高中不等式所有知识及典型例题超全).doc

YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版名师归纳总结一 不等式的性质 ：二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3分析法； 4平方法； 5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法本的方法。 三重要不等式；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基22aba 2b 21. （ 1）若a,bR ，则2 ab(2)若 a, bR ，则（当且仅当 ab 时取“ =”）ab2b2ab*R ，则*R2. (1)若 a, b(2)若 a, b，则 aab （当且仅当b时取“ =”）aab22ab若 a, bR* ，则(3)(当且仅当 ab时取“ =”）ab21x3. 若 x0 ，则2 ( 当且仅当1 时取“ =”）;xx1x若 x0 ，则( 当且仅当 x1 时取“ =”）x21x1x1x若 x0，则(当且仅当b 时取“ =”）a2即 x2或 xx-2abba若 ab0 ，则(当且仅当ab 时取“ =”）2abba2即 abbaabba若 ab0 ，则2或-2(当且仅当 ab 时取“ =”）22a(b 2)ab4. 若 a,bR ，则（当且仅当 ab 时取“ =”）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用a+b+c3333+35.a +b +c 3abc（a,b,cR ）,abc （当且仅当a=b=c 时取等号）；16.n (a 1+a2+an ) R ,i=1,2,， n) ，当且仅当a1 =a2=an 取等号；na1 a2a n(a ia+b2a+b+c32222+3+变式： a +b +c ab+bc+ca; ab ()(a,bR ) ; abc()(a,b,cR )222aba+ba+b2a +b2aab b.(0<a b)bnan <ba <b+ma+m7. 浓度不等式：,a>b>n>0,m>0;精品学习资料第 1 页，共 10 页名师归纳总结应用一：求最值11x2例 1：求下列函数的值域（1）y3x 2（ 2） yx2x解题技巧：5x，求函数14x技巧一：凑项例 1：已知的最大值。y4 x245评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1.当时，求x(82 x) 的最大值。yx27 x10技巧三：分离例 3.求1) 的值域。y( xx1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。4t当, 即 t=时,y2t59 （当 t=2 即 x 1 时取“”号）。ax技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x)的单x2x5调性。 例：求函数的值域。y2x412t1(t t2x5x2解：令x24t(t2) ，则42)y2x4x41t1 解得 t因 t1 ，但 t1 在区间t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。0, tt1,5 。2因为单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故yty5 ,2所以，所求函数的值域为。x2 ，求函数 y32已知 0x1，求函数 yx(1x) 的最大值 . ；3 0x(23x) 的最大值 .条件求最值ab2 ，则 3b3 的最小值是1. 若实数满足 a.a3b3分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值，ab3 和3都是正数，a3b3 2ab33a3b解：26当 3 a3bb2 及 3 a3b 得 ab1时， 3a3 b 的最小值是6时等号成立，由ab1即当 a1x1y的最小值 . 并求 x, y 的值变式：若log 4 y2 ，求log 4 x技巧六： 整体代换： 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。精品学习资料第 2 页，共 10 页名师归纳总结1x9y2：已知 x0 ，且0, y1 ，求y 的最小值。x2x 2y2技巧七 、已知 x，y 为正实数，且x1 y的最大值 .1，求222a b2ab分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式。21y212222同 时 还 应 化 简1yyx1 y x中前 面 的 系 数 为，2·2212yx· 22y12x，下面将 2分别看成两个因式：22122yy1222x()x 2y222212342xx1 y·x· 2即2212y34 221yab技巧八：已知a，b 为正实数， 2baba30，求函数的最小值 .分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，放缩后，再通过解不等式的途径进行。又有积的形式， 不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式2302bb130 2bb 12 b 30bb1法一： aab·b由 a0 得， 0b15，22t 34t 31t16t16t16t · t令 t b+1，1 t 16，ab 2（t ） 34t 28118ab 18 y当且仅当t4，即 b 3， a 6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba 2ba2b 22 ab30 ab22 ab2令 uab则 u 22 u30 0， 52 u32118ab32 ，ab18， yabab（ a,bR ）的应用、 不等式的解法及运算能力；点评： 本题考查不等式如何由已知2精品学习资料第 3 页，共 10 页名师归纳总结30（ a, bR ）出发求得 ab 的范围， 关键是寻找到ab与 ab 之间的关系， 由此想不等式 aba2babab（ a,bR ），这样将已知条件转换为含到不等式ab 的不等式，进而解得ab的范围 .2变式： 1. 已知 a>0， b>0，ab( ab) 1，求 ab 的最小值。2. 若直角三角形周长为技巧九、取平方1，求它的面积最大值。5、已知 x，y 为正实数， 3x2y 10，求函数W3x2y的最值 .22a b2a b2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单223x2y3x2y3x2y 22（） （）25解法二：条件与结论均为和的形式，向“和为定值”条件靠拢。设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再W 0，W23x 2y 220223x2y3x2y10 (3x )·(2y )10 (3 x 2y)·102·W20 25应用二：利用基本不等式证明不等式1已知 a, b, c 为两两不相等的实数，求证：2a2b2cabbcca1）正数 a，b，c 满足 abc 1，求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc1a1b1ca、 b、 c例 6：已知R，且 abc1 。求证：1118分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“，可由此变形入手。2”连乘，又1a1abc2bca1aa1b2acb1a1abc2bca， 1c2abca、b、c解：R， abc1。同理。111aa上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得c1 时取等号。31a1b1c2bc2ac2ab8 。当且仅当ab111abc应用三：基本不等式与恒成立问题0 且 1x9y例：已知x0, y1 ，求使不等式xym恒成立的实数m 的取值范围。1x9yxy9 x9 y10kykx9xky解：令xyk, x0, y0,1 ，1.1kxky10k3k， m,1612。k16应用四：均值定理在比较大小中的应用：精品学习资料第 4 页，共 10 页名师归纳总结1lg alg b,Q(lg a 2alg b), Rlg(b ) ，则 P, Q, R 的大小关系是例：若.ab1, P21 （ lg a2分析：ab1 lg a0,lg b0 Qlg b)lg a lg bpab12R>QRlg()lgablg abQ2四不等式的解法.1. 一元一次不等式的解法。2. 一元二次不等式的解法3. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是： （ 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正依次通过每一点画曲线；并注意 出不等式的解集。如；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方奇穿过偶弹回 ；（3）根据曲线显现f ( x) 的符号变化规律，写2) 2（1）解不等式0 。( x1)(x（答： x | x1或 x2 ）；x2（2）不等式 ( x2)2x30 的解集是 （答： x | x3 或 x1）；（3）设函数 f ( x) 、 g( x) 的定义域都是R，且 f ( x)0 的解集为 x |12 ， g ( x)0 的解集x为，则不等式f ( x) g( x)0 的解集为 （答：(,1)2,) ）；22x（4） 要使满足关于x 的不等式9 xa0 （解集非空）的每一个x 的值至少满足不等式2230和x80 中的一个，则实数a 的取值范围是 .x4 x6 x（答： 7, 81) ）80，再通分并将分子分母分4分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为解因式， 并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如5x2 x（1）解不等式12x3（答：(1,1)(2,3)）；axxb2（ 2） 关于 x 的不等式axb0 的解集为(1,)，则关于x 的不等式0 的解集为（答：(,1)(2,) ）.5. 指数和对数不等式。6绝对值不等式的解法：（1）含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集（2）|ax+b| c(c 0) 和|ax+b| c(c 0) 型不等式的解法|ax+b| c-c ax+bc;ax+b c 或 ax+b -c.| ax+b|c（3）|x-a|+|x-b|c(c 0) 和|x-a|+|x-b|c(c 0) 型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。精品学习资料第 5 页，共 10 页名师归纳总结方法四：两边平方。1(2). -3<<2x2(1). x例 1：解下列不等式：2 xx【解析】：（1）解法一（公式法 ）原不等式等价于x2-2x>x 或 x2-2x<-x解得 x>3 或 x<0 或 0<x<1原不等式的解集为x x<0 或 0<x<1 或 x>3解法 2（数形结合法）作出示意图，易观察原不等式的解集为xx<0 或 0<x<1 或 x>3第（ 1）题图第（ 2）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数131 或x<-2图象，则解集为, 结果一目了然。x | x1x例 2：解不等式：| x |1x 的【解析】作出函数f(x)=|x|和函数 g(x)=图象，易知解集为（，0） 1，）32解不等式 . | x1| x1|例 3：。【解法 1】令2( x2x(11)xg( x)| x1| x1|1)2( x1)32 ，分别作出函数h( x)令g(x) 和 h(x)的图象， 知原不等式的解集为3,4)32| x1| x1|【解法 2】原不等式等价于32g( x)| x1|,h(x)| x1|令37(,)44分别作出函数g(x) 和 h(x)的图象，易求出g（x）和h（x）的图象的交点坐标为精品学习资料第 6 页，共 10 页名师归纳总结3,432 的解集为)| x1| x1|所以不等式32 的几何意义可设 1（，），（，），（ x，y），| x1| x1|【解法 3】由32 ，可知的轨迹是以1、 2 为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（MF1MF2若，），由双曲线的图象和x+1 x-1 知 x.7含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集” 。注意 ：按参数讨论，最后应按参数取值分别如.23a2 ）； 3（1）若 log1 ，则a 的取值范围是 （答：a1 或 0a2axax（2）解不等式x(aR)10 时， x | x1 或 x； a0 时， x | 1（答： a0 时， x | x0 ； a0 或 x0 ）0xaa提醒：（ 1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（ 2） 不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不等式 axb0的解x2axb集为(,1) ，则不等式0 的解集为 （答：（ 1,2 ）五 绝对值三角不等式定理 1： 如果 a,b 是实数，则 |a+b| |a|+|b|,当且仅当ab 0 时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a ， b 不共线时， | a +b | | a |+|b |，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（ 2）不等式 |a|-|b|a ± b| |a|+|b|中“ =”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0 且|a| |b|;不等式 |a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“ =”成立的条件是ab 0，左侧“ =”成立的条件是ab0 且|a| |b| 。定理 2：如果a,b,c是实数，那么 |a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)时，等号成立。例 1. 已知0 ，xa， yb，求证2x3 y2a3b5.例 2.(1)求函数 yx3x1 的最大和最小值；ax2(2) 设 aR，函数a(11) .fxxx若 a1 ，求fx的最大值精品学习资料第 7 页，共 10 页名师归纳总结例 3. 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第 20km处. 现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次 . 要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？六柯西不等式0 或 bi等号当且仅当a1a2ankaii1,2n ）时成立（ k 为常数，类型一：利用柯西不等式求最值1求函数的最大值一： 且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为二： 且，函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为. 当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解类型二：利用柯西不等式证明不等式2设、为正数且各不相等，求证：又、各不相等，故等号不能成立。类型三：柯西不等式在几何上的应用6 ABC的三边长为a、 b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理于是左边 =，精品学习资料第 8 页，共 10 页名师归纳总结。七证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法( 比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1 的大小，然后作出结论。).1n11n(n1n22c ac2 a 21n(n2ab11n；常用的放缩技巧有：n11)1)2bcn12a b2b cb 2 c 22ca如（ 1）已知 abc ，求证：a 2b 2(2)已知 a,b, cR，求证：abc( axc) ；b1a1, xy（ 3）已知 a,b, x, yR；，且y ，求证：bxbalg byc2b(4) 若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：lg alg cc) ；alg alg blg c；2222c a2na2 b2b 2c2（ 5）已知 a,b, cR，求证：abc(ab*N2(6) 若 n，求证：(n1)1| b | b |(n| a | a1)1n ；| a | a| b | ；b |(7)已知 | a | b | ，求证：111（ 8）求证： 1八不等式的恒成立2 。22223n, 能成立 , 恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1). 恒成立问题若不等式若不等式ffxxA 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间B 在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间D 上D 上ffxxABminmax2x2( y1)如（ 1）设实数x, y 满足1，当 xc0 时， c 的取值范围是 y（答：a 对一切实数 x 恒成立，求实数a 的取值范围 ）；21,（ 2）不等式x4x3（答： a1 ）；2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围 m( x2（ 3）若不等式2 x11) 对满足 m712312（答：（,）；1) nn1(n(1)a（ 4）若不等式对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 232,) ）；2（答： 2x（ 5）若不等式0 对 0x1的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围 .2mx2 m11(0,)22log a x, 对xx若不等式恒成立，则实数a 的取值范围是此题直接求解无从着手，结合函数12x 及 y= log a x在（ 0,）上的图象2易知， a 只需满足条件：y精品学习资料第 9 页，共 10 页名师归纳总结12141,1)16即可log aa0 a 1，且从而解得2).能成立问题若在区间 D 上存在实数 x 使不等式若在区间 D 上存在实数 x 使不等式ffxxA 成立 , 则等价于在区间B 成立 , 则等价于在区间D 上fxA ；maxD 上的fxB . 如min已知不等式x4x3a 在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围 （答： a1 ）3).恰成立问题若不等式若不等式ffxxA 在区间B 在区间D 上恰成立 ,D 上恰成立 ,则等价于不等式则等价于不等式ffxxA 的解集为 D ；B 的解集为 D .2-2x-2ax+62 恰有一解，求实数例：若不等变a 的值引导分析：此题若解不等式组，就特别麻烦了。结合二次函数的图形就会容易得多。图解：由图九线象易性规划知： a=2 或者a=-2精品学习资料第 10 页，共 10 页