棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积--高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积人教A版2019高中数学必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积 前面我们认识了基本立体图形的结构特征，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积BCAP【解析】因为PBC是正三角形，其边长为a，所以 因此，四面体P-ABC的表面积213sin60.24 PBCSa aa22343.4P ABCSaa多面体的多面体的表面积表面积就是围成多面体就是围成多面体各个面的面积的和各个面的面积的和棱柱、棱锥、棱棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. .1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积 变式变式 已知已知一个一个正四棱锥正四棱锥P-ABCD的的侧棱长为侧棱长为5，底面的边长为，底面的边长为6，求它的，求它的表表面积面积.ACBPDE解解：如如图示，图示，正四棱锥正四棱锥P-ABCD中，中，PA=5，AB=6.244 12684.P ABCDPABABCDSSS2222534.PEPBBE因此因此，正四棱锥正四棱锥P-ABCD的表面积为的表面积为AE=3，过点过点P作作PEAB，垂直为垂直为E，则，则16 412.2PAB S 练习练习 1. 正六棱台的上，下底面边长分别是正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和和6cm，侧棱长是，侧棱长是5cm，求它的求它的表面积表面积.解解：如图示，如图示，AB=6cm，AB=2cm，AA=5cm.223626 3.4Scm上底面260 324 21().Scm表因此因此，正六棱台的表面积为，正六棱台的表面积为ADBCFEADBCFE2236654 3.4Scm下底面216(26)2124 21.2Scm侧面教材教材116页页 我们以前已经学习了特殊的棱柱正方体、长方体的体积公式，它们分别是：正方体a3（a是正方体的棱长）长方体abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）2. 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱、棱锥、棱台的体积abcaaa 棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.棱柱VSh一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积 特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.hhSPQ如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积13棱锥VSh棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.13棱锥VSh因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积ABCABCABCABCBCCBAAhPQABC 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式其中S，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.1()3棱台VSS SS hhABCDhhShS，,POh OOh证明：如图示,设,则11()33S hhS h P ABCDP A B C DVVV 棱台1()3SSSS h1()3VSS SS h棱台(S, S, h分别分别是是棱棱台台的上下底的上下底面积和高面积和高)ADBCABCDOOP.ShhSS 11()33Shh SS11()33SShhSSSS11()33Shh SSS棱台体积公式的证明棱台体积公式的证明VSh棱柱 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 上底扩大S =S=0S上底缩小 A BCDC A BD1S3Vh棱锥1(S + S S+S)3Vh棱台P 3. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？，那么石凳的体积是多少？解解： 如图示，如图示，由题意由题意知正方体的棱长为知正方体的棱长为0.5m，则有，则有31().8ABCD A B C DVm 正方体3111111().32444384G AEFVm三棱锥BCABCDADEFG这个石凳的体积为这个石凳的体积为3185().838448Vm石凳 练习练习 教材教材116页页课堂小结已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积BCAP 练习练习 教材教材116页页 2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱的立方体，将其适当分割成棱长为长为1cm的小立方体的小立方体. (1) 共得到多少个棱长为共得到多少个棱长为1cm的小立方体？的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一一面面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六六面均没有颜色的面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它？它们占有多少立方厘米的空间？们占有多少立方厘米的空间？解解：(1) 共有共有64个棱长为个棱长为1cm的小立方体的小立方体.(2) 三面是红色的小立方体有三面是红色的小立方体有8个个, 表面积之和是表面积之和是48cm2. 练习练习 教材教材116页页 2. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱的立方体，将其适当分割成棱长为长为1cm的小立方体的小立方体. (3) 两面两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一一面面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六六面均没有颜色的面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它？它们占有多少立方厘米的空间？们占有多少立方厘米的空间？解解： (3) 两面是红色的小立方体有两面是红色的小立方体有24个个, 表面积之和是表面积之和是144cm2.(4) 一面是红色的小立方体有一面是红色的小立方体有24个个, 表面积之和是表面积之和是144cm2.(5) 六面均没有颜色的小立方体有六面均没有颜色的小立方体有8个个, 表面积之和是表面积之和是32cm2，它们占有的空间是，它们占有的空间是8cm3. 练习练习 教材教材116页页4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.解解：如图示，直三棱柱如图示，直三棱柱ABC-ABC中，设底面中，设底面ABC的三边分别为的三边分别为a,b,c，棱柱的高为棱柱的高为h，则有，则有().ABB ABCBC BACBC ASSac hbhS 侧面侧面侧面ACBACBahcb.ABB AACBC ABCBC BBCBC BACBC AABB ASSSSSS 侧面侧面侧面侧面侧面侧面同理直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.