圆的一般方程课件--高一上学期数学人教A版必修2.pptx
复习1、圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2(r0)特征：直接看出圆心与半径(x0-a)2+(y0-b)2r2时,点M在圆C外.2、点与圆的位置关系:思 考圆的方程还有其他形式吗？互动探究问题1：直线方程有哪些形式？互动探究追问：圆的方程是否也有一般式？把圆的标准方程(x-1)2+(y+2)2=4展开，得+ +22402= =+ +- -+ +1yxyx这是一个特殊的二元二次方程，反之，我们也可以用配方的方法将这个二元二次方程变形为圆的标准方程互动探究追问：圆的方程是否也有一般式？ x2 y 2DxEyF0把圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，得- -22222202= =- -+ + +- -+ +rbabyaxyx由于a, b, r均为常数所以根据方程特点可以写成下面形式互动探究问题2：是不是任何一个形如x2 y 2DxEyF0 方程表示的曲线是圆呢？由圆的标准式方程可知：(x-a)2+(y-b)2=r2 r20，才表示一个圆 互动探究问题2：是不是任何一个形如x2 y 2DxEyF0 方程表示的曲线是圆呢？配方可得：22224()()224DEDEFxy+ +- -+ + + += = - - -= =- -+ + - - - - -+ +图形图形无实数解，不表示任何无实数解，不表示任何点点半径为半径为圆心圆心, 02,2, 0421,2,2, 042222EDFEDEDFED互动探究所以形如x2 y 2DxEyF0 （D2+E2-4F0）的方程叫圆的一般方程没有xy这样的二次项x2与y2系数相同并且不等于0；互动探究问题3：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？标准方程一般方程方程(x-a)2+(y-b)2=r2x2 y 2DxEyF0代数特征平方和特殊的二元二次方程系数r20D2+E2-4F0圆心(a，b)半径r - - -2,2EDFED42122- -+ +例题精讲【例1】 判断下列方程表示什么图形,并说明理由(1) 4x2+4y2-4x+12y+9=0(2) x2+y2+2ax-b2=0方法2：直接用公式D2+E2-4F0方法1：配方，转化为标准式方程，找圆心和半径例题精讲【例1】 判断下列方程表示什么图形,并说明理由(1) 4x2+4y2-4x+12y+9=0(2) x2+y2+2ax-b2=0简析：(1)式变形为(x-0.5)2+(y+1.5)2=0.25，表示圆心为(0.5,-1.5)，半径为0.5的圆(2)式变形为(x+a)2+y2=a2+b2，当a2+b20时，表示圆心为(-a,0)，半径为 的圆；当a2+b2=0时，表示点(0,0)22ba + +例题精讲【例2】求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.例题精讲解：设圆的方程为220,+=xyDxEyF把点 的坐标代入得方程组12(0,0),(1,1),(4,2)OMM0,20,42200,=+=+=FDEFDEF解这个方程组得8,6,0.= -=DEF故所求圆的方程为22860.+-+=xyxy因此所求圆的圆心为(4, 3),-半径长为22145.2DEF+-=互动探究(特殊情况时,可借助图象求解更简单)问题4：如何正确选择圆的方程的形式呢？若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 互动探究22222()()0)-+-=+=xaybrxyDxEyF设方程为(或列关于列关于a，b，r（或（或D，E，F）的方程组的方程组解出解出a，b，r（或（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）问题5：如何运用待定系数法求圆的方程？例题精讲【变式】已知四点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2），M3（7，-7），问这四个点是否在同一个圆上.简析：可利用前面例题里面的结论：过点O，M1 ，M2的圆的方程为x2+y2-8x+6y=0，再将点，再将点M3的坐标带入该圆的方程成立，则点M3也在这个圆上，即这四个点都在同一个圆上例题精讲【变式】已知四点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2），M3（7，-7），问这四个点是否在同一个圆上.13- -= =OMk11= =OMkM1M3是过点O、M1、M3的圆的直径，所以M1M3的中点就是圆心，即可求出过O、M1、M3的圆的方程，最后再将点M2的坐标代入验证即可。例题精讲【例3】已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.互动探究轨迹：符合一定规则的点的集合轨迹方程：这些点的坐标所满足的方程问题5：如何理解轨迹和轨迹方程呢？直线：在平面直角坐标系中，与定点连线的倾斜角为定值的点的集合圆：在平面直角坐标系中，到定点距离等于定长的点的集合例题精讲【例3】已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.yABMxo定点：B（4,3）定圆：(x+1)2+y2=4A（主动点）M（从动点）例题精讲解：解：设点设点M的坐标是（的坐标是（x,y）,点点A的坐标为（的坐标为（x0,y0）由于由于B点坐标为（点坐标为（4，3），），M为为AB的中点，的中点，所以所以23,2400+=+=yyxx整理得整理得. 32, 4200-=-=yyxx又因为点又因为点A在圆上运动，所以在圆上运动，所以A点坐标满足点坐标满足 方程，又有（方程，又有（x0+1）2+y02=4 所以（所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得整理得1)23()23(22=-+-yx所以，点所以，点的轨迹是以（的轨迹是以（ ）为圆心，为半径的圆）为圆心，为半径的圆3 32 2，yABMxo归纳总结已知定曲线C上一动点A，动点B与A存在某种关系，求动点B的轨迹方程。方法：用从动点B表示主动点A的坐标，再带入给定的曲线，整理后即为动点B的轨迹方程。课堂小结1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为 - -+ += =+ + + + +0402222FEDFEyDxyx 配方展开2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)3. 求动点轨迹方程的方法课堂小结类比：类比直线的一般式方程的获得过程，由圆的标准方程得到圆的一般方程待定系数法：用待定系数法求圆的一般方程课后作业1.求下列各圆的方程。(1)圆心为点C(8,-3)，且过点A(5,1)(2)过点A(1,5),B(5,5),C(6,-2)三点2.平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？3.已知等腰三角形ABC的一个顶点A(4,2)底边的一个端点为B(3,5)，求底边的另一个端点C的轨迹方程。谢 谢 观 看
