平面向量空间向量知识点.doc
YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版名师归纳总结学习必备欢迎下载平面向量§2.1.1 、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量 .§2.1.2 、向量的几何表示1、带有方向的线段叫做有向线段 ，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.向量 AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模 ），记作AB ；长度为零的向量叫做2、零向量 ；长度等于1 个单位的向量叫做单位向量 .3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.§2.1.3 、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 .§2.2.1 、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和 平行四边形加法法则.2、 ab ab .§2.2.2 、向量减法运算及其几何意义1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做a 的 相反向量.2、 三角形减法法则和 平行四边形减法法则.§2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做a ，它的长度1、 规定：实数向量的数乘 .记作：精品学习资料第 1 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载和方向规定如下：aa ,0 时 ,a 的方向与 a 的方向相同；当0 时,a 的方向与a 的方向相反当.：向量 a a0 与 b，使 ba .2、 平面向量共线定理共线，当且仅当有唯一一个实数§2.3.1 、平面向量基本定理e1 ,e21、 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量 a ，有且只有一对实数2 ，使 a1 e12 e21,.§2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示axiy jx, y1、.§2.3.3 、平面向量的坐标运算1、 设 ax1, y1, bx2 , y2，则： abx1x2 , y1y2， abx1x2 , y1y2，ax1,y1， a / bx1 y2x2 y1 .2、 设 A x1 , y1, B x2 , y2，则：ABx2x1 , y2y1.§2.3.4 、平面向量共线的坐标表示1、设 A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3，则x1 x2y1 y2,线段 AB 中点坐标为，22xxxyyy ABC 的重心坐标为1233,123.3§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义aba b cos1、.2、a 在 b 方向上的投影为：a cos.223、aa.精品学习资料第 2 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载24、aa.5、abab0 .§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设 ax1, y1 , bx2 , y2，则： abx1 x2y1 y222ax1y1abab0x1 x2y1 y20 a / /babx1 y2x2 y102、 设 A x1 , y1, Bx2 , y2，则：22ABx2x1y2y1.3、 两向量的夹角公式aabbx1 x22y1 y22c o sx 22yxy11224、点的平移公式P( x, y)P ( x , y ) （新坐标） ，平移向量为平移前的点为（原坐标） ，平移后的对应点为xyxyhk.PP(h, k ) ，则a(h, k) 平移后的图像的解析式为函数 yf (x) 的图像按向量ykf ( xh).§2.5.1 、平面几何中的向量方法§2.5.2 、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.1、 直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：若 A 、B 是直线 l 上的任意两点，则AB 为直线lAB 平行的任意非的一个方向向量；与精品学习资料第 3 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载零向量也是直线l 的方向向量 .平面的法向量：若向量 n 所在直线垂直于平面，记作 n，如果 n，则称这个向量垂直于平面，那么向量 n 叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法） ： 建立适当的坐标系的法向量为n( x, y, z) 设平面求出平面内两个不共线向量的坐标a(a1, a2 , a3 ), b(b1, b2 ,b3 ) nnab00根据法向量定义建立方程组.解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 .（如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行设直线 l1 , l2 的方向向量分别是a 、b ，则要证明 l1 l 2 ，只需证明 a b ，即akb(kR) .即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 线面平行（法一）设直线的方向向量是a ，平面l的法向量是u ，则要证明lau ，只需证明a u0 .即即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可 面面平行.的法向量为u ，平面的法向量为 v ，要证u v ，即证uv .若平面，只需证即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、 用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直l1 , l 2 的方向向量分别是a 、b ，则要证明l1设直线l 2 ，只需证明ab ，即 a b0 .即：两直线垂直 线面垂直两直线的方向向量垂直。（法一）设直线的方向向量是a ，平面l的法向量是u ，则要证明la u ，只需证明精品学习资料第 4 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载au .即内的两个相交向量分别为m 、n ，若的方向向量是a ，平面（法二）设直线laman00,则 l.即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。 面面垂直的法向量为u ，平面的法向量为v ，要证，只需证 uv ，即证 uv0 .若平面即：两平面垂直4、 利用向量求空间角 求异面直线所成的角两平面的法向量垂直。已知 a, b 为两异面直线，A ， C 与 B ，D 分别是 a, b 上的任意两点，a, b 所成的角为，AC BDAC BD则 cos. 求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角的方向向量为a ，平面的法向量为 u ，直线与平面所成的角为， a 与求法：设直线lu 的夹角为，则为的余角或的补角的余角 .即有：aauusincos. 求二面角定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面l二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线 AOl , BOl ，则AOB 为二面角l的平面角.如图：ABOOllBA的两个半平面的法向量分别为m 、n ，再设 m 、n 的夹角为求法： 设二面角，精品学习资料第 5 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载为 m 、n 的夹角二面角l的平面角为，则二面角或其补角.根据具体图形确定是锐角或是钝角：mmnn如果是锐角，则coscos，mmnnarccos即；mmnnmncoscos如果是钝角，则arccos，即.m n5、 利用法向量求空间距离l 点若Q 到直线距离l外的一点 , P 在直线上， a 为直线ll 的方向向量，= PQ ，则点lQ 为直线bQ 到直线距1| a |2(| a |b |)2(a b )离为h点A 到平面的距离外一点，点若点P 为平面M 为平面内任一点，n ，则 P 到平面的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值平面的法向量为.n MPnMP即 dMPcos n, MPMPn MPn直线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。n MPn即 d.两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。n MP即.dn异面直线间的距离d 就是设向量 n 与两异面直线a, b 都垂直， Ma, Pb, 则两异面直线a, b 间的距离MP在向量 n 方向上投影的绝对值。精品学习资料第 6 页，共 7 页名师归纳总结学习必备欢迎下载n MPn即 d.6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：和这条斜线垂直在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也PPOPAa,OA推理模式：aPAO, aOAAa概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：和这条斜线的射影垂直在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也POPAa,OA推理模式：aAO, aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、 三余弦定理设 AC 是平面垂足为 D.设 AB 与内的任一条直线，(AD) 所成的角为AD 是的一条斜线AB 在内的射影， 且 BD AD ，1 ，与AC 所成的角为2 ， AB 与 AC 所成的角AD为则coscos1 cos.B212ADC8、 面积射影定理已知平面与平面内一个多边形的面积为S S原，它在平面，则内的射影图形的面积为SS射，平面所成的二面角的大小为锐二面角'SSS射c o s=.S原9、一个结论ll1、 l2、 l3 ，夹角分别为长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为22222221、2、ll12l2l3coscoscos1,则有s i n 21233222si ns i n3.1（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.精品学习资料第 7 页，共 7 页
