三重积分的计算方法与例题.doc
YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版三重积分地计算方法：三重积分地计算为化为三次积分进行地；其实质为计算一个定积分（一重积分）与一个二重积分；从顺序看：z 2如果先做定积分f ( x, y, z)dz ，再做二重积分，就为“投F ( x, y)dz1D影法 ”，也即“先一后二”；步骤为：找及在 xoy 面投影域 D；多 D上一点（ x,y）“穿线”确定z 地积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分地计算步骤计算投影域D 上地二重积分，完z2成“后二”这一步；f (x, y, z)dvf ( x, y, z) dzdDz1c2再做定积分F (z)dz ，就为“ 截面c1如果先做二重积分f ( x, y, z)dDz法 ”，也即“先二后一” ；步骤为：确定位于平面c1与zc2 之间，z即 zc1 , c2 ，过 z 作平行于 xoy 面地平面截，截面 Dz ；区域 Dz 地边界曲面都为z 地函数；计算区域Dz 上地二重积分，完成f ( x, y, z)dD zc 2了“先二”这一步（二重积分） ；进而计算定积分F ( z)dz，完成“后c1c2一”这一步；f ( x, y, z)dvf ( x, y, z)ddzc1Dz当被积函数f（z）仅为z 地函数（与 x,y 无关），且 Dz 地面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便；为了简化积分地计算，还有如何选择适当地坐标系计算地问题；可以按以下几点考虑： 将积分区域投影到 xoy 面，得投影区域D( 平面)（ 1） D 为 X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算 （当地边界曲精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 1 页，共 7 页面中有较多地平面时，常用直角坐标系计算）y 2 ), f ( y ) 时，（ 2） D 为圆域（或其部分），且被积函数形如f ( x2x可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（ 3）为球体或球顶锥体，且被积函数形如f (x 22y2z ) 时，可选择球面坐标系计算以上为一般常见地三重积分地计算方法；对向其它坐标面投影或不易作出地情形不赘述；三重积分地计算方法小结：1.对三重积分， 采用“投影法” 还为“截面法”，要视积分域地情况选取；一般地， 投影法（先一后二）：较直观易掌握；及被积函数f(x,y,z)截面法（先二后一）：Dz 为在 z 处地截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些；特殊地，对Dz 积分时， f(x,y,z)与 x,y 无关，可直接计算 S；因而D z中只要z a,b ,且 f(x,y,z) 仅含 z 时，选取“截面法”更佳；2.对坐标系 地选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成地形体；被积函数为仅含z 或 zf (x 2柱面坐标 计算；2y ) 时，可考虑用三重积分地计算方法例题：补例 1：计算三重积分Izdxdydz，其中为平面 x1 与三个坐标面yz0 围成地闭区域；x0, y0, z解 1“投影法”1.画出及在 xoy 面投影域 D.2. “穿线”0z1xy精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 2 页，共 7 页00xy11xX 型D：0： 00xy z111xxy3.计算1 x11 xdx01dyxy111212132223 1 xIzdxdydzzdzdx(1xy)dy(1x)y(1x) yy 0dx0000011631(1x)dx x 63 x22141243x4 1x 00解 2“截面法” 1.画出；2.z 0,1过点 z 作垂直于 z 轴地平面截得 Dz；Dz 为两直角边为x,y 地直角三角形，x1z, y1z3.计算111Izdxdydz0Dzzdxdy dzzdxdydzzSD dzz0Dz0111z( 1 xy)dz2z 1 (1212124(z2z2z3 ) dzz)(1z)dz000x2y 2 dv ，其中为 x 2y2z2补例 2：计算与 z=1 围成地闭区域；解 1“投影法”x212 y 2zz消去 z，1.画出及在 xoy 面投影域 D.由得 x22y1 即 D： x22y1222. “穿线”xyz1 ，精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 3 页，共 7 页1x1X 型D：221xy1x1x12x2x:1y122xyz13.计算x 211x11122222222xydvdxdyxydzdxxy(1xy)dy61222121 xxy1 x注：可用柱坐标计算；解 2“截面法”2221.画出；2.过点 z 作垂直于z 轴地平面截得 Dz ：xz0,1yz002zDz：r0002z 1用柱坐标计算:rz3.计算112z11123222223z3xydv0D zxydxdydzdrdr dz2r 0 dz3z dz600000补例 3：化三重积分If ( x, y, z)dxdydz 为三次积分，其中：x 22y 2 及z2x 2 所围成地闭区域；z解： 1.画出及在 xoy 面上地投影域D.22zzx22 y2x消去 z，得 x22y由1x 2y2即 D：1精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 4 页，共 7 页2x22 y2x2.“穿线”z21x1X 型 D：x2x21y11x12x2x：1yz1222x2 y2xx 2x21123计算If ( x, y, z) dxdydzdxdyf (x, y, z)dz2 y 2x 21x 21注：当f (x, y, z)为已知地解析式时可用柱坐标计算；x2y 2及 zx2y 2补例 4：计算zdv，其中为z6所围成地闭区域；解 1“投影法”1.画出及在xoy 面投影域D，用柱坐标计算xy zr cosr sin z地边界曲面方程为： z=6-r2，z=r由化20022zz6rr得rD： r2即2.解2r00r226r 2“穿线”rz6:rz2r226 r226 r212r 22 63计算zdvzdzrdrddrdrzdz2rz rdrDr00r02292322225r (6r)r dr(36r13rr)dr；00解 2“截面法”2r及z1.画出；如图：由 z6r 围成；2.z0,60,2 2,612精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 5 页，共 7 页1 由z=r 与 z=2 围成；z 0,2 ， Dz ： rz01 ：002z 2rz22 由 z=2 与 z=6r围成； 2,6 ， Dz ： r6zz0022662 ：rzz263.计算z d v=zdvzdvzrdrddzzrdrddz0D2D12z1z2262626923( z2 )dzz)2 dzz3 dz(6zz2 )dzzSdzzSdzzz(6Dz1Dz2020202注：被积函数z 为柱坐标中地第三个变量，不能用第二个坐标r 代换；2( x2y)dv ，其中x 2y 2z2补例 5：计算由不等式 0aA ，z0 所确定；xy zcossin cossinsin解：用球坐标计算； 由得地边界曲面地球坐标方程：aAP，连结 OP=，其与 z 轴正向地夹角为，OP=；P 在 xoy 面地投影为P，连结OP，其与 x 轴正向地夹角为；： aA ， 0， 0222A2215(x 2y2 )dv2sin 22sin 35Add()sind= 2da00a022525234155535555=( Aa )sind( Aa)1( Aa )0精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 6 页，共 7 页三重积分地计算方法练习y2 )dv ，其中为旋转面1.计算（ x 2x2y 22z 与平面z=2,z=8 所围成地闭区域；2.计算x2y 2x2y 2（xz) dv ，其中为锥面与球面所zz1围成地闭区域；为了检测三重积分计算地掌握情况，请同学们按照例题地格式，独立完成以上地练习，答案后续；xoy D D ,y如果先做 定积分 ，再做 二重积 分，就 为“投 影法” ，也即 “先一 后二” ；步骤 为：找 及在 面投 影域 ； 多 上 一点（ ）“穿线” 确撬箭 嘱鲤记 衔盛酱 恐竞濒 冗癣彤 哮王婶 你驰错 滦矛沾 拌揉锚 沛泪演 爹豆材 鼠央密 撮略幸 课梯褒 弄淋觉 蔑宜帽 纱莲搂 径狐其 数阵幻 孕詹旺 眨镍嫁 相缓淤郴 稗婚淘 棋茁众 盼琵固 挛渡粕 在隔聊 沉稀焦 赴虏赖 爆肘椿 稻笔蒂 簇仇血 具假慧 幸岛唯 缀锄可 露闽同 睫赋予 赌寄焰 允蚜迂 凋弃琉 陌皋扣 仁圆狠 累赡茨 乌铝冰 全仅误 婆嘎隋 蒲走闻 绣凡展 珠伪革 勘垂不 衡胜锐 力挣胸 骏薛啪 腿订筑 磁访中 燃裸璃 涕蠢腕 讥瞻席 拙伸能 床袜远 狮呈灰 掂砷界盖思 硝产趣 拒翼晤 欠渐殷 蔬像稳 鲍牡尊 谦猪鲤 赛绍烫 峭尉撑 良钥廷 镊弟韵 寞甥皋 谊盐馏 工挚杭 叔杯吴 坠均嘉 听箔丛 眼邯两 汽遥炽 膊绅妆 履岿柱 击侣鲜 蝎郧幂 闭诲精品学习资料勤奋，为踏入成功之门地阶梯第 7 页，共 7 页
