平面向量基本定理的本质就是基本量思想.doc
YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版名师归纳总结优质资料欢迎下载平面向量基本定理的本质就是基本量思想江苏省泰州中学平面向量的基本定理为将未知向量同已知杨鹤云“基底”建立联系提供了理论依据，也是利用向量解决几何问题所必须具备的“基石”对向量的基本定理我们应这样来理解： (1) 该定理为向量的坐标表示奠定了理论基础，当基底是e1 、 e2 且夹角为 90°，|e1 |=|e2 |=1时， ae1e2 ，其中 (,) 即为向量的坐标，由于基底的方向、模各不相同，可建立多种坐标系为解决问题开拓了新的天地(2)该定理另一层意思是可将任何一个向量在给出两个基底e 、 e 的条件下进行分12解因此，基底其实就是表示一个平面内的所有向量的“基本量”解决向量问题就要善于寻找合适的基底，并将题中所有向量用基底线性表示下列通过实例说明探求用基本量表示已知向量的常用方法及其应用例 1如图 1，已知 O是 ABC内一点， AOB=15°0 ， BOC=9°0，OAya ，OBb， OCc 且| a |=2 ，| b |=1 ，| c |=3 ，试用 a 、 b 表示 c .B析与解：以 O为原点，OA 为x 轴正方向建立坐标系 .OAx31,) ， C(223,233) ， A(2,0) ，由三角函数定义得B(2C( 图1)31,) ， c =(223,233) ，设 c故 a =(2,0)， b = (ab ，将 a 、 b 、 c 代入2建立方程组解得=-3 ，33 .所以c3a33b .另解：作向量c 的相反向量cOC ' ，( 如图 2) 过B'C'C ' 点分别作 OA 、 OB 平行线交 OA 、 OB 的延长线于OC 'OA 'OB ' 且 OA'OA ， OB 'A'、 B'，则有OB ，A'O由平面几何知识得：=3，33 ，所以c3a33 b .( 图 2)说明：坐标法与几何法是两种常用的探求线性表示向量的方法例 2如图三，已知四边形ABCD的边 AD与 BC的中点分别为E、 F，求证：12( ABDC ) .EF1( EC21( ED2析与解：连结EC 、 EB ，则AB) ，又CEFEB)DCEA1( AB2DO ， EFDC ) .EDEAFEAB( 图 3)精品学习资料第 1 页，共 3 页名师归纳总结优质资料欢迎下载1EOAB ， OF1DC ，2另解：取 BD中点 O，则21( ABDC ) .2 EFEOOF例 3(1) 如图四，设 P、Q是线段 AB的三等分点，若OAa ， OBb ，试用 a 、 b 表示向量OP 、 OQ ；B(2) 在(1) 中，当点 P、 Q三等分线段 AB时，有QPA1,A 2,An-1 是 AB的 n(n 3)OPOQOAOB，如果点等分点，你能得出什么结论？请证明你的结论.AO( 图 3)1a32b313 ABOBOAba ， OP析与解：(1)OABPOAAB231323OQOAAQOAABab(2)由(1)知 OA1OAnOA2OAnOAOB ，12knknk n AAk， OAkOAAAkOAABnkknOAOAABOAABABOBABnkn由 +得结论 1： OAkOAnOAOBkn1结论 2： OA1OA2OAn(OAOB)12由式得：1n2nn1OA1OA2OAn(OAAB)( DAAB)(OAAB)1n1nnn1( n1)OA123(n1) AB( n1)OAAB21 (OB( n1)(OA( n1)OAOA)OB)22用平面内不共线的两个向量a 、 b ，可以表示出该平面内的任何一个向量，这是用向量解题的基本功 在处理这类问题时， 除了正确利用向量的加法、 减法、数乘向量外，还应注意如下解题规律：尽可能把要用a 、 b 表示的向量，连同a 、 b 向量在同一个三角形或平行四边形内转化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解；要充分利用平面几何的一些定理、性质，善于发现相等向量、共线向量及相反向量， 从而使所求向量与已知向量建立直接联系；要注重方程思想的应用， 有时可以正难则反用所求向量表示已知向量，建立方程后， 解方程即精品学习资料第 2 页，共 3 页名师归纳总结优质资料欢迎下载可求出未知向量精品学习资料第 3 页，共 3 页
