最全面江苏省高中数学知识点总结(精华版).doc

YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版高中数学第一章-集合榆林教学资源网考试内容： 集合、子集、补集、交集、并集逻辑联结词四种命题充分条件和必要条件考试要求：榆林教学资源网（ 1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合（ 2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充 分条件、必要条件及充要条件的意义§01.集合 与 简 易逻 辑知识 要 点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为.AA；A ；空集是任何集合的子集，记为空集是任何非空集合的真子集；如果如果B，同时B， BA，那么 A = B.AABC，那么 AC . 注： Z= 整数 （）Z = 全体整数（×）已知集合S 中 A 的补集是一个有限集，）则集合A 也是有限集 .（×）（例： S=N；A=N，则CsA= 0第 1 页共 81 页精品资料精品学习资料第 1 页，共 81 页 空集的补集是全集.若集合A=集合 B，则CS（ CAB）=DCBA=，CAB =（ 注：CAB=）.3. （ x，y） |xy =0 ，x R，y R 坐标轴上的点集. （ x，y） |xy 0， x R， yR二、四象限的点集. （ x，y） |xy 0， x R， yR 注：对方程组解的集合应是点集一、三象限的点集.xy3例：解的集合 (2 ， 1).2 x3y1B= y|y =x2+1点集与数集的交集是. （例：A =( x， y)| y =x+1则 AB =）n 个 .2n n 个元素的真子集有4. n 个元素的子集有集有 2n 2 个 . 1 个 . n 个元素的非空真子25. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真否命题逆命题 .一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题 .例：若3 应是真命题 .5，则 a2或 bab解：逆否：a = 2 且b = 3 ，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真.x1且y2，3.xy解：逆否：x = 1 或x + y =3y = 2.3,故 xy3 是2 的既不是充分，又不是必要条件x1且 y1且 y.2xxy小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若2 .x5，x5或 x4.集合运算：交、并、补.A, 且xBA或xB交： A并： A补： CU ABB x | x x | x xU ,且 xA5.主要性质和运算律（ 1）包含关系：A, AU , CU AAAA,B, BU ,BCAC; AA, ABB; ABA, ABB.（ 2）等价关系：ABABAABBCU ABU（ 3）集合的运算律：交换律：ABBA; ABBA.( AB)CA(BC); ( AB)CA( BC )结合律:A(BC)( AB)( AC); A( BC)( AB)( AC)分配律:.第 2 页 共 81 页精品资料精品学习资料第 2 页，共 81 页A,AA,UAA,UAU0-1 律：等幂律：AAA, AAA.求补律：反演律：A CUA=CU(A B)=A CUA=U(C UA) ( CUB)CUU=CU =UCU(A B)=(C UA) ( CUB)6.有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定card( ) =0.基本公式：(1) card ( A(2) card ( AB)Bcard ( A)card ( B)card ( AB)C )card ( A)card (A card ( Acard (B)card (C)B)Bcard (BC )C)card (CA)(3) card(UA)=card(U)- card(A)( 二 ) 含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法 根轴法 （零点分段法）将不等式化为了统一方便(x-x m)>0(<0) 形式，并将各因式x 的系数化 “ +”；( 为a0(x-x 1)(x-x2)求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；若不等式（x 的系数化“ +”后）是“ >0”, 则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“ <0”, 则找“线”在x 轴下方的区间.+xxxxx-x1m-2-m-3x2xm-1m3（自右向左正负相间）nn1n 20(0)(a00)a0 xa1 xa2 xan则不等式的解可以根据各区间的符号确定 .特例一元一次不等式ax>b 解的讨论；2ax +box>0(a>0)0一元二次不等式解的讨论 .00二次函数2yaxbxca0 ）的图象（第 3 页 共 81 页精品资料精品学习资料第 3 页，共 81 页一元二次方程有两相异实根有两相等实根2axabxc0b2a无实根x1 , x2 ( x1x2 )x1x20 的根ax 2(abxc0b2ax xx1或 xx2x x0)的解集R2ax(abxc0x x1xx20)的解集2. 分式不等式的解法f ( x)g( x)f ( x)g( x)f ( x)g ( x)f ( x)g( x)（ 1）标准化： 移项通分化为>0( 或<0) ；0( 或0) 的形式，f (x)g( x)f ( x)g( x)f ( x)g( x)g ( x)00（ 2）转化为整式不等式 （组）0f ( x)g (x)0;03. 含绝对值不等式的解法axbc , 与axbc(c0) 型的不等式的解法（ 1）公式法：.（ 2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（ 3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题4. 一元二次方程根的分布.2一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)（ 1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（ 2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之（ 三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单 命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。.构成复合命题的形式：p 或 q( 记作“ p q”； p且q( 记作“ p q”) ；非p( 记)作“ q” )3、“或”、。“且”、“非”的真值判断逆互原若命 题逆若命 题q则 p（ 1）“非 p”形式复合命题的真假与F 的真假相p则q互反；否为逆互否互（ 2）“ p 且 q”形式复合命题当为真，其他情况时为假；”形式复合命题当 为假，其他情况时为真P 与q 同为真时否逆否为互逆若否 命 题q则 p否若命 题p则（ 3）“ p 或 qp 与q 同为假时q逆互4、四种命题的形式：原命题：若P则 q；逆命题：若q 则p；第4 页 共 81页精品资料精品学习资料第 4 页，共 81 页否命题：若P则 q；逆否命题：若q 则 p。(1) 交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题5、四种命题之间的相互关系：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：、原命题为真，它的逆命题不一定为真。、原命题为真，它的否命题不一定为真。、原命题为真，它的逆否命题一定为真。( 原命题逆否命题 )6、如果已知若 pq 且 qq 那么我们说， p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件。pp, 则称 p 是 q 的充要条件，记为p? q.( 与已知、公理、定理7、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。) 矛盾，从第 5 页 共 81页精品资料精品学习资料第 5 页，共 81 页高中数学第二章-函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性 反函数互为反函数的函数图像间的关系 指数概念的扩充有理指数幂的运算性质指数函数 对数对数的运算性质对数函数函数的应用 考试要求：（ 1）了解映射的概念，理解函数的概念（ 2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法（ 3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数（ 4）理解分数指数幂的概念，性质掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和（ 5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质（ 6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题§02.函 数知 识 要 点一、本章知识网络结构：F:AB定义反函数一般研究图像映射性质函数二次函数具体函数指数指数函数对数函数对数二、知识回顾：（一）映射与函数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，才是同一函数. 3.反函数反函数的定义值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数设函数yf (x)( x(y).若对于A) 的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到y 在 C 中的任何一个值，通过(y) ，x 在 A 中都有唯一x=x=的值和它对应， 那么，x=(y) 就表示y 是自变量， x 是自变量y 的函数，这样的函数x=(y)1 ( y)yf (x)( xA)xf的反函数，记作C) 叫做函数, 习惯上改写成(y第 6 页 共 81 页精品资料精品学习资料第 6 页，共 81 页1yf(x)（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数f(x) 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当 x 1<x 2 时，都有f(x 1)<f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是增函数；若当 x 1<x 2 时，都有f(x 1)>f(x 2),则说f(x)在这个区间上是减函数.若函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x) 的单调区间 .此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（ 1 ）定义域在数轴上关于原点对称是函数f ( x) 为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（ 2） f (x)f ( x )或f (x )f ( x ) 是定义域上的恒等式。2 奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3. 奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反4 如果.f ( x)，反之亦成立。是偶函数，则f ( x )f (| x |)f ( 0 )x0 时有意义，则0若奇函数在。7. 奇函数，偶函数：偶函数：f (x)f (x)设（ a, b ）为偶函数上一点，则（偶函数的判定：两个条件同时满足a, b ）也是图象上一点.2x定义域一定要关于y 轴对称，例如：1在 1, 1) 上不是偶函数.yf ( x)f (x)满足x)f (x) ，或 f (x)0 ，若 f ( x)0 时，f (f (x)1.奇函数：f (x)f ( x)第 7 页 共 81 页精品资料精品学习资料第 7 页，共 81 页设（ a, b ）为奇函数上一点，则（奇函数的判定：两个条件同时满足b ）也是图象上一点.a,3yx 在 1, 1) 上不是奇函数.定义域一定要关于原点对称，例如：f (x)f (x)满足f ( x) ，或 f (x)0 ，若0 时，f (x)f (x)f ( x)1.轴对称yf（x）8. 对称变换：y = f（ x）yx轴对称 y =f（ x）f（ x）y原点对称 y =f（ x）f （x）y9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：（x1xxx2）( x1x2 )2222f ( x1 )f (x 2 )x 1bx2b2222bx1b在进行讨论 .10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.x例如：已知函数f（x） = 1+的定义域为A，函数 ff（ x） 的定义域是B，则集合与A1x.集合 B 之B间的A关系是解： f ( x) 的值域是11. 常用变换：f ( f ( x) 的定义域B ，f (x) 的值域R ，故 BR ，而，故 BAA.x| x1f ( x)f ( y)f ( xy)f ( x) f ( y)f ( xy).f ( y)f (x)证：f ( x)f ( xy)yf (xy) f ( y)f (xy)xf ()f (x) yf ( y)f (xy)f ( x)f ( y)f ( xyf ( x ) y证： f (x)y)f ( y)12. 熟悉常用函数图象：|x2|x|x 2|121212y2|x| | x | 关于例：y 轴对称 .yyyyyy(-2,1)(0,1)xxxy21 | | y | 关于 x 轴对称 .y| 2 x2 xx熟悉分式图象：第8 页共 81 页精品资料精品学习资料第 8 页，共 81 页2xx y132, y7例：定义域 x | x3, xR，y2x3值域R 值域x 前的系数之比 . y |y（三）指数函数与对数函数2x3a x0且ay(a1)指数函数的图象和性质a>10<a<14.54.54图43.53.5332.52.5象221.51.5y=1y=1110.50.5-4-3-2-11234-4-3-2-11234-0 .5-0 .5-1-1(1) 定义域： R（ 2）值域：（0， +）性质（ 3）过定点（y>1;x<0 时， 0<y<10， 1），即时， y=1x=0时，(4)x>0时， 0<y<1;x<0（5）在 R 上是减函数时， y>1.(4)x>0（ 5）在R 上是增函数对数函数y=log ax 的图象和性质 :对数运算：0且（以下 M0, N0, a0, a1, b0, b1, c0, c1, a1 , a2 .an1 ）(1)loga (MN)logaMlog a NMNlogaloga Mlog a N12)nloga Mnlog aM1nnlogaMlog aMlog a NaNlogb Nlog b alogc a换底公式：logNa推论：log aloga1 a2blog b clog a 2 a31.log ananlog a1 an1第 9 页 共 81页精品资料精品学习资料第 9 页，共 81 页a>10<a<1yy=logxa>1a图象Oxx=1a<1（ 1）定义域：（0， +）（ 2）值域：R（ 3）过点（1，0），即当x=1 时， y=0性质y00（ 4） xx（ 5）在（(0,1)(1,y) 时0xx(0,1) 时时y(1,) 时y>00，+）上是增函数在（ 0， +）上是减函数注：当0 时，log(a b)log(a)log(b) .a,b+”，当 n 是偶数时且：当 M0 时，取“0 时，n0 ，而M0 ，故取“”.MM2x 0 而 log a x 2 中log a x2 log a x(2 log a x 中例如：x R）.xa（ a0, a1 ）与logx 互为反函数 .yya当1 时，aylog a x 的 a 值越大，越靠近x 轴；当 0a1 时，则相反.（四）方法总结 . 相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同对数运算：.注：当0 时，.a,blog( a b)log( a)log(b)+”，当 n 是偶数时且：当0 时，取“0 时，nM0 ，故取“”M0 ，而M.M22例如：中 x R） .x2 log a xa x 中x 0 而 log a xlog a( 2loga x （a0, a1 ）与 ylogx 互为反函数 .ya当1 时，ayx 的 a值越大，越靠近x 轴；当 0a1 时，则相反log a. . 函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.第 10 页 共 81 页精品资料精品学习资料第 10 页，共 81 页 . 反函数的求法：先解 . 函数的定义域的求法：x, 互换 x、 y，注明反函数的定义域( 即原函数的值域).布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数0；对数的真数的定义域 . 常涉及到的依据为分母不为0；偶次根式中被开方数不小于大于 0，底数大于零且不等于等 .1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义 . 函数值域的求法：配方法 ( 二次或四次 ) ；“判别式法” ；反函数法； 换元法；不等式法；函数的单调性法. . 单调性的判定法： 设x 1 ,x 2 是所研究区间内任两个自变量，且 x 1 x 2 ；判定 f(x1 )与 f(x2 ) 的大小；作差比较或作商比较. . 奇偶性的判定法： 首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与为偶；f(x)之间的关f(x)+f(-x)=0系： f(-x)=f(x)为偶函数； f(-x)=-f(x)为奇函数；-x)=-1为奇函数f(-x)-f(x)=0.为奇； f(-x)/f(x)=1是偶； f(x)÷f( . 图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.第 11 页 共 81 页精品资料精品学习资料第 11 页，共 81 页高中数学考试内容： 数列第三章数列等差数列及其通项公式等差数列前等比数列及其通项公式等比数列前 考试要求：n 项和公式n 项和公式（ 1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项（ 2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前际问题（ 3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 际问题n 项和公式，并能解决简单的实n 项和公式，井能解决简单的实§ 03.数 列知 识 要 点数列的定义项数列的有关概念项数数列数列的通项等差数列的定义通项等比数列的定义数列与函数的关系等差数列的通项等比数列的通项等比数列等差数列等比数列的性质等差数列的性质等比数列的前n项和等差数列的前n 项和等差数列等比数列定义anandanan11q(q0)d ；anammd递 推式 通 项 式中项公anan1nn manan 1 q ； ana m qana1(n1)d公n 1a1q（ a1, q0 ）ana na nkkAGa nk a n( ank an0)kk2*N, nn, kN * , n（n, k0 ）0 ）kk第 12 页共 81 页精品资料精品学习资料第 12 页，共 81 页前和项nn2na 1 ( qa1 111)nSn( a1an )Snqqa11an qq( q2)n(n21)Snna1d重质要性*amana paq ( m, n,p, qN ,mnpq)ammanna pq)aq (m,n, p, qN ,p1.等差、等比数列：等差数列等比数列定义a 为(常数）anAPanandn11 a 为Gq(常数）Pnan通 项 公式n1nkan = a1 +（ n-1）d= ak +（n-k ）d= dn+ a1 -dana1qak q求 和 公式n(a1an )n(n21)na(q1)1snna1d2( a1nsna1 (11q)qa11an qqd2d2(q1)2n) n第 13页共 81页精品资料精品学习资料第 13 页，共 81 页ab中 项 公式22推广： 2 an = anananananGab 。推广：A=mmmm2性质1若 m+n=p+q则amanapaq若 m+n=p+q ，则 amana p aq 。2若 a若 knknN ）则成 A.P（其中kn成等比数列（其中 knN ），kn也为 A.P。则 akn成等比数列。3sn , s2nsn , s3ns2nsn , s2nsn , s3 ns2 n 成等比数列。成等差数列。4ana1anamanna11ammannn 1qn mq，d(mn)(mn)5看数列是不是等差数列有以下三种方法：d (n2, d为常数 ) an 2 anan1anknan 1 ( n2 )1anb ( n, k 为常数 ).看数列是不是等比数列有以下四种方法：2, q为常数 ,且 anan1q(n0)2( n2 ， an an1 an 10 )ananan11注：ac ，是 a、b、c 成等比的双非条件，即a、b、 c 等比数列i.b.bacac （ ac 0）为 a、b、c 等比数列的充分不必要ii.b为 a、b、c 等比数列的必要不充分iii.bac.0 为 a、b、c 等比数列的充要且aciv.bac.注意：任意两数a、c 不一定有等比中项，除非有ac 0，则等比中项一定有两个.ncq( c, q 为非零常数 ).an正数列 an 成等比的充要条件是数列 log x an （x1 ）成等比数列 .s1a1 (n1)an数列 an 的前n 项和 Sn 与通项an 的关系：ss(n2)nn 1 注： a n（ d 可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数a1n1 dndd 不为a1d列也是等差数列）若0，则是等差数列充分条件）.第 14 页 共 81 页精品资料精品学习资料第 14 页，共 81 页d2d2d222等差 可以为零也可不为零为等差a n 前n 项和 SnnAnBnna1的充要条件若为零， 则是等差数列的充分条件；若 d 不为零， 则是等差数列的充分条件.d非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）k2倍2. 等 差 数 列 依 次 每项的 和 仍 成 等 差 数 列 ， 其公差 为 原 公差 的kSk , S3kS2k .；Sk , S2kS奇S偶a na nS奇nd，S偶若等差数列的项数为；2 n n，则N1S奇S偶nn1若等差数列的项数为1 an ，且a n ，则2n1 nNS2 n2nS奇S偶1代入 n到2n1得到所求项数.n n1213. 常用公式：1+2+3+n =2n nn1 2n6 1222322nn21 132 333n 359n1010n 注：熟悉常用通项：9，99， 999，1； 5， 55， 555，a1 .ann4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产n 1a(1r )，且过 n 年后总产量为：量成等比数列，公比为其中第n 年产量为r .1naa1(1(1r )r )2a(1r )nr)1aa(1r ).a(1.银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按na(1r )元 . 因此，第二年年初可存款：复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为12a(1r )1(1r )121110a(1r ) =.a(1r )a(1r )a(1r).1(1r )分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为 m 个月将款全部付清；为年利率r.mmx 1rr1ar11rrmmm 1m 2ma 1rx 1rx 1r.x 1rxa 1rx15. 数列常见的几种形式：qan （ p、 q 为二阶常数）用特证根方法求解.anpan21x 2x2具体步骤： 写出特征方程q（Px对应a，x 对应a），并设二根x , x若xxn2n 11212nnn可设，若x 1x2 可设c2 n) x 1 ；由初始值a1 ,a 2 确定 c1,c 2 .an.c1 x 1c2 x 2an(c 1第 15 页 共 81 页精品资料精品学习资料第 15 页，共 81 页（ P、r为常数）用转化等差，等比数列；逐项选代；消去常数nanPanr1n1转化为的形式， 再用特征根方法求a n ；（公式法）， c1,c 2anPanqananc1c 2 P21由a1 ,a 2 确定 .r转化等差，等比：anxP( a nx)a nPa nPxxx.11P1rr) P n1( a1x) P n1选代法：an( a1xanPa nrP(Pa nr )r12P1P1n 1n 2.Pa1PrPrrananPa nrr1用特征方程求解：相减，（P1）a nana nPanPananPan1 .111Pa n1rrrr1PnP1） Pn 1由选代法推导结果：， c， a（a.cacc121n2111PP1P16. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前两种方法：n 项和为Sn ，在d0 时，有最大值. 如何确定使Sn 取最大值时的n 值，有d2d22一是求使