最全面二次函数(最全的中考二次函数知识点总结(精华版).doc

YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版第一部分二次函数基础知识相关概念及定义2yax2c yaxbxbxc二次函数的概念：一般地，形如a ，b ，c a ，b ，c 是常数，a0 a0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强（b ，cb ，c 可以为零二a0 a0 ，而调：和一元二次方程类似，二次项系数次函数的定义域是全体实数2yax2c yaxbxbxc 的结构特征：二次函数xx 的二次式，xx 的最高次数是2 等号左边是函数，右边是关于自变量 a ，b ，c a ，b ，c 是常数，aa 是二次项系数，bb 是一次项系数，c 是常数项二次函数各种形式之间的变换2yax2bxc 用配方法可化成：ya xhk 的形式，其中二次函数b 2b2a4ac4ah， k.yax2yax2k ；二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：22ax2bxyc .ya xhya xhk ；二次函数解析式的表示方法2axybxc （a ， b ， c 为常数，a0 ）；一般式：2h)ya(xk （ a ， h ， k 为常数，a0 ）；顶点式：ya(xx1)( xx2) （ ax1 ， x2 是抛物线与0 ，x 轴两交点的横坐标）.两根式：注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函b2x 轴有交点，即4ac0 时，抛物线的解.数都可以写成交点式，只有抛物线与析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化2yaxbxc 图象的画法二次函数2yaxbxc五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将 二 次 函 数化 为 顶 点 式a( xh) 2yk ， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，y描 点 画 图 . 一 般 我 们 选 取 的 五 点 为 ： 顶 点 、 与左 右 对 称 地轴 的 交 点0 ，c0 ，c0，c0 ，c2h，c、与 x 轴的交点、以及关于对称轴对称的点精选精品精选学习资料第 1 页，共 9 页x1 ，0x1 ，0x2 ，0x2 ，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称，的点） .画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与交点 .x 轴的交点，与y 轴的yax2的性质二次函数a a 的符号开口方向对称轴y顶点坐标性质y 轴a0a0yy 随 xx0 x0 时，x 的增大而增0 ，00 ，0y y 随x0 x0 时，xx 的增大而大；向上y0 时，y 有最小值x0 x减小；0 0 yy 轴a0a0y y 随 x0 ，00 ，0x0 x0 时，x 的增大而减yy 随x0 x0 时，xx 的增大而小；向下y0 时，y 有最大值x0x增大；0 0 2yax2axcyc 的性质二次函数a a 的符号开口方向对称轴y顶点坐标性质y 轴a0a0yy 随 xx0 x0 时，x 的增大而增0 ，c0 ，cyy 随x0 x0 时，xx 的增大而大；向上0 时，y 有最小值c c yx0 x减小；yy 轴a0a0yy 随 x0 ，c0 ，cx0 x0 时，x 的增大而减yy 随x0 x0 时，xx 的增大而小；向下yy 有最大值x0 x0 时，c c 增大；精选精品精选学习资料第 2 页，共 9 页2的性质：yaxh二次函数a 的符号a开口方向对称轴顶点坐标性质a0a0yy 随 xxh xh 时，x 的增大而增h ，0h ，0y y 随 xxh xh 时，x 的增大而大；X=h向上yh 时，y 有最小值xh x减小；0 0 a0a0yy 随 xxh xh 时，x 的增大而减h ，0h ，0yy 随 xxh xh 时，x 的增大而小；X=h向下yh 时，y 有最大值xhx增大；0 0 2yaxhk 的性质二次函数a a 的符号开口方向对称轴顶点坐标性质a0a0yy 随 xxh xh 时，x 的增大而增h ，kh ，kyy 随 xxh xh 时，x 的增大而大；X=h向上h 时，y 有最小值yxh x减小；k k a0a0yy 随 xxh xh 时，x 的增大而减h ，kh ，kyy 随 xxh xh 时，x 的增大而小；X=h向下h 时，y 有最大值yxh x增大；k k 2yax2axbxc ybxc 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.抛物线a 的符号决定抛物线的开口方向：当a0 时，开口向上；当a0 时，开口向精选精品精选学习资料第 3 页，共 9 页下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.b2 a . 特别地，x对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作y 轴记作直线x0 .b 2b4ac（，）2a4a顶点坐标：a 相同，那么抛顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.yax2bxc 中， a,b, c 与函数图像的关系抛物线a二次项系数2yax2c yaxbxbxc 中，a 作为二次项系数，显然aa0 a0 二次函数当 a0 a0 时，抛物线开口向上，aa 越大，开口越小，反之aa 的值越小，开口越大；当 a0 a0 时，抛物线开口向下，aa 越小，开口越小，反之aa 的值越大，开口越大aaaa 决定了抛物线开口的大小和方向，aa 的正负决定开口方向，总结起来，的大小决定开口的大小b b一次项系数aa 确定的前提下，bb 决定了抛物线的对称轴在二次项系数在 a0 a0 的前提下，b 2ab 2a b2ab 2ab 2a b2a00yy 轴左侧；当 b0b0 时，即抛物线的对称轴在00y 轴；y当 b0b0 时，即抛物线的对称轴就是00yy 轴的右侧当 b0b0 时，即抛物线对称轴在在 a0a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即b2ab2a00yy 轴右侧；当 b0 b0 时，即抛物线的对称轴在精选精品精选学习资料第 4 页，共 9 页b 2ab2ab 2ab2a00yy 轴；当 b0 b0 时，即抛物线的对称轴就是00yy 轴的左侧当 b0 b0 时，即抛物线对称轴在aa 确定的前提下，bb 决定了抛物线对称轴的位置总结起来，在总结：c c常数项yy 轴的交点在yy 轴交点当 c0c0 时，抛物线与xx 轴上方，即抛物线与的纵坐标为正；yyy 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的当 c0c0 时，抛物线与0 0 ；纵坐标为yyy 轴的交点在y 轴交点当 c0c0 时，抛物线与xx 轴下方，即抛物线与的纵坐标为负总结起来，yy 轴交点的位置cc 决定了抛物线与a，b ，c a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的总之，只要求抛物线的顶点、对称轴的方法2b2b2a4ac4aax 2ybxcax，顶点是公式法：b2b2a4acb2a .（，），对称轴是直线x4a2ya xhk 的形式，配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为h ,k ) ，对称轴是直线xh .得到顶点为 (运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失用待定系数法求二次函数的解析式.2axybxc .y 的值，通常选择一般x 、已知图像上三点或三对一般式：式.2ya xhk . 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.顶点式：x1x2x轴 的 交 点 坐 标、， 通 常 选 用交 点 式 ：交点 式 ： 已 知图像 与ya xx1xx2.精选精品精选学习资料第 5 页，共 9 页直线与抛物线的交点ax 2bxyc 得交点为y 轴与抛物线(0,c ).ax2ybxcyxh轴 平 行 的 直 线与 抛 物 线有 且 只 有 一 个 交 点与h , ah 2bhc ).(yax2bxc 的图像与x 轴的交点 : 二次函数x 轴的两个交点的横抛物线与ax2坐标 x1 、 x2 ，是对应一元二次方程xbxc0 的两个实数根. 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：抛物线与 x 轴相交；0EMBED Equation.3有两个交点x轴上）x 轴0EMBED Equation.3有一个交点（顶点在抛物线与相切；抛物线与x 轴相离 .0EMBED Equation.3没有交点x轴的直线与抛物线的交点平行于可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设ax 2bxck 的两个实数根.纵坐标为 k ，则横坐标是yax2ykxn k0bxc a0l 与二次函数n的图像的图一次函数ykxax2ybxc 的解的数目来确定：方程组有两像 G 的交点，由方程组l 与 G 有两个交点 ;方程组只有一组解EMBED Equation.3组不同的解时l 与 GEMBED Equation.3EMBED时只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 .Equation.3ax2ybxc 与x 轴两交点之间的距离：若抛物线x 轴两交点为抛物线与A x1，0 ，B x2，0ax 2，由于 x1 、 x2 是方程bxc0 的两个根，故b , xcaxxx1212aEMBEDEquation.322ba4cab4ac22ABxxxxxx4x x12121212aa精选精品精选学习资料第 6 页，共 9 页二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达x 轴对称关于2yax2axbxcybxcxx关 于轴 对 称 后 ， 得 到 的解析式是2ax2axybxcybxc ；22yaxhkyaxhkxx关 于轴 对 称 后 ， 得 到 的解析式是22yaxhkyaxhk ；yy 轴对称关于2ax2axyybxcybxcy关于轴 对 称 后 ， 得 到 的解析式是2ax2axybxc ybxc ；22yaxhkyaxhkyy关 于轴 对 称 后 ， 得 到 的解析式是22ya xhk yaxhk ；关于原点对称2ax2axybxcybxc关 于原点 对称后 ，得到 的 解析式是2ax2axybxcybxc；22ya xhkyaxhk关 于 原 点 对 称 后 ， 得 到 的 解析式是22ya xhkyaxhk ；关于顶点对称2yax2axbxcybxc关 于顶点 对称后 ，得到 的 解析式是22bb2axax2ybxcybxc2 a2a ；22ya xhkyaxhk关 于顶 点 对 称 后 ， 得 到 的 解析式是22yaxhkyaxhk m，nm，n对称关于点22yaxhkyaxhkm ，nm ，n关 于 点对 称 后 ， 得 到 的解 析 式 是22yaxh2m2nkyaxh2m2nk精选精品精选学习资料第 7 页，共 9 页总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生aa变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤：22ya xhkya xhk ，确定其顶点坐将抛物线解析式转化成顶点式h ，kh，k标；2yaxy2ax的形状不变，将其顶点平移到h ，kh，k保持抛物线处，具体平移方法如下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位平移规律h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”在原有函数的基础上“概括成八个字“左加右减，上加下减”根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。三点式。33 ， 0）， B（ 23 23 ， 0 ）， C（ 0， -3 ）三21 ，已知抛物线y=ax +bx+c经过点，求抛物线的解析式。A（+4 ， 经过点 A（ 2， 3），求抛物线的解析式。2，已知抛物线顶点式。1，已知抛物线2，已知抛物线交点式。y=a(x-1)22y=x -2ax+a +b顶点为 A（2， 1），求抛物线的解析式。的顶点为（ 3， 1），求抛物线的解析式。2-2ay=4(x+a)1 ，已知抛物线与式。x轴两个交点分别为（3， 0 ） ,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析11y=2 a(x-2a)(x-b)22，已知抛物线线与x轴两个交点（4， 0），（ 1， 0）求抛物线的解精选精品精选学习资料第 8 页，共 9 页析式。定点式。1a，在直角坐标系中，不论取何值，抛物线1 x225a x12x25axy2a2y2a222经过x 轴上一定点Q，直线y(a2) x2 y(a2) x2 经过点Q,求抛物线的解析式。22，抛物线y= x+(2m-1)x-2m式。3，抛物线y=ax 2+ax-2 过直线平移式。与 x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。21， 把抛物线y= -2x向左平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到抛物线2y=a( x-h)+k, 求此抛物线解析式。x 2x 2yx3 yx3 向上平移 , 使抛物线经过点2， 抛物线C(0,2),求抛物线的解析式 .距离式。21，抛物线y=ax +4ax+1(a 0) 与 x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。22，已知抛物线y=m x +3mx-4m(m 0) 与 x 轴交于A、B 两点，与轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。对称轴式。221、抛物线y=x -2x+(m -4m+4) 与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。22、 已知抛物线y=-x +ax+4,交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点，交yC,且轴于点3 3OB-OA=4 4 OC，求此抛物线的解析式。对称式。1， 平行四边形ABCD对角线 AC在 x 轴上，且A（ -10 ， 0）， AC=16，D（ 2， 6）。AD交y 轴于 E，将三角形ABC沿 x 轴折叠，点B 到 B1 的位置，求经过析式。A,B,E 三点的抛物线的解22， 求与抛物线切点式。y=x +4x+3 关于y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。221，已知直线y=ax-a (a 0)与抛物线 y=mx有唯一公共点，求抛物线的解析式。2与抛物线 y=ax+k2， 直 线 y=x+a判别式式。的唯一公共点A（ 2， 1） , 求抛物线的解析式。的一元二次方程（m+1） x 2+2(m+1)x+2=0解析式。1、已知关于X有两个相等的实数根，求抛物线2y=-x+(m+1)x+3 2、 已知抛物线3、已知抛物线2y=(a+2)x-(a+1)x+2ay=(m+1)x +(m+2)x+1的顶点在x 轴上, 求抛物线的解析式。与 x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。2精选精品精选学习资料第 9 页，共 9 页