3.2.1双曲线及其标准方程课件--高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

3.2.1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程3.2 双曲线双曲线1.椭圆的定义椭圆的定义:平面内与两个定点平面内与两个定点|F1F2|的距离的的距离的和和等于常数等于常数(大于大于|F1F2| )的点的轨的点的轨迹叫做迹叫做椭圆椭圆.2.椭圆的标准方程椭圆的标准方程:问题问题：如果把椭圆定义中如果把椭圆定义中“距离的距离的和和”改为改为“距离的距离的差差”那么动点的那么动点的轨迹会发生怎样的变化？轨迹会发生怎样的变化？222222222221(0)1(0)()xyyxabababcabab 或或其其中中我们还可以借助拉链绘制双曲线：我们还可以借助拉链绘制双曲线：动画演示动画演示平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的的距离的差的绝对值差的绝对值等于等于非零非零常数常数(小于小于|F1F2|)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.这两个定点叫做双曲线的这两个定点叫做双曲线的焦点焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距焦距.通常情况下，我们把通常情况下，我们把|F1F2|记为记为2c(c0), 常数常数记为记为2a(a0)，则双曲线，则双曲线定义还可以描述为定义还可以描述为若若|MF1|-|MF2|=2a2c, 即即|MF1|-|MF2| |F1F2|，则轨迹是什么？则轨迹是什么？ 若若2a=0, 即即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？则轨迹是什么？此时轨迹为以此时轨迹为以F1或或F2为端点的两条射线为端点的两条射线此时此时轨迹不存在轨迹不存在此时轨迹为线段此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线的垂直平分线分分3种情况来看：种情况来看： 思考思考2 定义中为什么强调定义中为什么强调常数常数要要小于小于|F1F2|且且不等于不等于0(即即02a0), 那么焦点那么焦点F1,F2的坐标分别为的坐标分别为 F1(-c,0), F2(c,0), 又设又设|MF1|-|MF2|=2a(0a0, b0，但，但a, b大小不定；大小不定； c2=a2+b2 ； 如果如果x2的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在x轴上；轴上； 如果如果y2的系数是正的，则焦点在的系数是正的，则焦点在y轴上轴上.OMF2F1xyF2F1MxOy22221(0,0)xyabab 22221(0,0)yxabab 椭圆椭圆双曲线双曲线定定 义义方方 程程焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上焦焦 点点a, b, c的关系的关系F1(c, 0), F2(c, 0)a0, b0, c2=a2+b2 a, b, c中中c最大最大ab0, a2=b2+c2 a, b, c中中a最大最大四、双曲线与椭圆之间的区别与联系四、双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a (ac) 22221(0)xyabab 22221(0)yxabab 22221(0,0)xyabab 22221(0,0)yxabab F1(0, c), F2(0, c)F1(c, 0), F2(c, 0)F1(0, c), F2(0, c)223.1.21xymmm已已知知方方程程表表示示双双曲曲线线, ,求求 的的取取值值范范围围22:121xymm 解解 若若方方程程表表示示双双曲曲线线, ,则则有有(2)(1)021.mmmm , ,解解得得或或(, 2)( 1,).m 的的取取值值范范围围为为 例例1 已知双曲线的焦点已知双曲线的焦点 F1(-5, 0), F2(5, 0)，双曲线上一点，双曲线上一点P到焦点的距离差到焦点的距离差的绝对值等于的绝对值等于8，求双曲线的标准方程，求双曲线的标准方程.题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量求标准方程要做到先定型，后定量.2222:1(0,0).xxyabab 解解 因因为为双双曲曲线线的的焦焦点点在在 轴轴上上，所所以以设设它它的的标标准准方方程程为为222210 26535316.cacab 由由, , ,得得, , ,所所以以221.916xy 所所以以，双双曲曲线线的的标标准准方方程程为为1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴焦点在轴x上，上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴焦点在轴x上，经过点上，经过点 (3) 焦点为焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点且经过点(2, -5).15(23 ) (2 )3 ，；(2) 焦点在焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为轴上，故可设双曲线的标准方程为22:(1)1;169xy 解解22221(0,0).xyabab 15(2,3),(,2)3 把把点点代代入入双双曲曲线线方方程程，可可得得2222231,15219abab 2213.ab 解解得得, ,221.3yx 所所求求方方程程为为1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴焦点在轴x上，上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴焦点在轴x上，经过点上，经过点 (3) 焦点为焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点且经过点(2, -5).15(23 ) (2 )3 ，；(2)解解2 : 设双曲线的方程为设双曲线的方程为221(0).mxnymn 15(2,3),(,2)3 把把点点代代入入双双曲曲线线方方程程，可可得得231,5213mnmn 11.3mn 解解得得, ,221.3yx 所所求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程为为1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴焦点在轴x上，上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴焦点在轴x上，经过点上，经过点 (3) 焦点为焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点且经过点(2, -5).15(23 ) (2 )3 ，；则则由由题题意意，可可得得222236,2541abab 222016.ab 解解得得, ,221.2016yx 所所求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程为为(3) 解解1: 焦点在焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为轴上，故可设双曲线的标准方程为22221(0,0).yxabab 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1) 焦点在轴焦点在轴x上，上，a=4，b=3 ； (2) 焦点在轴焦点在轴x上，经过点上，经过点 (3) 焦点为焦点为(0, -6), (0, 6), 且经过点且经过点(2, -5).15(23 ) (2 )3 ，；由由双双曲曲线线定定义义，可可得得2226362016.cbca 又又, ,2 5a , ,221.2016yx 所所求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程为为(3) 解解2: (定义法定义法)22222|(20)( 56)(20)( 56) |6 5.a .y又又由由题题意意可可知知双双曲曲线线的的焦焦点点在在 轴轴上上爆炸点爆炸点P的轨迹是以的轨迹是以A, B为焦点的双曲线靠近点为焦点的双曲线靠近点B的一支的一支. 例例2 已知已知A, B两地相距两地相距800m, 在在A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B地晚地晚2s, 且声速为且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解：解：如图示建立直角坐标系如图示建立直角坐标系xOy, 使使A, B两点在两点在x轴上轴上, 并且点并且点O与线段与线段AB的中点的中点重合，重合， 设爆炸点为设爆炸点为P， 则则炮弹爆炸点的轨迹方程为炮弹爆炸点的轨迹方程为|2340680 |.PAPBAB 2800 2680400340.caca ，, ,即即, ,22244400.bca 221(340).11560044400 xyx xyoBAP想一想：想一想：如果如果A, B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？答：爆炸点应在线段答：爆炸点应在线段AB的中垂线上的中垂线上. 由由例例2可知，可知，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差声的时间差 , 就就可以确定爆炸点所在的双曲线的方程可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但但是是不能确定爆炸点的准确位置不能确定爆炸点的准确位置. 要想确定爆炸点的准确位置，还需要想确定爆炸点的准确位置，还需增设一个观测点增设一个观测点C，利用利用A, C( 或或B, C) 两处测得的爆炸声的时间差两处测得的爆炸声的时间差 , 求求爆炸点爆炸点所在的所在的另一个双曲线的方程另一个双曲线的方程. 解这两个解这两个双曲线双曲线方程组成的方程组方程组成的方程组 , 就能确定爆炸点的准确位置就能确定爆炸点的准确位置 . 这是双曲这是双曲线的一个重要应用线的一个重要应用 .思考思考 如何准确测出爆炸点的位置？如何准确测出爆炸点的位置？ xyoBAPCABMOxy探究探究 如图如图, 点点A, B的坐标分别是的坐标分别是(-5, 0), (5, 0), 直线直线AM, BM相交于点相交于点M, 且它们的且它们的斜率之积是斜率之积是 , 试求点试求点M的轨迹方程的轨迹方程, 并由点并由点M的轨迹方程判断轨迹的形式的轨迹方程判断轨迹的形式, 与与3.1例例3比较比较, 你有什么发现你有什么发现?49解：解：4( , ),9AMBMM x ykk设设则则4(5).559yyxxx 即即2222491001(5).100259xyxyx 化化简简得得, ,即即由方程可知，点由方程可知，点M的轨迹是除去的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在两点且焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线.221(5).100259xyMx 点点的的轨轨迹迹方方程程为为【例例3】,( 5,0),(5,0),4,.9A BAM BMMM 如如图图，设设两两点点的的坐坐标标分分别别是是直直线线相相交交于于点点且且它它们们的的斜斜率率之之积积是是求求点点的的轨轨迹迹方方程程xyBMOA解：解：4( , ),9AMBMM x ykk 设设则则4(5).559yyxxx 即即2222491001(5).100259xyxyx 化化简简得得, ,即即221(5).100259xyMx 点点的的轨轨迹迹方方程程为为由方程可知，点由方程可知，点M的轨迹是除去的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在两点且焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆.,( 5,0),(5,0),4,_.9A BAM BMMM 如如图图，设设两两点点的的坐坐标标分分别别是是直直线线相相交交于于点点且且它它们们的的斜斜率率之之积积是是则则点点的的轨轨迹迹方方程程为为1.(P108页例页例3)221(5).100259xyx ,( 5,0),(5,0),4,_.9A BAM BMMM 如如图图，设设两两点点的的坐坐标标分分别别是是直直线线相相交交于于点点且且它它们们的的斜斜率率之之积积是是则则点点的的轨轨迹迹方方程程为为2.221(5).100259xyx ABMOxyxyBMOA点点M的轨迹是除去的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在两点且焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆.点点M的轨迹是除去的轨迹是除去(-5,0),(5,0)两点且焦点在两点且焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线.对比发现对比发现1 已知已知ABC的两个顶点的两个顶点B(-a, 0), C(a, 0), 直线直线AB, AC所在直线的斜率之所在直线的斜率之积等于积等于m(m0), 则顶点则顶点A的轨迹与的轨迹与m有如下关系：有如下关系：设设 A(x, y) , 则则化简整理得化简整理得 当当m=1时时, 顶点顶点A的轨迹是以原点为圆心的轨迹是以原点为圆心, 半径为半径为1的圆的圆,去掉去掉(a, 0)； 当当1m0时时, 顶点顶点A的轨迹是焦点在的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，轴上的椭圆， 去掉去掉(a, 0)； 当当m0时时, 顶点顶点A的轨迹是焦点在的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，轴上的双曲线， 去掉去掉(a, 0).(0).ABACkkm m 22221().xymaaa m 221,.bmma 若若则则有有| | | |= =对比发现对比发现2：22221.,:1(0),xyA BCabPCabA B若若点点是是椭椭圆圆的的左左右右顶顶点点，点点 是是椭椭圆圆 上上除除以以外外任任意意一一点点，则则有有22.PAPBbkka 22222.,:1(0,0),xyA BCabPCabA B若若点点是是双双曲曲线线的的顶顶点点，点点 是是双双曲曲线线 上上除除以以外外任任意意一一点点，则则有有22.PAPBbkka 1. 若点若点A, B是椭圆是椭圆C: 的左右的左右顶点顶点，点，点P是椭圆是椭圆C上除上除A, B以外以外任意一点，则任意一点，则22221(0)xyabab推论推论1. 若点若点A, B是椭圆是椭圆C: 上任意关于椭圆中心对称的两点，上任意关于椭圆中心对称的两点，点点P是椭圆是椭圆C上除上除A, B以外任意一点，则以外任意一点，则22221(0)xyabab22.PAPBbkka 22.PAPBbkka 推论推论2. 若点若点A, B是椭圆是椭圆C: 上任意关于椭圆中心对称的两点，上任意关于椭圆中心对称的两点，点点P是椭圆是椭圆C上除上除A, B以外任意一点，则以外任意一点，则22221(0)yxabab22.PAPBakkb 2.(中点弦中点弦)若若A, B是直线是直线l(斜率存在且不为斜率存在且不为0)与椭圆与椭圆C: 的两个的两个交点，点交点，点P是是AB的中点，则的中点，则)(012222babyax22.ABOPbkka 与椭圆有关的结论：与椭圆有关的结论：1. 若点若点A, B是双曲线是双曲线C: 的左右的左右顶点顶点，点，点P是双曲线是双曲线C上除上除A, B以外任意一点，则以外任意一点，则22221(0,0)xyabab推论推论1. 若点若点A, B是双曲线是双曲线C: 上任意关于双曲线中心对称上任意关于双曲线中心对称的两点，点的两点，点P是双曲线是双曲线C上除上除A, B以外任意一点，则以外任意一点，则22221(0,0)xyabab22.PAPBbkka 22.PAPBbkka 推论推论2. 若点若点A, B是双曲线是双曲线C: 上任意关于双曲线中心对称上任意关于双曲线中心对称的两点，点的两点，点P是双曲线是双曲线C上除上除A, B以外任意一点，则以外任意一点，则22221(0,0)yxabab22.PAPBakkb 2.(中点弦中点弦)若若A, B是直线是直线l(斜率存在且不为斜率存在且不为0)与双曲线与双曲线C: 的的两个交点，点两个交点，点P是是AB的中点，则的中点，则22221(0,0)xyabab22.ABOPbkka 与双曲线有关的结论：与双曲线有关的结论：221222121xyF FPabF PF 结结论论: :已已知知, ,是是双双曲曲线线的的两两个个焦焦点点， 是是双双曲曲线线上上与与左左右右顶顶点点不不重重合合的的点点, ,且且, ,则则双曲线的焦点三双曲线的焦点三角形面积公式角形面积公式122.tan2PF FbS 12|PFmPFn设设，, ,则则有有222| 2,(2 )2cosmnacmnmn 解得解得22.1cosbmn 证明：证明：121sin2PF FSmn 2sin1cosb 2.tan2b yOF1F2Px 22222.15151259xyxy 双双曲曲线线与与椭椭圆圆的的焦焦点点相相同同；221515xy 双双曲曲线线化化成成标标准准方方程程为为证明证明: 221.15xy 2215,1,ab 224.cab x又又由由双双曲曲线线方方程程知知，焦焦点点在在 轴轴上上，( 4,0).c 双双曲曲线线的的焦焦点点坐坐标标为为2215,3,.259xyabx 由由椭椭圆圆方方程程, ,可可得得且且焦焦点点在在 轴轴上上4( 4,0).c ，焦焦点点坐坐标标为为222215151.259xyxy 双双曲曲线线与与椭椭圆圆的的焦焦点点相相同同22122124.1(0)812|5|.xyaFFMaMFMF 双双曲曲线线的的两两个个焦焦点点分分别别是是与与，焦焦距距为为 ；是是双双曲曲线线上上的的一一点点，且且，求求的的值值28,4.cc 由由已已知知条条件件可可得得12|4.MFMF 由由双双曲曲线线定定义义，可可得得22| 1|9.MFMF 或或解解: 222122.bacb 又又，1|5,MF 22|2|9.MFMF 又又, ,