平面向量的概念线性运算基本定理及坐标表示与向量的数量积知识点与同步练习.doc
YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版名师归纳总结学习必备欢迎下载平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示与向量的数量积一、向量的概念1. 向量 ：既有大小有方向的量叫做向量2. 几何表示 :向量可以用有向线段表示只有大小没有方向的量称为数量.长度 ：向量 AB 的大小 , 也就是向量AB的长度 ( 或称模 ), 记做 |AB| .a, b,c（印刷用黑体a ，手写用 a ）或用表示向量的有向线段的起点向量也可用字母和终点表示 . 例如， AB ，CD .零向量 ：长度为0 的向量 . 记做 0 .单位向量平行向量:长度为 1 的向量 .:方向相同或相反的向量. 记作a / /b .规定 :零向量与任一向量平行.3. 相等向量 : 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记做a = b.注意 :向量相等与有向线段的起点无关.共线向量 : 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫共线向量.二、平面向量的线性运算1. 向量加法的三角形法则( 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算)已知非零向量a 、 b ，在平面内任取一点A ，作 ABa ， BCb ，则向量 AC叫做 a和 b 的和，记做a + b ，即a + bABBC求两个向量和的运算，叫做2. 向量加法的平行四边形法则向量的加法 .这种方法称为向量加法的三角形法则.以同一个点O 为起点的两个已知向量a 、 b 为邻边作OACB , 则以O 为起点的对角线, 即 a+ bOAOBOC. 此法叫做向量加法的平行四边形法则是 a 与 b 的和OC.规定 ：对零向量与任一向量a ，3. 小结论a + 0 = 0+ a = a对任意向量a 、 b ，有 | a + b | | a | + | b| ；当 a 、 b 同向时，| a + b |=| a | + | b | ；当 a 、 b 反向是， | a + b |=| a | - | b | （或 | b | - | a |）： a + b = b+a ；向量加法 结合律 ： (a + b)+ c = a + (b+ c)4. 向量加法 交换律5. 与 a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量 . 规定 ：零向量的相反向量是零向量.6. 向量减法的几何意义：a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.这种运算叫做向量的数与向量 a 的积是一个向量，7. 向量的 数乘 ：一般地， 我们规定实数乘，记作a ，它的长度与方向规定如下：|a | | a |；(1)精品学习资料第 1 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载0 时 ,a 的方向与a 的方向相同；当0 时 ,a 的方向与 a 的方向相同 .(2)当8. 数乘的运算律：(a )()a ;() aaa ;(ab)ab .(1)(2)(3)9. 向量共线充要条件: 向量a(a0 ) 与b共线 , 当且仅当有唯一一个实数, 使 ba .三、平面向量的基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理如果e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一个实数1 、，使得2a1e12 e2把不共线的向量e1 、 e2 叫做这一平面内所有向量的基底.a和b ，作OAa ， OBb ，则AOB(0180 )2. 向量的 夹角已知两个非零向量叫做向量 a 与 b 的夹角 .如果 a 与 b 的夹角是 90 ，称 a 与 b 垂直 ，记作ab.时， a与 b 同向；当a与 b 反向 .0180当时，3. 正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、4. 向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与j 作为基底 . 对于平面内的一个向量a ，由平面基本定理可知，有且只有一对实数x 、 y ，使得axiyj这样，平面内的任一向量a 都可以由 x 、唯一确定，我们把有序数对y( x, y) 叫做向量 a的坐标，记作a(x, y) . 其中 x ， y 分别叫做 a 在 x 轴上，在y 轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示5. 平面向量的坐标运算.(1)若 a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，则 ab( x1x2 , y1y2 ) ；(2)若 a( x, y),R , 则a(x,y) ；A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ，则 AB( x2x1 , y2y1 ) .(3)若6. 平面向量共线的坐标表示(x1, y1) , b( x2 , y2) (b0) , 则向量a、b(b0) 共线的设ax1 y2x2 y10 .充要条件为精品学习资料第 2 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载x1 x 22y1y2 27. 设P(,) ；P1 (x1, y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) .(1)若 P 是 P1P2 的中点，则x1x2y1y2若P1PPP2 ，则 P(,) .(2)11前三部分总结1. 向量相等 ( 长度和方向 ).2. 加法的三角形法则( 首尾相连) 、四边形法则( 起点相同) 及其几何意义.注意与平面几何相结合小结论： (1) G 为ABC的重心 ( 中线的交点)x1x23x3 ，y1y23y3GA+GB+GC0G；G 为ABCGAGBGC的外心(2)3. 共线 ( 平行 ) 向量 .(1)a ( x1, y1 ),b( x2 , y2 )( b0 )a / / ba =bx1 y2x2 y10 ；A, B, C 三点共线AB / / AC .(2)4. 平面向量基本定理2e2 (e1, e2 不共线a1e1)四、平面向量的数量积：1、向量的夹角概念：对于两个非零向量a, b，如果以 O 为起点，作OAa,OBb ，那么射线OA,OB 的夹叫做向量 a 与向量 b 的夹角，其中0角2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义 : 如果两个非零向量a, b 的夹角为，那么我们把 | a | b | cos叫做向量 a 与向量 b的数量积，记做a b即： a bab cos（2）投影： b 在 a 上的投影是一个数量b cos，它可以为正，可以为负，也可以为0（3）坐标计算公式：若向量a(x1, y1 )，b( x2 , y2 ) ，则 a bx1x2y1 y2aabbx1x2y1 y23、向量的夹角公式：cos2222x1y1x2y22224、向量的模长：aaa ax1y1精品学习资料第 3 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载5、平面向量的平行与垂直问题： （ 1）若a( x1 , y1 ) ，b( x2 , y2 ) ，a / /b ，则 x1y2x2y10（2）若a(x1, y1 ) ， b(x2 , y2 ) ， ab ，则 a b0x1 x2y1 y20例：一、平面向量的数量积的应用：1、向量数量积定义的应用a1, b2, 向量a, b 的夹角为( a2b) (2 ab)例 1（ 1）已知，求3（2）已知a(2,1),b(3,4), 求：(ab) (a3b ) ；若ac1, b c9 ，求 c 的坐标2、向量的夹角问题例2（ 1）已知向量a 、 b 都是非零向量，且向量a3b 与向量 7 a5 b垂直，向量a4 b 与向量 7 a2 b 垂直，求向量a 与 b 的夹角。（ 2）若向量 a = x, 2 x ， b =3x,2 ，且 a ， b 的夹角为钝角，求x 的取值范围基础练习：一、选择题1下列向量给中， 能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A e1 =(0,0), e2 =(1, 2) ;B e1=(-1,2), e2 =(5,7);1234C e1=(3,5), e2 =(6,10);D e1=(2,-3) , e2 = (,)2已知向量a、 b，且 AB =a+2b , BC = -5 a+6b , CD =7a-2b,则一定共线的三点是（）精品学习资料第 4 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载A A 、B 、 DB A 、B 、 CC B、 C 、 DD A 、 C、 D3如果 e1、e2 是平面 内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（） e1 e2(, R) 可以表示平面内的所有向量；对于平面中的任一向量a,使 a=e1 e2 的 , 有无数多对；若向量1e1+1e2 与2e1+2e2 共线 ,则有且只有一个实数k,使2e1+2e2 =k(1e1+1e2)；若实数, 使 e1 e2=0，则B =0.A CD仅5若向量a=(1,1), b=（ 1,-1) , c=(-2,4) , 则c=()A -a+3b6 平面直角坐标系中，B 3a-bC a-3bD -3a+b*O为坐标原点，已知两点A(3,1), B(-1,3), 若点y) 满足）C(x,OC =OA +OB ，其中, R 且 +=1 ，则 x, y 所满足的关系式为（D x+2y-5=022A 3x+2y-11=0二、填空题B (x-1) +(y-2) =5C 2x-y=07作用于原点的两力F 1 =(1,1) , F 2 =(2,3) , 为使得它们平衡，需加力F3=;8若 A(2,3)，B(x, 4),C(3, y),且 AB =2 AC ,则 x=，y=;1A(2,3),B(1,4)且AB =(sin ,cos), , (-29已知), 则 +=,22*10已知a=(1,2) , b=(-3,2), 若 ka+b 与 a-3b 平行，则实数k 的值为11、若 ab0 ，则 a 与 b 的夹角的取值范围是。180 ， a 与 b 的夹角是12、| a |10,| b |36, a b。a 与 b 的夹角为钝角，实数a(m,2), b(3,5), 若13、 已知m 的取值范围为。14、已知 | a |1,| b |2,(ab)a，则 a 与 b 的夹角是三、解答题15.已知向量b 与向量a=(5,-12) 的方向相反，且|b|=26,求 b16如果向量实数 m 的值使AB =i-2j , BC =i+mj ,其中 i、j 分别是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量，试确定A、 B、C 三点共线。精品学习资料第 5 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载(-1,0)、 (3,-1) 、(1,2） , AE1 AC, BF31 BC,317已知 A、 B、C 三点坐标分别为求证：EF / AB*18已知A(2,3)、 B(5,4) 、 C(7,10)，若 APR) ，试求 为何值时，点P 在第ABAC(三象限内？a 与 b 的夹角为锐角，求实数19、已知1),若m 的取值范围。a(2, 1), b(m, m20、已知 a 、 b 都是非零向量，且a3b 与 7a5b 垂直， a4b 与 7a2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。21、 ABC 中， A(4,1)， B(7,5)， C(4,8)，判断 ABC 的形状。22、 在 ABC 中， AB(1,1), AC(2, k) ，若 ABC 为直角三角形，求实数k 的值。a 与 b 的夹角是多少？23、已知a(1,3),b(31,31), 求精品学习资料第 6 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载5(3 ,), b 31(3,), 求3a2b 与 ab 的夹角是多少？24、已知a若 a 与b 的夹角为，且 a =(3,3) ，2ba(1,1) ，求25、。精品学习资料第 7 页，共 7 页
