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动力学基本方程 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-dateFv1v2Av1Bv2牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。 1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著自然哲学之数学原理。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。第第 15 15 章章 动力学基本方程动力学基本方程15.1 15.1 动力学的基本定律动力学的基本定律第一定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。15.1 15.1 动力学的基本定律动力学的基本定律第二定律(力与加速度关系定律) m aF在经典力学中质点的质量是守恒的在经典力学中质点的质量是守恒的质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。d()dmtvF15.1 15.1 动力学的基本定律动力学的基本定律mPgm Pg国际计量标准g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。由第二定律有或229.78049(1 0.0052884sin0.0000059sin 2g为纬度15.1 15.1 动力学的基本定律动力学的基本定律 必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。 以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。221ddniimmtraF2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影222222111ddd,dddnnnxiyiziiiixyzmFmFmFttt3. 质点运动微分方程在自然轴上投影2tnb111d, 0dnnniiiiiivvmFmFFt1. 矢量形式的质点运动微分方程15.2 15.2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程15.2 15.2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。 第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。例10.1例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为xa cos wt，ya sin wt，求作用在质点上的力F。ijvrF解：以质点M为研究对象。分析运动：由运动方程消去时间 t，得12222byax质点作椭圆运动。将运动方程对时间求两阶导数得：22cos,sinxatybtwwww 代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：22cos,sinxyFmxmat Fmymbtwwww 22222cossin( cossin)()xyFFmatmbtmatbtmxymwwwwwwwww Fijijijijr力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。yxxbaOM例10.3 例2 从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。 0vvmg解：研究抛射体, 列直角坐标形式的质点运动微分方程2222dd0,ddxymmmgtt 积分后得xyM213241,2xC tCygtC tC初始条件为0000000: 0,cos ,sinxytxyvvvvaaacos0tvx 2021gttvy 轨迹方程为：aa2202cos2vgxxtgy由此可见，物体的轨迹是一抛物线。于是物体的运动方程为：确定出积分常数为：102034cos ,sin,0CvCvCCaa15.3.1 15.3.1 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程12,nF FF主动力主动力: :约束力约束力: :21NN,FF2tetiti iii iiineniniii iiim rm rFFmm rFFaaaw对刚体内任一质点,根据质点动力学基本方程：第一式两边同时乘以 ，可得：iretiti iizizimrrMFMFa对整个刚体则有：etiti iizizietezizimrrMFMFMFMFa 15.3.115.3.1刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程d( )dzzJMFtw 或或:()zzJMFa 则有：则有：22d( )dzzJMFt 或或刚体定轴转动微分方程称为刚体对转轴 z轴的转动惯量2zi iJmr 令令21nziiiJm r 15.3.2 15.3.2 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 1. 1. 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算(1)(1)均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由由 ，得，得420(2d)24ROAARJrr r222mRmRRmJiiz（2 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量2diiiAmr r（3 3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量2AmR式中式中：221mRJO 或或15.3.2 15.3.2 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量2. 2. 回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径） mJzz2zzmJ或或2CzzJJmd3 3平行轴定理平行轴定理Czdzz 式中式中 轴为过质心且与轴为过质心且与 轴平行的轴，轴平行的轴， 为为Cz与与 轴之间的距离。轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积与两轴间距离平方的乘积. .15.3.2 15.3.2 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量2211()CziJm xy )(222yxmrmJiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(证明证明：2CzzJJmd015.3.2 15.3.2 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量4 4组合法组合法OJ 求求： .ld已知：杆长为已知：杆长为 质量为质量为 ，圆盘半径为，圆盘半径为 ，质量为，质量为 . .1m2m盘杆OOOJJJ2131lmJO杆2222)2()2(21dlmdmJO盘)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmJO解解：15.3.2 15.3.2 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量21JJJz2222112121RmRm解解：222mR l211mR l其中其中2212 ()l RRm由由 ，得得)(212221RRmJz44121 ()2zJl RR222212121 ()()2l RRRR21,RRm已知：已知： 。zJ 求求 ： . .15.3.2 15.3.2 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量
