八年级数学相似三角形的判定教学设计.doc

YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版八年级数学相似三角形的判定(精品教学设计)一、知识要点： 相似三角形（similar triangles）：在和中，如果我们就说与相似，记作。k就是它们的相似比。相似三角形的判定方法： 1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似。 2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。二、例题解析： 例1.判断对错： （1）两个直角三角形一定相似吗？为什么？ （2）两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ （3）两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？ （4）两个等边三角形一定相似吗？为什么？ （5）两个全等三角形一定相似吗？为什么？提示说明：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例。要说明不相似，则只要否定其中的一个条件。解：（1）不一定相似。反例 直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等。所以直角三角形不一定相似。（2）不一定相似。反例 等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定。因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似。（3）一定相似。 在直角三角形ABC与直角三角形ABC中 设AB=a， AB=b，则 BC=a，BC=b，AC=a，AC=bABCABC(4)一定相似。 因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似。（5）一定相似。 全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1。变形：两个相似比为1的相似三角形全等吗？ 分析：全等。因为这两个三角形相似，所以对应角相等。又相似比为1，所以对应边相等。因此这两个三角形全等。小结：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似。 （1）两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似。 （2）两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似。 （3）两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等。例2.已知：ABC和DEF中，A=40°，B=80°，E=80°，F=60°，求证：ABCDEF。证明：在ABC中，A=40°，B=80°C=180°- 40°- 80°=60°在DEF中，E=80°，F=60°B=E，C=F ABCDEF（两角对应相等，两三角形相似）。例3如图在正ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE则有（ ）AAEDBED BAEDCBD CAEDABD DBADBCD评析：因为ABC是正三角形，所以三边相等三个角相等又，则，E为AB中点，所以，故AEDCBD应选B选项A没有公共角或等角；选项C虽有公共角但夹角两边不成比例，而选项D显然也不正确例4已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点,且BP=3PC，Q是CD的中点 求证：ADQQCP 分析：因ADQ与QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定具体证明过程如下：证明：在正方形ABCD中，Q是CD的中点，=2=3，=4 又BC=2DQ，=2 在ADQ和QCP中，=，C=D=90°，ADQQCP例5已知：如图，AD是ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点 求证：DFEABC 分析：EF为ABC的中位线，EFBC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DEAB，DFAC因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似证明：在RtABD中，DE为斜边AB上的中线，DEAB，即同理EF为ABC的中位线，EFBC，即DFEABC点评：（1）本题证明方法较多，可先证EDFEDAADFEADFADBAC，再证夹这个角的两边成比例，即，也可证明FEDEDBB，同理EFDFDCC，都可以证出DEFABC例6如图，在大小为4×4的正方形方格中，ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个A1B1C1，使A1B1C1ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上 图 1评析：由原图中可知ABC中，CB=2，AB=，ABC=135°以135°角为突破口，所以要画出的三角形与之相似，必使A1B1C1=135°，=，单位1的正方形对角线为，所以以一格为一边，一对角线为一边画出A1B1C1，如原图所示另外还有二种方法如图2、3所示例7已知：如图D、E是ABC的边AB、AC上的点，A=35°，C=85°，AED=60°. 求证：AD·AB=AE·AC.分析：证明等积式，首先要转化为比例式：，然后证明含有线段的两个三角形相似所以该题的关键证明ADEACB，因为A=35°，C=85°，由三角形内角和是180°，得B=60°，则A=A，AED=B，三角形相似得证。(或A=35°，AED=60°，所以ADE=85°，由A=A，ADE=C，相似三角形得证）.由相似得比例式，然后写成等积式证明：在ABC中，A=35°，C=85°，B=60°.AED=60°，AED=B，又有A=A，AEDABC，.AD·AB=AE·AC.三、课后练习： 1.下列判断正确的是（ ） A.两个直角三角形相似 B.两个相似三角形一定全等 C.凡等边三角形都相似 D.所有等腰三角形都相似2.下列各对三角形中一定不相似的是（ ）A.ABC中，A=54°，B=78° ABC中，C=48°，B=78°B.ABC中，C=90°，AC=4cm，BC=3cm ABC中，C=90°，AC=12cm，BC=15cmC.ABC中，B=90°，AB=5，AC=13 ABC中，B=90°，AB=2.5a，BC=6aD.ABC中，C=90°，A=45°，AB=5 ABC中，C=90°，A=45°，AB=53.如图，ABCD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AO长为（ ）A.10 B.12.5C.15 D.17.5