苏科版数学七年级下册知识梳理.docx

苏科版数学七年级下册知识梳理 七年级（下）学问梳理 目 录 第7章 平面图形的相识（二） 1 7.1 探究直线平行的条件 1 1、相识“三线八角“ 1 2、判定直线平行的条件 1 7.2 探究平行线的性质 1 1、平行线的性质 1 2、平行线判定条件与性质的区分 2 7.3 图形的平移 2 1、图形平移的概念 2 2、平移的性质 2 3、平移作图 2 7.4 相识三角形 3 1、三角形的相关概念 3 2、三角形的分类 3 3、三角形的三边关系 3 4、三角形中的“三线” 3 7.5 多边形的内角和与外角和 3 1、三角形三个内角的关系 3 2、多边形内角和 3 3、多边形的外角和 4 第8章 幂的运算 4 8.1 同底数幂的乘法 4 1、同底数幂的乘法的运算性质 4 2、拓展训练 4 8.2 幂的乘方与积的乘方 4 1、幂的乘方 4 2、积的乘方 4 3、拓展训练 4 8.3 同底数幂的除法 5 1、同底数幂的除法的运算性质 5 2、科学计数法 5 3、拓展训练 5 第9章 整式乘法与因式分解 5 9.1 单项式乘单项式 5 1、单项式乘单项式的运算法则 5 2、单项式与单项式相乘的步骤 5 9.2 单项式乘多项式 6 1、单项式乘多项式的运算法则 6 2、单项式乘多项式的步骤 6 9.3 多项式乘多项式 6 1、多项式乘多项式的运算法则 6 2、拓展训练 6 9.4 乘法公式 6 1、完全平方公式 6 2、完全平方公式的推导方法 7 3、拓展：完全平方公式常见变形式 7 4、平方差公式 7 5、平方差公式的推导方法 7 6、拓展：平方差公式常见变形式 7 9.5 多项式的因式分解 8 1、公因式 8 2、因式分解 8 3、提公因式法分解因式 8 4、因式分解的方法 8 5、因式分解的步骤 8 6、因式分解的技巧 9 第10章 二元一次方程组 9 10.1 二元一次方程 9 1、二元一次方程的概念 9 2、二元一次方程的解 9 10.2 二元一次方程组 9 1、二元一次方程组的概念 9 2、二元一次方程组的解 10 10.3 解二元一次方程组 10 1、代入消元法 10 2、加减消元法 10 10.4 三元一次方程组 10 1、三元一次方程组的概念 10 2、解三元一次方程组 11 10.5 用二元一次方程组解决问题 11 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤 11 第11章 一元一次不等式 12 11.1 生活中的不等式 12 1、不等式的概念 12 2、列不等式 12 11.2 不等式的解集 12 1、不等式的解 12 2、不等式的解集与解不等式 12 3、在数轴上表示不等式的解集 13 11.3 不等式的基本性质 13 1、不等式的基本性质1 13 2、不等式的基本性质2 13 3、拓展：不等式的其他性质 13 11.4 解一元一次不等式 13 1、一元一次不等式的概念 13 2、一元一次不等式的解法 13 11.5 用一元一次不等式解决问题 14 1、安排问题： 14 2、积分问题： 14 3、比较问题: 14 4、行程问题: 14 5、车费问题: 14 6、浓度问题: 14 7、增减问题: 14 8、销售问题: 14 11.6 一元一次不等式组 15 1、一元一次不等式组的概念 15 2、一元一次不等式组的解集 15 3、解一元一次不等式组 15 第12章 证明 15 12.1 定义与命题 15 1、定义 15 2、命题 15 3、真命题和假命题 16 12.2 证明 16 1、定理与证明 16 2、三角形内角和定理及其推论 16 12.3 互逆命题 17 1、互逆命题 17 2、反例 17 第7章 平面图形的相识（二） 7.1 探究直线平行的条件 1、相识“三线八角“ 如图所示，两条直线a，b被第三条直线l所截，则 同位角：像1和6，这样的一对角 特征： 在被截两直线的同一方 在截线的同旁 在形如字母“F”的图形（或倒置、反置、旋转） 中有同位角 内错角：像4和5，这样的一对角 特征： 在被截两直线之间 在截线的两旁 在形如字母“Z”的图形（或倒置、反置、旋转）中有内错角 同旁内角：像3和5，这样的一对角 特征： 在被截两直线之间 在截线的同旁 在形如字母“U”的图形（或倒置、反置、旋转）中有同旁内角 【留意点】 （1）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系都是不确定的； （2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，它们没有公共顶点，但都有一条边共线。 基本领实 2、判定直线平行的条件 共同的前提条件：两条直线被第三条直线所截 假如同位角相等，那么这两条直线平行。（简说：同位角相等，两直线平行） 假如内错角相等，那么这两条直线平行。（简说：内错角相等，两直线平行） 假如同旁内角互补，那么这两条直线平行。（简说：同旁内角互补，两直线平行） 7.2 探究平行线的性质 1、平行线的性质 ·两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简说：两直线平行，同位角相等 ·两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 简说：两直线平行，内错角相等 ·两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简说：两直线平行，同旁内角互补 【思索】如何证明：“两直线平行，同位角相等“？ 提示： 利用基本领实：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 【留意点】 只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等和同旁内角互补 2、平行线判定条件与性质的区分 名称 条件 结论 作用 判定 同位角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 性质 两直线平行 同位角相等 由直线的位置关系得到角的数量关系 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 7.3 图形的平移 1、图形平移的概念 定义：在平面内，将一个图形沿着某各方向移动肯定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移 平移要素：（1）平移方向（2）平移距离 相关概念： 对应点 对应线段 对应角 【留意点】 图形的平移是一种位置变换，平移只变更图形的位置，不变更图形的形态和大小。 图形平移的方向可以是随意指定的方向，不限于水平的或竖直的，但必需是直线方向。 2、平移的性质 平移后得到的新图形与原图形的形态、大小完全相同； 平移前后两个图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等； 平移前后两个图形中，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 3、平移作图 平移作图的基本步骤： （1）定：分析题目要求，确定平移的方向和距离； （2）找：找出确定图形形态的关键点； （3）移：按平移的方向和距离确定各关键点平移后的对应点； （4）连：按原图的依次依次连接各对应点。 【留意点】 平移作图，找关键点要精确且全面，不要找“无用”的点。 7.4 相识三角形 1、三角形的相关概念 ·定义：由3条不在同始终线上的线段，首尾依次相连组成的图形叫作三角形。 ·三角形的基本要素： 边：组成三角形的3条线段 顶点：相邻两条边的公共端点 角：三角形相邻两条边所夹的角是三角形的内角 ·三角形的表示方法：用“”+三角形的三个顶点来表示，如：ABC 2、三角形的分类 ·按内角的大小分类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ·按边的相等关系分类：不等边三角形、等腰三角形（等边三角形是等腰三角形的特例） 3、三角形的三边关系 ·三角形随意两边之和大于第三边 ·随意两边之差小于第三边。 【思索】如何证明这两个结论？ 提示： 利用基本领实：两点之间线段最短 4、三角形中的“三线” ·中线：顶点与它对边中点的相连的线段。 ·角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。 ·高线：从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。 ·拓展：三角形的三条中线相交于一点、三条角平分线相交于一点、三条高线相交于一点。 【思索】如何证明这个特征？ 7.5 多边形的内角和与外角和 1、三角形三个内角的关系 ·三角形的内角和是180°【小学】 【留意点】 ·直角三角形的两个锐角互余 ·三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，且三角形中最大内角不小于60° 【思索】如何来证明这一结论？ 2、多边形内角和 ·n边形的内角和等于（n-2）·180° 【思索】如何来证明多边形的内角和公式？ 3、多边形的外角和 ·多边形的外角和等于360° 【思索】如何来证明多边形的外角和公式？ ·补充：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线 第8章 幂的运算 8.1 同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法的运算性质 ·同底数幂的意义：底数相同的幂 ·同底数幂的乘法的运算性质： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 符号表示：am·an=am+nm，n是正整数 2、拓展训练 ·同底数幂的乘法的运算性质的逆运用：am+n=am·anm，n是正整数 ·同底数幂的乘法的运算性质对于三个或者三个以上的同底数幂相乘同样适用。如： am·an·ap=am+n+pm，n，p是正整数 8.2 幂的乘方与积的乘方 1、幂的乘方 ·幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘 ·幂的的乘方的运算性质： 幂的乘方，底数不变，指数相乘 符号表示：amn=amnm,n是正整数 2、积的乘方 ·积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方 ·积的乘方的运算性质： 积的乘方，把积的每一个因子分别乘方，再把所得的幂相乘 符号表示：abn=anbnn是正整数 3、拓展训练 ·幂的乘方运算性质的逆运用：amn=amnm,n是正整数 ·幂的乘方运算性质可以推广到三个或三个以上，如：amnp=amnpm、n、p是正整数 ·积的乘方运算性质的逆运用：anbn=abnn是正整数 ·积的乘方运算性质可以推广到三个或三个以上，如：anbncn=abcnn是正整数 8.3 同底数幂的除法 1、同底数幂的除法的运算性质 同底数幂相除，底数不变，指数相减 符号表示：am÷an=am-na0，m、n是正整数，m>n ·我们规定： ·任何不等于0的数的0次幂等于1 符号表示：a0=1a0 ·任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数 符号表示：a-n=1ana0，n是正整数 ·同底数幂的除法的运算性质的一般状况： 同底数幂相除，底数不变，指数相减 符号表示：am÷an=am-na0，m、n是正整数 2、科学计数法 ·一般地，用科学计数法可以把一个正数写成a×10n的形式，其中1a<10，n是整数 3、拓展训练 ·同底数幂的除法的运算性质的逆用：am-n=am÷ana0，m、n是正整数 【思索】证明：abn=anbnb0，n为整数 第9章 整式乘法与因式分解 9.1 单项式乘单项式 1、单项式乘单项式的运算法则 ·单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2、单项式与单项式相乘的步骤 ·确定系数：积的系数等于各项系数的积 ·确定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ·确定单独字母：要连同字母的指数一起作为积的一个因式 9.2 单项式乘多项式 1、单项式乘多项式的运算法则 ·单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ·符号表示：ma+b+c=ma+mb+mc ·几何说明： 如图，大长方形的面积等于三个小长方形的面积之和，即： ma+b+c=ma+mb+mc 2、单项式乘多项式的步骤 ·利用乘法安排律，转化为单项式乘单项式 ·将单项式与单项式相乘的结果相加 9.3 多项式乘多项式 1、多项式乘多项式的运算法则 ·多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 ·符号表示：a+bc+d=ac+ad+bc+bd ·几何说明： 若把大长方形看成一个整体，其长为m+n，宽为a+b，其面积为（m+n）（a+b） 2、拓展训练 ·形如（x+a）（x+b）的多项式乘法： （x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab（a、b为常数） 9.4 乘法公式 1、完全平方公式 ·两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。 ·符号表示：a+b2=a2+2ab+b2 ·符号表示：a-b2=a2-2ab+b2 【思索+视察】完全平方公式的结构特征有哪些？ （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，两者仅有一个“符号”不同； （2）两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，两个公式等号右边的中间项仅有一个“符号”的差异。 2、完全平方公式的推导方法 ·用多项式乘法法则 ·借助几何图形推导 3、拓展：完全平方公式常见变形式 ·a2+b2=a+b2-2ab=a-b2+2ab ·a+b2-a-b2=4ab ·a+b2+a-b2=2a2+b2 ·ab=12a+b2-a2+b2 ·ab=14a+b2-a-b2 4、平方差公式 ·两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 ·符号表示：a+ba-b=a2-b2 【思索+视察】平方差公式的结构特征有哪些？ （1）等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差。 5、平方差公式的推导方法 ·用多项式乘法法则 ·借助几何图形推导 6、拓展：平方差公式常见变形式 ·位置改变：b+a-b+a=a+ba-b=a2-b2 ·符号改变：-a-ba-b=-b-a-b+a=-b2-a2=b2-a2 ·系数改变：3a+2b3a-2b=3a2-2b2=9a2-4b2 ·指数改变：a3+b2a3-b2=a32-b22=a6-b4 ·增项改变：a-b+ca-b-c=a-b2-c2 ·连用公式：a+ba-ba2+b2=a2-b2a2+b2=a4-b4 9.5 多项式的因式分解 1、公因式 ·多项式各项都含有的相同因式叫作这个多项式的公因式。 ·确定公因式的一般步骤： （1）确定公因式的系数 （2）确定公因式的字母及字母的指数 2、因式分解 ·把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 ·因式分解与整式乘法的关系： 名称 关系 因式分解 整式乘法 区分 （1）将一个多项式转化为几个整式的积的形式 （2）是多项式的的恒等变形 （1）把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式 （2）是一种运算 联系 整式乘法与因式分解是方向相反的恒等变形 3、提公因式法分解因式 ·假如多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这个分解因式的方法叫做提公因式法。 ·提公因式法的依据：乘法安排律的“逆用”： ·提公因式法的步骤： （1）确定公因式 （2）把多项式中各项的公因式提出来，所得多项式作为另一个因式 （3）把多项式写成这两个因式的积的形式 【留意点】 ·当多项式中的某项和公因式相同时，提取公因式后，该项剩余的项是1，肯定不要漏掉； ·当多项式的首相系数是负数时，一般先提出“-”号，使括号内的首相系数为正； ·多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项。 4、因式分解的方法 ·提公因式法 ·运用公式法：逆用完全平方公式和平方差公式 5、因式分解的步骤 ·一提：有公因式的先提取公因式 ·二套：没有公因式套用公式 ·三检查：检查乘积中的每个因式，使其分解到不能再分解为止 6、因式分解的技巧 ·分组分解法 （1）按公因式分组，如：a2-ab+ac-bc （2）按系数特点分组，如：x3+6x2-x-6 ·拆项、添项法 此方法是在分解因式难以进行的状况下实行的一种协助方法，通过适当的拆项或添项后再分组，使可达到分解因式的目的 如：x2-y2-2x-4y-3 x4+4 ·配方法 ·换元法 第10章 二元一次方程组 10.1 二元一次方程 1、二元一次方程的概念 ·定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 ·二元一次方程的特征： （1）是整式方程； （2）含有两个未知数； （3）含有未知数的项的次数都是1。 【留意点】 “含有未知数的项的次数都是1”不行理解为两个未知数的次数都是1，如：5xy+1=0中，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是1，但含有未知数的项5xy的次数是2，所以它不是二元一次方程。 2、二元一次方程的解 ·定义：适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解 ·二元一次方程的解的表示方法： 二元一次方程的解一般要用大括号联立起来，如二元一次方程3x+2y=6的一个解为x=2y=0 10.2 二元一次方程组 1、二元一次方程组的概念 ·定义：把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组。 ·二元一次方程应同时满意三个条件： （1）方程组中每个方程都是整式方程； （2）方程组中一共含有两个未知数； （3）方程组中含有未知数的项的次数都是1。 【留意点】 （1）二元一次方程组一共含有两个未知数，而不是每个方程都必需含有两个未知数，如： x+2y=3x+2=1是二元一次方程组； （2）若每个方程都含有两个未知数，则这两个方程中所含的未知数必需相同。如： x-2y=1x+z=1不是二元一次方程组。 2、二元一次方程组的解 ·定义：我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。 10.3 解二元一次方程组 1、代入消元法 ·定义：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。 ·代入消元法步骤： （1）变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数，得到变形的方程 （2）代入：把y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个没有变形的方程中 （3）求解：解代入后的一元一次方程 （4）回代：把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 （5）得解：把两个未知数的值联立起来 2、加减消元法 ·定义：把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法。 ·加减消元法步骤： （1）变形：依据肯定值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 （2）代入：当其中一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当其中一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加 （3）求解：解消元后得到的一元一次方程 （4）回代：把求得的未知数的值代入方程组中某个较简洁的方程中 （5）得解：把两个未知数的值联立起来 10.4 三元一次方程组 1、三元一次方程组的概念 ·定义：把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成一个三元一次方程组。 ·三元一次方程应同时满意三个条件： （1）方程组中每个方程都是整式方程； （2）方程组中一共含有三个未知数； （3）方程组中含有未知数的项的次数都是1。 【留意点】 （1）三元一次方程组一共含有三个未知数，而不是每个方程都必需含有三个未知数，如： x+2y=3z+2=1是三元一次方程组； （2）若每个方程都含有三个未知数，则这三个方程中所含的未知数必需相同。如： x-2y-z=1x+z+y=3x+y+p=1不是三元一次方程组。 2、解三元一次方程组 ·解三元一次方程组的基本思路：通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，就可以把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组 ·解三元一次方程组的基本步骤： （1）消元：利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的一个含有另一个未知数且系数比较简洁的方程中，得到一个一元一次方程； （4）求解：解这个一元一次方程，求出最终一个未知数的值； （5）写解：将求得的三个未知数的值用“”联立起来，就是原三元一次方程组的解。 10.5 用二元一次方程组解决问题 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审：细致审题，弄清题目中的已知量与未知量； （2）设：设出两个未知数，用未知数或含未知数的代数式表示出其他量； （3）找:找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系； （4）列：依据找出的两个等量关系，列出二元一次方程组； （5）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值； （6）验：检验所求得的结果是否符合题意及实际意义； （7）答：写出答案。 2、二元一次方程组应用题的题型总结 ·和差倍分问题 ·配套问题 ·数字问题 ·销售问题 ·工程问题 ·行程问题 ·方案决策问题 第11章 一元一次不等式 11.1 生活中的不等式 1、不等式的概念 ·定义：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 ·常见的不等号：>、<、 2、列不等式 ·列不等式就是用不等式表示不等关系 ·步骤： （1）仔细审题，分清题目中包含的数量间的大小关系 （2）将题目中的不同数量用代数式表示出来 （3）用不等号以及运算符号连接所列的代数式，列出不等式 11.2 不等式的解集 1、不等式的解 ·定义：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解 ·不等式的解可以有多个，它是指在某一特定范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式肯定成立。 【留意点】 不等式的解和一元一次方程的解的区分： 不等式的解的个数是不确定的，一个不等式假如有解，一般会有多数个解，而一元一次方程假如有解，则它的解只有一个。 2、不等式的解集与解不等式 ·不等式的解集：一个含有未知数的不等式的全部的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 ·解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式 【留意点】 不等式的解和不等式的解集的区分与联系： ·区分：不等式的解集是能使不等式成立的未知数的取值范围；不等式的解是能使不等式成立的未知数的值。 ·联系：不等式的解集包含不等式的解，不等式的解是不等式解集中的详细数值，不等式的全部解组成了不等式的解集。 3、在数轴上表示不等式的解集 不等式的解集 （设a>0） x>a xa x<a xa 意义 在数轴上表示a的点的右边对应的数，不包括a 在数轴上表示a的点的右边对应的数，包括a 在数轴上表示a的点的左边对应的数，不包括a 在数轴上表示a的点的左边对应的数，包括a 画法 从a起先向右画，在表示a的点处画空心圆圈 从a起先向右画，在表示a的点处画实心圆圈 从a起先向左画，在表示a的点处画空心圆圈 从a起先向左画，在表示a的点处画实心圆圈 示意图 【留意点】 ·用数轴表示不等式解集时，要留意两个确定： （1）确定边界点：若边界点表示的数是不等式的解，则用实心圆圈，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； （2）确定方向：小于边界点表示的数时，向左画，大于边界点表示的数时向右画。 11.3 不等式的基本性质 1、不等式的基本性质1 ·不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式的基本性质2 ·不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变更。 3、拓展：不等式的其他性质 ·对称性（互逆性）：若a>b，则b<a；若a<b，则b>a。 ·传递性：若a>b，b>c，则a>c。 11.4 解一元一次不等式 1、一元一次不等式的概念 ·定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。 【思索】比较一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点？ 2、一元一次不等式的解法 ·类比一元一次方程的解法 【思索】比较一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法的相同点和不同点？ 11.5 用一元一次不等式解决问题 1、安排问题： 例：一堆玩具分给若干个小挚友，若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最终一人得到的玩具最多3件，问小挚友的人数至少有多少人？。 2、积分问题： 例：某次数学测验共20道题（满分101分）。评分方法是：答对1道给5分，答错1道扣2分，不答不给分。某学生有1道未答。那么他至少答对几道题才能及格？ 3、比较问题: 例：某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：假如校长买全票一张，则其余学生可享受半价实惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折实惠。已知两家旅行社的全票价都是240元，至少要多少名学生选甲旅行社比较好？ 4、行程问题: 例：抗洪抢险，向险段运输物资，共有120公里原路程，须要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证刚好送到？ 5、车费问题: 例：出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km? 6、浓度问题: 例：在1千克含有40克食盐的海水中，在加入食盐，使他成为浓度不底于20%的食盐水，问：至少加入多少食盐？ 7、增减问题: 例：一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1质量的物体，弹簧伸长0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少？ 8、销售问题: 例：商场购进某种商品m件，每件按进价加价30元售出全部商品的65%，然后再降价10%，这样每件仍可获利18元，又售出全部商品的25%。 (1)试求该商品的进价和第一次的售价； (2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%，剩余商品的售价应不低于多少元？ 一元一次不等式组解应用题的一般步骤为： 列不等式组解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤相类似,所不同的是,前者需寻求的不等关系往往不止一个,而后者只需找出一个不等关系即可。 11.6 一元一次不等式组 1、一元一次不等式组的概念 ·定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 ·一元一次不等式组须要满意条件： （1）不等式组中全部的不等式都是一元一次不等式 （2）不等式组中的全部一元一次不等式都含有同一个未知数 （3）不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上 2、一元一次不等式组的解集 ·定义：不等式组中全部不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 ·不等式组的解集有四种状况 不等式组 （设b>a>0） x>ax>b x<ax<b x>ax<b x<ax>b 不等式组的解集 x>b x<a a<x<b 空集 不等式组的解集在数轴上的表示 巧记口诀 同大取大 同小取小 大小小大取中间 大大小小取不了 3、解一元一次不等式组 ·解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应留意的是,不等式两边所乘以(或除以)的数的正负,并依据不怜悯况敏捷运用其性质。 ·步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴或“口诀”求出这些不等式解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 第12章 证明 12.1 定义与命题 1、定义 ·对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义。 【留意点】 （1）定义必需是严密的，尽量避开运用模糊不清的词语，如：“一些”、“也许”等词语一般不在定义中出现； （2）定义是几何推理的依据，既可以当性质用，又可以当判定用，是我们思索问题的动身点和目标。 2、命题 ·定义：推断一件事情的句子叫做命题。 【留意点】 命题的定义包含两层含义： （1）命题必需是一个完整的句子； （2）这个句子必需能对某件事做出确定或否定的推断 ·命题的组成：一般由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 ·命题的表达形式： （1）一般状况下，命题的条件运用“假如”“若”等字样引出，命题的结论运用“那么”“则”等字样引出。 （2）若命题不具有“假如···那么···”的形式，则一般先将命题改写成“假如···那么···”的形式，再来确定命题的条件和结论。 【留意点】 在改写命题时，不仅是在原命题中添上“假如”和“那么”，还要使改写后命题的实质不变，与改写前的命题的内容保持一样。 【例题】 （1）肯定值相等的两个数肯定相等； ·改写成：“假如两个数的肯定值相等，那么这两个数肯定相等” （2）垂直于同一条直线的两条直线平行； ·改写成：“假如两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行” （3）同角或等角的余角相等。 ·改写成：“假如两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么这两个角相等” 3、真命题和假命题 ·真命题：假如条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题 ·假命题：条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 12.2 证明 1、定理与证明 ·证明：依据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明 ·定理：经过证明的真命题称为定理 【留意点】 定理肯定是真命题，但是真命题不肯定是定理 ·证明与图形有关的命题，一般有以下步骤： （1）依据题意，画出图形 （2）依据命题条件、结论，结合图形，写出已知、求证 （3）写出证明过程 2、三角形内角和定理及其推论 ·三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° ·推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 12.3 互逆命题 1、互逆命题 ·定义：在两个命题中，假如第一个命题的条件是其次个命题的结论，而第一个命题的结论又是其次个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题是另一个命题的逆命题。 2、反例 ·定义：举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例。 ·数学中，推断一个命题是假命题，只需举出一个反例。 第22页 共22页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页