人教版初二数学知识点归纳.doc

YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版初二数学（上）应知应会的知识点因式分解1.因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解； 注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+；aa-b=-(b-a)4因式分解的公式：；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.(1) 平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b ）；(2) 完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2,5因式分解的注意事项：a2-2ab+b2=(a-b)2.（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式. 6因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全 变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取 分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7完全平方式：能化为（m+n）2 的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式分式”.1分式：一般地，用 A、B表示两个整式，A÷B 就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子 叫做分式. 2有理式：整式与分式统称有理式；即.3对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零， 而分母也为零，则分式无意义.4分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值 不变；即（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分精品资料精品学习资料第 1 页，共 9 页式约分前经常需要先因式分解.6最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分 式计算的最后结果要求化为最简分式.7分式的乘除法法则：.8分式的乘方：.9负整指数计算法则：（1）公式： a0=1(a0),a-n= (a0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；（3）公式：，；（4）公式： （-1）-2=1， （-1 ）-3=-1. 10分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.12同分母与异分母的分式加减法法则： .13含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a0) 中,x 是未知数,a 和 b 是用 字母表示的已知数，对 x 来说，字母 a是 x 的系数，叫做字母系数，字母 b 是常数项， 我们称它为含有字母系数的一元一次方程. 注意：在字母方程中, 一般用 a、b、c 等表 示已知数，用 x、y、z 等表示未知数.14公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公 式变形的本质就是解含有字母系数的方程. 特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母 的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0.15分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里 不含未知数的方程是整式方程.16分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知 数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程 的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每 个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原 方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需 要增加“验增根”的程序.数的开方1平方根的定义：若 x2=a,那么 x 叫 a 的平方根，（即 a 的平方根是x）；注意：（1）a 叫 x 的平方数，（2）已知 x 求 a 叫乘方，已知 a 求 x 叫开方，乘方与开方互为逆运算. 2平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；精品资料精品学习资料第 2 页，共 9 页（2）0 的平方根还是 0；（3）负数没有平方根.3平方根的表示方法：a 的平方根表示为和. 注意：可以看作是一个数，也可以认为 是一个数开二次方的运算.4算术平方根：正数a 的正的平方根叫 a 的算术平方根，表示为. 注意：0 的算术平 方根还是 0.5三个重要非负数： a20 ,|a|0 ，0 . 注意：非负数之和为0，说明它们都是0.6两个重要公式：（1） ; (a（2） .0)7立方根的定义：若 x3=a,那么 x 叫 a 的立方根，（即 a 的立方根是x）. 注意：（1）a叫 x 的立方数；（2）a 的立方根表示为；即把a 开三次方. 8立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0 的立方根还是 0；（3）负数的立方根是一个负数. 9立方根的特性：.10无理数：无限不循环小数叫做无理数. 注意：11实数：有理数和无理数统称实数.12实数的分类：（1）（2） .13数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.和开方开不尽的数是无理数.14无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示. 注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：三角形.几何 A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线. （如图）几何表达式举例：(1) AD平分BACBAD= CAD(2) BAD= CADAD是角平分线 几何表达式举例：(1)AD是三角形的中线 BD = CD(2) BD = CD2三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边 的中点的线段叫做三角形的中线 . （如 图）精品资料精品学习资料第 3 页，共 9 页AD是三角形的中线3三角形的高线定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂 线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的 高线.（如图）几何表达式举例：(1)AD是ABC的高ADB=9°0(2)ADB=9°0AD是ABC的高4三角形的三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，三角形 的两边之差小于第三边. （如图）几何表达式举例：(1) AB+BC AC(2) AB-BCAC5等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角 形.（如图）几何表达式举例：(1)ABC是等腰三角形 AB = AC(2)AB = ACABC是等腰三角形 几何表达式举例：(1) ABC是等边三角形AB=BC=AC(2)AB=BC=ACABC是等边三角形 几何表达式举例：6等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角 形.（如图）7三角形的内角和定理及推论：（1）三角形的内角和 180°；（如图）（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图）(1)A+B+C=180°（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2)C=90°（如图）（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内 角.A+B=90°(3)(4)ACD= A+BACDA（1）（2）（3）（4）8直角三角形的定义：几何表达式举例：精品资料精品学习资料第 4 页，共 9 页有一个角是直角的三角形叫直角三角形. （如图）(1)C=90°ABC是直角三角形(2)ABC是直角三角形C=90°9等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等 腰直角三角形. （如图）几何表达式举例：(1)C=90°CA=CBABC是等腰直角三角形(2)ABC是等腰直角三角形C=90°CA=CB10全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；（如图）（2）全等三角形的对应角相等. （如图）几何表达式举例：(1)ABCEFG AB = EF(2)ABCEFGA=E11全等三角形的判定：“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.几何表达式举例：(1) AB = EF B=F 又 BC = FGABCEFG (2)(3) 在 RtABC和 RtEFG中 AB=EF又 AC = EGRtABCRtEFG（如图）（1）（2）（3）12角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边 距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上. （如图）几何表达式举例：(1) OC平分AOB又CDOACEOB CD = CE(2)CDOACEOB又CD = CE精品资料精品学习资料第 5 页，共 9 页OC是角平分线13线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段且平分这条线段的 直线，叫做这条线段的垂直平分线.（如图）几何表达式举例：(1)EF垂直平分 ABEFABOA=OB(2)EFABOA=OBEF是 AB的垂直平分线14线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条 线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上. （如图）几何表达式举例：(1)线MN是线段 AB的垂直平分 PA = PB(2)PA = PB点 P在线段 AB的垂直平分线上15等腰三角形的性质定理及推论：（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如图）（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高” 三线合一；（如图）（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°. （如图）几何表达式举例：(1)AB = ACB=C(2)AB = AC又BAD= CADBD = CD ADBC（1）（2）（3）(3)ABC是等边三角形A=B=C =60°16等腰三角形的判定定理及推论：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边 也相等；（即等角对等边）（如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图）（3）有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于 30°，那么它所对 的直角边是斜边的一半. （如图）（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：(1)B=C AB = AC(2)A=B=CABC是等边三角形(3)A=60°又AB = ACABC是等边三角形(4)C=90°B=30°精品资料精品学习资料第 6 页，共 9 页AC =AB17关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形 是全等形；（如图）（2）如果两个图形关于某条直线对 称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. （如图）几何表达式举例：(1)ABC、EGF关于MN轴对称ABCEGF(2)ABC、EGF关于MN轴对称OA=OEMNAE几何表达式举例：18勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边a、b(1)ABC是直角三角形的平方和等于斜边c 的平方，即a2+b2=c2；（如图）（2）如果三角形的三边长有下面关 系: a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角三角形. （如图） 19Rt斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线 是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这 边的一半，那么这个三角形是直角三角形. （如图）a2+b2=c2(2)a2+b2=c2ABC是直角三角形几何表达式举例：ABC是直角三角形D是 AB的中点CD = AB(2)CD=AD=BDABC是直角三角形几何 B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线 的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1三角形中，第三边长的判断：另两边之差第三边另两边之和.2三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外. 注意：三 角形的角平分线、中线、高线都是线段.3如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若 CDAB，BECA，则 CD·AB=B·ECA.4三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和.5直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.精品资料精品学习资料第 7 页，共 9 页6分别含 30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：（1） AC·CB=C·DAB ；（2）1=B ，2=A .8三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的 边是对应边.10等边三角形是特殊的等腰三角形.11几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.13几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代 入分析法；（4）图形观察法.14几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已 知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知 点作已知直线的平行线.15会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角 形”、“等腰直角三角形”的作图.16作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什 么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.18几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：构造特殊图形，使可用的定理增加；一举多得； 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角； 作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线. （若 BD是角平分线） 在 BA上截取 BE=BC构造全等，转移线 段和角；过 D点作 DEBC交 AB于 E，构造等腰三角形 .（3）已知三角形中线（若AD是 BC的中线） 过 D点作 DEAC交 AB于 延长 AD到 E，使 DE=ADAD是中线精品资料精品学习资料第 8 页，共 9 页E，构造中位线 ；连结 CE构造全等，转移线段和角；SABD= SADC（等底等高的三角形等 面积）(4)已知等腰三角形ABC中，AB=AC 作等腰三角形 ABC底边的中线 AD（顶角的平分线或底边的高）构造全 等三角形； 作等腰三角形 ABC一边的平行线 DE，构造新的等腰三角形.（5）其它作等边三角形 ABC 一边 的平行线 DE，构造 新的等边三角形；作 CEAB，转移角；延长 BD与 AC交于 E，不规则图形转化为规则图形；多边形转化为三角延长 BC到 D，使 CD=B，C 若 ab,AC,BC是角平分线, 则C=90°.形；连结 AD，直角三角形转化为等腰三角形；精品资料精品学习资料第 9 页，共 9 页