广西南宁市2022届高三高中毕业班第二次适应性测试数学（理）试题（解析版）.docx

南宁市2022届高中毕业班第二次适应性测试数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据集合的运算直接可得.【详解】解：依题意，所以，故.故选：A2. 已知i是虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【2题答案】【答案】D【解析】【分析】先根据复数的运算求出，再判断对应的点所在象限即可.【详解】依题意，复数对应点是，对应的点在第四象限.故选：D3. 若是钝角且，则（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】由二倍角公式先求出的值，再由商的关系可得答案.【详解】因为是钝角，所以所以，所以 故选：C4. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 4B. 9C. D. 【4题答案】【答案】A【解析】【分析】画出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出最小值.【详解】如图所示，目标函数即，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，联立直线方程，可得据此可知目标函数的最小值为：故选：A5. 已知正方形ABCD中E为AB中点，H为AD中点，F，G分别为BC，CD上的点，将沿着BD折起得到空间四边形，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）A. B. EF与GH相交C. EF与GH异面D. EH与FG异面【5题答案】【答案】B【解析】【分析】由条件可得且，则四边形为梯形，从而可得出答案.【详解】由，则且由E为AB中点，H为AD中点，则且所以且，则四边形为梯形.梯形的两腰延长必交于一点所以相交， EH与FG平行故选项A，C，D不正确，选项B正确.故选：B6. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（ ）A. B. C. D. 【6题答案】【答案】B【解析】【分析】列举出所有情况，找出第一次点数大于第二次点数的情况，按照古典概型求解即可.【详解】不妨用表示两次投掷的基本事件，其中x代表第一次投掷的点数，y代表第二次投掷的点数故所有投掷的结果所包含的基本事件有：，共36种，其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件，共15种所以第一次点数大于第二次点数的概率故选：B7. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是A. 15B. 16C. 18D. 21【7题答案】【答案】C【解析】【详解】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.详解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，则，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.8. 在正方体中，O为底面的中心，E为的中点，若该正方体的棱长为2，则下列结论正确的是（ ）A. 平面BDEB. 平面C. 平面平面D. 三棱锥的外接球体积为【8题答案】【答案】B【解析】【分析】作图，由可判断A；根据为等腰三角形和勾股定理可证明平面，然后可判断B；由平面可判断C；由墙脚型可补形成长方体可得外接球半径，然后可判断D.【详解】解：如图，对于A选项，易知从而平面BDE，所以OC不可能与平面BDE平行，故A选项错误；对于B选项，易知，所以又，故，所以平面而，所以平面，故B选项正确；对于C选项，易知平面，而AD与平面BDE相交，所以平面BDE不可能与平面垂直，故C选项错误；对于D选项，设三棱锥的外接球半径为R，则，从而，所以，故D选项错误故选：B9. 已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【9题答案】【答案】D【解析】【分析】由条件结合圆的切线性质可得出，结合两点间的距离公式可得出答案.【详解】由得因为两圆的半径均为1，则，则，即所以点P的轨迹方程为故选：D10. 已知，命题，命题，则p是q的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【10题答案】【答案】A【解析】【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特殊值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.【详解】解：因为，由，得，则，当且仅当，即，时取等号，因此；因为，由，可取，则，此时，因此，所以p是q的充分不必要条件故选：A11. 已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若且，则椭圆E的离心率为（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】C【解析】【分析】设椭圆右焦点，连接，由椭圆对称性可知四边形为平行四边形，再由余弦定理可得出答案.【详解】设椭圆右焦点，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则因为，可得所以，则，由余弦定理可得，即，即故椭圆离心率，故选：C12. 设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（ ）A. 7B. 9C. 11D. 12【12题答案】【答案】B【解析】【分析】将已知条件变形为，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出的最大值即可.【详解】解：易知等价于令，则令得当时；当时所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值令，则当时不符合，舍去，所以则，当时；当时所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值若成立，只需，即，即两边取自然对数可得当时等式成立；当时有令，本题即求的最大的正整数恒成立，则在上单调递减因为，所以的最大正整数为9故选：B【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，同时也考查转化与化归的数学思想，对解题能力有一定的挑战性，是难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量，若，则实数_【13题答案】【答案】#0.5【解析】【分析】先根据向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再根据向量数量积的坐标表示结合即可求出【详解】易得，解得故答案为：14. 某医院现临时安排2名医护工作者到社区完成3项疫情防控宣传工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有_种（结果用数字作答）【14题答案】【答案】6【解析】【分析】先将3项工作分成两组，再分配给2名医护工作者即可.【详解】将3项工作分成两组有种分法，所以不同的安排方式共有故答案为：6.15. 已知数列的前n项和为，满足，则_【15题答案】【答案】160【解析】【分析】先通过递推式证明是等比数列，再按照等比数列的求和公式求解即可.【详解】因为，当时，解得当时，两式相减得，化简得：，又，故是以4为首项，3为公比的等比数列，则故答案为：160.16. 在上单调递减，则实数m的最大值是_【16题答案】【答案】#【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，求出含有数0的单调递减区间，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】依题意，由得，因此，函数含有数0的单调递减区间是，因在上单调递减，于是得，即，解得，所以实数m的最大值是.故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分17. 从；选取一个作为条件，补充在下面的划线处，并解决该问题已知中内角A、B、C所对边分别是a、b、c若_（1）求角A的大小；（2）设，求的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【17题答案】【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）若选，先由正弦定理得到，再借助余弦定理求出即可求解；若选，直接由正弦定理求出即可求解；若选，由正弦定理得到，借助辅助角公式求出即可；（2）先由正弦定理求出或，再分类讨论，按照面积公式求面积即可.【小问1详解】若选，因为及，得，所以因为，所以所以又，所以因为，得若选，由正弦定理及，得，则，得因为，所以若选，由得由正弦定理得因为，所以即因为，所以得【小问2详解】由，及正弦定理且，得，化简得因为，则或若，则，则，若，则，则所以的面积为或19. 我国是一个水资源严重缺乏的国家，2021年全国约有60的城市供水不足，严重缺水的城市高达16.4某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并将数据按照，分成5组，制成了如下频率分布直方图（1）设该市共有20万户居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于12（t）的用户数；（2）若该市政府希望使85的居民用户月均用水量不超过标准x（t），试估计x的值（精确到0.01）；（3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下：级差水量基数x（单位：t）水费价格（元/t）第一阶梯1.4第二阶梯21第三阶梯2.8小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量【19题答案】【答案】（1）16万 （2）13.67t （3）18t【解析】【分析】（1）根据所有矩形面积之和等于1可得；（2）先判断用水标准所在区间，然后根据小于用水标准的矩形面积之和等于0.85可得；（3）先判断小明家的月用水量达到第几阶梯，然后列式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可得，解得居民用户月均用水量不超过的频率为，所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于的用户数为：（万）【小问2详解】由频率分布直方图知，居民用户月均用水量不超过的频率为：0.80月均用水量不超过的频率为0.92则85的居民用户月均用水量不超过的标准，故解得，即x的值为【小问3详解】因为所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费设小明家上个月的用水量为，由得，所以小明家上个月的用水量为21. 如图，在三棱柱中，点在底面ABC的射影为BC的中点O，底面ABC是边长为2的正三角形，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值【21题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）先由和证得平面，即可证得，进而证得；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再按照线面角的向量求法求解即可.【小问1详解】底面ABC是边长为2的正三角形，O为BC的中点，连接AO，点在底面ABC的射影为BC的中点O，而，平面又平面，【小问2详解】由（1）可知OA，OB，两两垂直，分别以OB，OA，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则由题意有，所以，设为平面的法向量，则，得，令，则，所以是平面的一个法向量设所求角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为23. 设函数，（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围【23题答案】【答案】（1）增区间为、，减区间为 （2）【解析】【分析】（1）当时，求出函数的定义域与导数，利用函数单调性与导数之间的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）分、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性以及极值符号，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式（组），即可解得实数的取值范围.小问1详解】解：当时，则由得，（舍去）当时，成立，则在、上单调递增；当时，成立，则在上单调递减综上，当时，函数的增区间为、，减区间为【小问2详解】解：因求导得，当时，由，可得，函数只有一个零点，不符合题意；当时，由可得，由可得，所以，函数在上递增，在上递减，由，取，令，则在内成立，故在上单调递增则则由此得有两个零点等价于，得，则当时，（）当时，对任意的恒成立，在上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；（）当且时，由得，（舍去），若，即当时，由可得，由可得或，此时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，此时，函数有两个极值点；同理，当时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，此时，函数也有两个极值点；因为，令，令，其中，当或时，；当时，.所以，所以，故又，所以，至多只有一个零点，不符合题意综上，实数的取值范围为【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.25. 设抛物线的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点（1）求抛物线C的方程；（2）过曲线上一点P引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，求的面积的取值范围(O为坐标原点)【25题答案】【答案】（1）； （2）【解析】【分析】(1)根据几何关系求出该圆和x轴和y轴均相切，得到M的坐标，代入抛物线方程即可求解；(2)设，则，.设，根据导数求出在A、B处切线方程，代入可得切点弦AB方程，联立AB方程和抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式可求，求出O到AB距离d，用表示出，构造函数，判断函数单调性求出范围即可【小问1详解】依题意得，设，由抛物线性质，可得圆心是MF的中点，根据中点坐标公式可得，圆心纵坐标为1，则MFy轴，圆半径为1，且过(1，0)，据此可知该圆与x轴和y轴均相切，故圆心为(1，1)，则，代入抛物线方程得，抛物线C的方程为；【小问2详解】在曲线上任取一点，设切点为，y，在点处的切线斜率为，则在点处的抛物线的切线方程为又点在切线上，同理可得，则切点弦AB的方程为(*)，联立方程组，消y得，由韦达定理得，由(*)知，则，点O到AB：的距离为，则，曲线上，则，故，令，则，时，在恒成立，在上单调递减，的面积的取值范围【点睛】本题关键是利用导数求出抛物线斜率，写出切线方程，根据切线方程求出切点弦AB的方程.在求三角形面积范围时，利用导数求函数的单调性，根据单调性求范围即可（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分27. 在平面直角坐标系xOy中，设曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程；（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求实数a的值【27题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）曲线的参数方程消去参数即可求出曲线的普通方程；（2）首先曲线的极坐标方程转化为普通方程，可以得到曲线是圆，要使曲线上恰有三个点到曲线的距离为，圆心到直线的距离，求解方程即可.【小问1详解】由已知得代入，消去参数t得曲线的普通方程为【小问2详解】由曲线的极坐标方程得，又，所以，即，所以曲线是圆心为，半径等于的圆因为曲线上恰有三个点到曲线的距离为，所以圆心到直线的距离，即，解得29. 已知函数（1）当，时，解不等式；（2）若函数的最小值是2，证明：【29题答案】【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接分、及解不等式即可；（2）先由绝对值三角不等式求出，再结合基本不等式证明即可.【小问1详解】当，时，解不等式当时不等式化为得，故；当时不等式化为得，故；当时不等式化为，故综上可知，不等式的解集为【小问2详解】易知，因为的最小值是2且，所以，故所以（当且仅当时取等号）.学科网（北京）股份有限公司