3.3应用赵爽弦图推导基本不等式课件--高一下学期数学北师大版必修5.pptx

北师大版高中数学必修北师大版高中数学必修5 5微课堂： 赵爽，又名婴，字君卿，东汉末至三国时代吴国人。赵爽，又名婴，字君卿，东汉末至三国时代吴国人。三国时期东吴的数学家，他是我国历史上著名的数学家三国时期东吴的数学家，他是我国历史上著名的数学家与天文学家，约生活于公元与天文学家，约生活于公元3 3世纪初。他所作的周髀世纪初。他所作的周髀算经注中有一篇勾股圆方图注全文五百余字，并算经注中有一篇勾股圆方图注全文五百余字，并附有云幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉附有云幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。是依据几何图形面积的换算关系。创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题这是这是20022002年在北京召开的年在北京召开的第第2424届国际数学家大会会届国际数学家大会会标会标是根据中国古代标会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的。数学家赵爽的弦图设计的。颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考思考1：这个会标中含：这个会标中含有怎样的几何图形？有怎样的几何图形？思考思考2：你能否在这个：你能否在这个图案中找出一些相等图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？仔细观察，提出设想仔细观察，提出设想互动交流互动交流 研讨新知研讨新知ab1 1、正方形、正方形ABCDABCD的的 面积面积S=S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积之和面积之和S S1 1= =2ab、正方形、正方形EFGHEFGH的面积的面积S S2 2= =（b-ab-a）2 2 探究：探究：问：问： S S ， S S1 1 ， S S2 2 之间有何关系之间有何关系？cc2互动交流互动交流 研讨新知研讨新知abc探究：探究：显然：显然： S = S S = S1 1 + S+ S2 2即：即： C C2 2=2ab+=2ab+（b-ab-a）2 2 c2=a2+b2这就是大家熟悉的勾股定理！这就是大家熟悉的勾股定理！互动交流互动交流 研讨新知研讨新知abc探究探究2 2：显然：显然：S = SS = S1 1 + S+ S2 2 C C2 2=2ab+=2ab+（b-ab-a）2 2 c2=a2+b2又（又（b-ab-a）2 2 00a2 2+b2 2 2ab2ab 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 a2 2+b2 2 2ab2ab当当且仅当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab即：即： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 a2+b2 2ab2ab，当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。基本不等式变换基本不等式变换若若a a00，b b00，则，则2abab当且仅当当且仅当 a a= =b b 时取等号时取等号基本不等式基本不等式 正数正数a a，b b的算术平均数，的算术平均数， 正数正数a a，b b的几何平均数；的几何平均数；2abab2ababab变形变形2(2)2abab(1)2abab均值不等式均值不等式你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?2ababODOD与与CDCD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD? OD_ _ _CDCD 2abab几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半A AD DB BE EO O C Cb b适用范围适用范围“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=ba,bRa0,b0填表比较：填表比较：基本不等式变换与基本不等式变换与均值不等式均值不等式例题：用例题：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？2()2xyxyx解： 设矩形的长为 m，宽为 m，则yyx2220 xy10 xy即25xy_xy当时 ，25xy 5 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为252m均值不等式应用均值不等式应用