、空集的概念以及判断1、【答案】B【详解】，正确；，因为，所以错误；，正确；，因为表示集合中有一个元素，是“0”，但是表示集合中一个元素也没有，所以错误.故选：B2、【答案】D【详解】A. 2是质数，但是它不是奇数，所以质数奇数错误，所以该选项错误；B. 集合与集合有相同的子集，所以该选项错误；C. 空集是任何非空集合的真子集，所以该选项错误；D. 若，则，所以该选项正确. 故选：D3、【答案】A【详解】A：因为用于元素与集合之间，故A错误；B：因为空集是任何集合的子集，故B正确；C：因为中的元素是，故C正确；D：因为空集是任何集合的子集，故D正确；故选：A4、【答案】ACD【详解】自然数集中包含0，故，A正确；是无理数，故，B错误；空集是任意集合的子集，故C，D正确. 故选：ACD5、【答案】BCD【详解】显然不是集合的元素，所以A不正确；，所以B正确；，满足元素与集合的关系，所以C正确；，满足集合与集合的包含关系，所以D正确；故选：BCD6、【答案】A【详解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故（1）、（2）错又空集中不含任何元素， ，故（3）错误；空集只有空集一个子集，故（4）错综上所述正确的个数为0个。故选A7、【答案】D【详解】A选项，空集是其本身的子集，A错；B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确.故选：D.8、【答案】AB【详解】A：由上恒成立，故；B：方程无解，故；C：，不为空集；D：，不为空集 .故选：AB9、【答案】CD【详解】选项A，不正确；选项B，不正确；选项C，正确；选项D，方程无解，. 故选：CD10、【答案】.【详解】中有元素0，中有元素，中有元素，它们都不是空集；中元素，不存在任何一个元素属于集合，是空集；同理，也是空集；代表空集，即是空集. 故答案为：.11、【答案】【详解】，. 故答案为.12、【答案】【详解】集合，且，方程有解，解得：故的取值范围是13、【答案】【详解】由题意，集合，若时，集合，满足题意；若时，要使得集合，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：.题型四、判断集合的子集（真子集）的个数1、【答案】D【详解】由题意，有三个元素，其子集有8个故选：D2、【答案】C【详解】集合含有个元素，则集合的真子集有（个），故选：C3、【答案】A【详解】, 集合共有个子集，非空子集个数为4-1=3个，故选：A4、【答案】D【详解】因为集合，、为非零实数 ，所以当都是正数时，；当都是负数时，；当中有一个是正数，另两个是负数时，当中有两个是正数，另一个是负数时，所以集合M中的元素是3个，所以的子集个数是8，故选：D.5、【答案】B【详解】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.6、【答案】C【详解】因为，,且Ü 所以集合C的个数为，故选：C7、【答案】D【详解】因为，而集合的子集有：，集合中没有元素，元素个数为0；、 ，单元素集，集合中含有1个元素；、，双元素集，集合中含有2个元素； ，三元素集，集合中含有3个元素；所以集合B中元素的个数是0或1或2或3个. 故选：D8、【答案】7【详解】由题意可得，或或或或或或，即集合M共有个。故答案为：9、【答案】D【详解】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有再考虑含有两个元素的和美集合，有，含有三个元素的子集且为和美集合的是含有四个元素的子集且为和美集合的是.10、【答案】7【详解】根据条件：若元素，则，将集合的元素分成三组；1和5；2和4；3，当中元素只有一个时，；当中元素只有二个时，或；当中元素只有三个时，或；当中元素只有四个时，；当中元素有五个时，；综上所述得：则集合个数是：7，故答案为：11、【答案】或【详解】因为集合有且仅有两个子集，所以集合中仅有1个元素,即只有一个根，当，即 时， 成立，当，即 时， ，即 ，解得 ，故答案为：或题型五、求集合的子集（真子集）1、【答案】ABC【详解】Ü，B1，2或B1，2，3或B1，2，4.故选：ABC.2、【答案】AC【详解】由题意可知且，而或2与4同时出现，所以且，所以满足条件的非空集合有，故选：AC3、【答案】          【详解】因为集合S0,1,2,3,4,5，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S中无“孤立元素”的4个元素的子集有，其中一个可以是故答案为：；4、【答案】D【详解】因为集合的所有非空真子集为：，所以有，故选：D5、【答案】          ，1，2，1，2【详解】由题意得，A1，2，Bx|xA，则集合C中的元素是集合A的子集：，1，2，1，2，所以集合C，1，2，1，2，故答案为：，1，2，1，26、【答案】【详解】集合中三个元素的子集为：、，因为集合中所有三个元素的子集中的三个元素之和组成的集合为，所以得到，解得，所以集合.故答案为：7、解：因为的正约数有、，所以，所以的子集有：、共16个；8、【答案】(1)1(2)，【解析】（1），当时，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去当时，或，当时，符合要求；当时，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：（2）由（1）知，故A的所有子集为：，9、【答案】的子集有，的真子集有， 【详解】,的子集有,的真子集有, 10、【答案】（1）2，；（2）不能，理由见解析.【详解】（1）根据条件，若，则，.，这两个元素为, 所以集合A中的所有元素为2，.（2）若为单元素集，则；整理成，；该方程无解；即不可能是单元素集所以集合不可能是只有一个真子集的集合.题型六、根据集合之间的关系求参数的值或取值范围1、【答案】C【详解】因为，所以，解得，或，解得，当时，满足题意.当时，不满足集合的互异性.当时，若，满足题意.当时，若，满足题意.故选：C.2、【答案】2【详解】由，结合已知条件由下列两种情况：若，则，此时，满足；若，则，(i)当时，不满足；(ii)当时，不满足，综上所述，. 故答案为：2.3、【答案】D【详解】由题意，当时，的值为；当时，的值为；当时，的值为，故选：D4、【答案】B【详解】对于集合N，因为，所以N中有两个元素，且乘积为-2，又因为，所以，所以即a1故选：B.5、【答案】ACD【详解】如果，则，解得，如果两个集合有公共元素则，解得，经检验符合，或，解得，经检验符合.故选：ACD.6、【答案】(1)；(2)【详解】（1）若，则有，解得；（2），因为，所以，解得.7、【答案】（1）或或；（2）或或.【详解】（1），且，则或或；（2）若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得；若，由韦达定理可得，解得.综上所述，或或.8、【答案】(1)1 (2)或. 【详解】(1) ， 因为，所以-4和0是方程的两个根，所以，解得，所以实数的值是1；(2) ，因为，所以当时，解得，符合题意；当时，解得，符合题意；当时，解得，符合题意；当时，解得，综上：实数的取值范围是或.9、【答案】B【详解】由题：，则. 故选：B10、【答案】A【详解】当时，即当时，合乎题意；当时，即当时，由可得，解得，此时.综上所述，. 故选：A.11、【答案】D【详解】因为，所以，解得. 故选：D.12、【答案】或【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使，只需或，解得或所以实数的取值范围或. 故答案为：或13、【答案】（1）；（2）；（3）不存在.【详解】（1）若，则，即，此时满足；若，则.解得. 由得，的取值范围是.（2）若，则依题意应有，解得.所以的取值范围是.（3）若，则必有无解，即不存在，使得.14、【答案】（1）254；（2）【详解】由题意得（1），即A中含有8个元素，A的非空真子集的个数为（2）当，即时，；当，即时，因此，要使，则综上所述，m的取值范围或15、【答案】（1）；（2）.【详解】（1）因是空集，则，解得，所以实数a的取值范围是；（2）且B是A的真子集，则，解得，显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得，所以实数a的取值范围.学科网（北京）股份有限公司