D3-4函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

2P134T5(1, 2),(2, 3),(3, 4)上上. .( )(1)(2)(3)(4),f xxxxx 不不用用求求出出函函数数的的导导数数( )0.fx 说说明明方方程程有有几几个个实实根根, ,并并指指出出它它们们所所在在的的区区间间解：解：(1)(2)(3)(4)0( ).fffff x 由由已已知知, ,且且为为多多项项式式函函数数( )1,2f x则则在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件, ,11(1,2),()0.f 使使同同理理，22(2,3),()0.f 使使33(3,4),()0.f 使使( )0fx 至至即即方方程程三三少少有有个个实实根根，( )0fx 由由于于方方程程是是三三次次方方程程，( )0fx 至至多多有有所所以以方方程程三三个个实实根根，( )0fx 综综上上只只有有三三所所述述: :方方程程个个实实根根, ,它它们们分分别别在在区区间间3证明等式证明等式arcsinarccos, 1,1.2xxx 证证: 设设( )arcsinarccos,f xxx ( 1,1) 则则在在上上( )fx ( )arcsin( 1,1)arccosf xxxC 则则在在上上 (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2C ( 1),2f 又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1,1 211x 211x 0 P134 T6 推论推论: 若函数若函数( )f xI则则在在 上上是一个常数是一个常数.( )( )0,f xIfx 在在区区间间 上上满满足足4000 ,1 , 型型 型型0 型型00型型 型型1gffg1111gfgffg gyf 令令lngfye 回味：回味：( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 洛必达法则洛必达法则5第四节一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三三章 6( ) , f xC a b ( , )a b ( )( )( ),f bf afba ( )( , )f xD a b 1.拉格朗日定理：拉格朗日定理：复习：复习：12( ),f xC xx 12(,)xx 2121()()( )()f xf xfxx 12( )(,)f xD xx 1212,xxIxx 当当时时，12()(),f xf x 若若称称 ( )f x为为 I 上的上的单调单调增增函数函数 ;12()(),f xf x 若若称称 ( )f x为为 I 上的上的单调单调减减函数函数 ;( ),.yf xxDID 设设区区间间2.增减函数的定义：增减函数的定义：7定理定理1：( )0(1( , )xa bfx 若若有有证明：证明：1212, , ,x xa bxx , ,且且由拉格朗日中值定理由拉格朗日中值定理,得得2121()()( )()f xf xfxx ，)(21xx , 012 xx( )0,f 21()( )f xf x 21()( )f xf x ( )0,f ( ) , f xa b在在上上单单调调增增加加. .( ) , ( , ).yf xa ba b 设设函函数数在在上上连连续续, ,在在内内可可导导( )0(2( , )xa bfx 若若有有( ) , f xa b在在上上单单调调减减少少. .( )0(1( , )xa bfx 若若有有( ) , f xa b在在上上单单调调增增加加. .( )0(2( , )xa bfx 若若有有( ) , f xa b在在上上单单调调减减少少. .证毕证毕1.利用导数的符号判断函数的单调性利用导数的符号判断函数的单调性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法说明：说明：(2)单调区间应首先为连续区间单调区间应首先为连续区间.(1)定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调上单调递增递增( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调上单调递减递减定理定理1：I其其中中 为为开开区区间间8例例1.ln(1).yxx 讨讨论论函函数数的的单单调调性性解解:111yx 00,yx 令令，得得x)0 , 1( ), 0( y y则单调增加区间是：则单调增加区间是：0,) ，单调递减区间是：单调递减区间是：).0 , 1( 的定义区间为的定义区间为，),1( )1ln(xxy ，xx 1列列表表判判断断如如下下：( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调上单调递增递增( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调上单调递减递减定理定理1：求求)(xf的连续区间；的连续区间；求求，)(xf 求驻点和不可导点；求驻点和不可导点；用中的点分割连续区间用中的点分割连续区间,列表判断列表判断.经验：求经验：求 的单调区间的单调区间(判断单调性判断单调性)的步骤的步骤:)(xf化为化为积商；积商；9例例2.解解:.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导导数数不不存存在在时时当当 xxy y )0 ,( ),0( 则单调增加区间是：则单调增加区间是：，), 0( 单调递减区间是：单调递减区间是：(,0.列列表表判判断断如如下下：注意到：注意到：x驻驻点点或或导导数数不不存存在在的的点点 可可能能是是增增减减区区间间的的分分界界点点. .yOx32yx 10( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调上单调递增递增( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调上单调递减递减定理定理1：说明说明: 1) 如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性 .例如例如,3,(,)yxx 23yx 00 xy 2)定理中的条件是定理中的条件是充分条件充分条件而非必要条件，而非必要条件，( )0.f x 单单增增3)定理中定理中( )0( )0fxfx 换换成成，若等号仅在若等号仅在有限个有限个点点处处成立成立,则函数仍单调增加则函数仍单调增加.4) 函数的单调性是一个区间上的性质函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在区间要用导数在区间I上的符号来判定上的符号来判定,而而不能用一点处的导数符号不能用一点处的导数符号来判别区来判别区间间I上的单调性上的单调性( )0.f x 单单增增yOx3yx 11例例3.证证:0,ln(1).xxx 当当时时 试试证证成成立立( )ln(1),f xxx 设设( ).1xfxx 则则( )0,),(0,),( )0,f xfx 在在上上连连续续 且且在在内内可可导导( )0,)f x 在在上上单单调调增增加加；(0)0f 由由于于时，时，当当0 xln(1)0,xx ).1ln(xx 即即2.利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式.经验：经验：用单调性证明不等式的步骤：用单调性证明不等式的步骤：将不等式变形为一边为零将不等式变形为一边为零, ,另一边就是要设的另一边就是要设的( ).f x辅辅助助函函数数判断判断 的单调性的单调性. . ( )f x与端点的函数值比较可得所证与端点的函数值比较可得所证的不等式的不等式.( )(0)f xf 12例例4. 21:01,.1xxxex 证证明明 当当时时证证: 只要证只要证2(1)10 (01)xx exx 2( )(01)1()1,xxf xx ex 设设，(0)0f 则则2( )(12 )1,xfxx e (0)0f 2( )40(01)xfxxex 0,1()fx 在在上上单单调调减减，01,( )(0)0 xfxf 当当时时01,( )(0)0 xf xf 当当时时0,1( )f x在在上上单单调调减减，所以原不等式成立所以原不等式成立.说明：说明：1)为快速的证明为快速的证明, ,可对不等式做恒等变形后可对不等式做恒等变形后再设辅助函数再设辅助函数.01x如如：时时，11xxxeex ()提提示示：两两边边取取对对数数2)为证不等式为证不等式( )0( ).fxfx , ,可可用用的的单单调调性性13例例5. 证明方程证明方程5510 xx 5( )51,f xxx 设设(0)1,(1)3.ff 且且0()0,f x 使使有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的正实根的正实根.证证: 1) 存在性存在性 .( )0,1,f x则则在在上上连连续续由由零点定理零点定理知存在知存在0(0,1),x 即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根0.x2) 唯一性唯一性 .44( )555(1)0,(0,1)fxxxx ( )0(0,1)f x 在在内至多有一个实根内至多有一个实根.所以方程有且仅有一个小于所以方程有且仅有一个小于 1 的正根的正根.定理：单调函数在其单调区间内最多有一个零点定理：单调函数在其单调区间内最多有一个零点.3.利用单调性证明根的惟一性利用单调性证明根的惟一性,讨论方程根的个数讨论方程根的个数.0,1( )f x在在上上单单调调减减，思考思考:如何讨论方程如何讨论方程 有几个实根？有几个实根？( )0f x 14试确定试确定 的根的个数的根的个数,并指出根的范围并指出根的范围.2xeax 例例6. 解：解：做恒等变形做恒等变形(分离常数分离常数)21xx ea 令令21( )xf xx ea ( )(2)xfxxx e 得驻点：得驻点：0,2xx有三个单调区间有三个单调区间(,0),(0,2),(2,)1lim( ),(0)0,xf xfa 211(2)4, lim( )0.xfef xaa 讨论：讨论：(2)0f 时有三个根在时有三个根在(,0),(0,2),(2,)(2)0f 时有两个根在时有两个根在(,0)2x 和和(2)0f 时有一个根在时有一个根在(,0).02x 0a 由由已已知知15回忆回忆( )0fx 若若( )f x 增增，( )0fx 若若( )fx 增增；( )0f x 若若( )0fx 若若( ).fx 减减观察：观察：2(0,)yxyx 与与在在内内单单调调增增加加， 虽然都是虽然都是增增函数，函数，但曲线的形状不一样但曲线的形状不一样.2xy xy yxo( )f x 减减， 所以为了解曲线的形状，所以为了解曲线的形状，只知道单调性是不够的只知道单调性是不够的.16二、二、曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点.问题问题:xyoxyo)(xfy 曲线弧曲线弧位于任一位于任一切线切线下方下方.xyo)(xfy 曲线弧曲线弧位于任一位于任一切线切线上方；上方；ABC如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?凹凹凸凸17yox2x1x221xx 1.定义：定义：( )f xI设设函函数数在在区区间间 上上连连续续，12,xxI ，(1) 若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，( )f x则则称称的的图图形形是是凹凹的的；(2) 若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，( )f x则则称称的的图图形形是是凸凸的的；yox1x221xx 2x说明：说明：曲线：凹（凸）弧曲线：凹（凸）弧 ：凹凸区间：凹凸区间.I切线上的纵坐标切线上的纵坐标 凸函数的函数值凸函数的函数值 弦上的纵坐标弦上的纵坐标. 凸弧凸弧:181x2x1x2x1 2 1 2 凹凹2121),(,xxbaxx 21kk )()(21xfxf )(xf 单调增单调增( )0fx ；特征：特征： 凹凹( )0.fx 凸凸2121),(,xxbaxx 21kk )()(21xfxf )(xf 单调减单调减( )0fx ；特征：特征： 凸凸( )0.fx 反之：反之：( )0fx 凹，凹，( )0fx 凸凸 成立吗？成立吗？)(xfy xyoabAB)(xfy xyoab192.凹凸性的判定定理：凹凸性的判定定理：( ) , ( , ).(1)( , )( )0( ) , (2)( , )( )0( ) ,2f xa ba ba bfxf xa ba bfxf xa b 设设在在上上连连续续, ,在在内内具具有有一一阶阶和和二二阶阶导导数数如如果果在在内内, ,则则在在上上的的图图形形是是的的；如如果果在在内内, ,则则在在上上的的图图形形定定理理 ：凹凹是是凸凸的的. .注意：注意： 该定理换成其它区间仍然成立该定理换成其它区间仍然成立.( )0,( )fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上是是凹凹的的. .( )0,( )fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上是是凸凸的的. .+注意注意:函数的函数的凹凸区间凹凸区间应首先为它的应首先为它的连续区间连续区间.定理定理2：例例1.lnyx 判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解：解：ln(0,),yx 的的定定义义域域为为211,yyxx (0,),0 xy 且且ln(0,)yx 在在内内是是凸凸的的. .I其其中中 为为开开区区间间20例例2.3xy 解：解：,32xy ,6xy ,0 y, 0 y注意到注意到,判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.0 x当当时，时，0 ,( 所以在所以在内是凸的内是凸的.0 x当当时，时，), 0 所以在所以在内是凹的内是凹的.)0 , 0(点点是曲线是曲线由凸变凹的分界由凸变凹的分界点点.3(,),yx 的的定定义义域域为为说明：说明： 凹凸性可用于证明不等式：如凹凸性可用于证明不等式：如0,0ab 所所以以时时，333().22abab 3(,0).yx 因因在在上上是是凸凸的的1212()()()( )22xxf xf xff x 定定义义: :若若恒恒有有, ,则则称称的的图图形形是是凸凸的的；3yx yOx21例例3. 求求3xy 的凹凸区间的凹凸区间.解：解：定义域为定义域为，),( 2313yx ，35192xy 3xy 有二阶不可导点有二阶不可导点，0 xoxy列表讨论二阶导数的符号列表讨论二阶导数的符号,来判定凹凸性来判定凹凸性.y xy(,0) ), 0( 0 不存在不存在说明：说明： 凹凸区间分界点的可疑点：凹凸区间分界点的可疑点：( )0( ).fxfxx 或或不不存存在在的的 值值3yx 22( )yf x 连连续续曲曲线线上上凹凹弧弧与与凸凸弧弧的的分分界界点点 00,()xf x，.称称为为该该曲曲线线的的拐拐点点(1)定义定义:3.曲线的拐点及其求法：曲线的拐点及其求法：yox2)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.1)拐点是拐点是曲线上曲线上的点的点,是一对有序的实数是一对有序的实数.3)拐点的横坐标是连续区间拐点的横坐标是连续区间内内的点的点,不可能是区间不可能是区间的端点的端点.4)拐点的横坐标的可疑点：拐点的横坐标的可疑点：( )0,( ).fxfxx 不不存存在在的的点点注意注意:(2)求拐点方法求拐点方法1:00()0,.fxx 且且或或在在 处处二二阶阶不不可可导导则则01)( )fxx 若若在在 的的两两侧侧异异号号00(,().xf x为为拐拐点点0( ),f xx设设函函数数在在 的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导02)( )fxx 若若在在 的的两两侧侧不不变变号号00(,().xf x不不是是拐拐点点23例例4. 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.2232(1)yx22434(3)9 (1)xyx 解解: 1) 定义区间：定义区间：1234(1),3yx x 3) 求拐点可疑点的横坐标求拐点可疑点的横坐标0y 令令123 ,3,xx 得得y (,) 2) 不存在的点：不存在的点：1x 4) 列表判别列表判别00凹凹凹凹凸凸不不不不凸凸凸凸拐点拐点拐点拐点(,3) (3,1)( 1,1) y xy3 1 1(1,3)3( 3,)故凹区间为：故凹区间为：(,3),( 3,) ，(3,3) 2233(3,22 ),( 3,22 )拐点为：拐点为：凸区间为：凸区间为：24说明说明1:4( ),(0)0(0 0).f xxf 如如但但 ，不不是是拐拐点点说明说明2:000( ),(,().f xxxf x若若在在 处处二二阶阶不不可可导导也也可可能能是是拐拐点点13,0.yxx如如在在处处二二阶阶不不可可导导, ,但但它它是是拐拐点点说明说明3:0.yxyx 拐拐点点横横坐坐标标的的可可疑疑点点的的点点 及及 不不存存在在的的点点00( )()f xxf x若若二二阶阶可可导导, ,且且，是是拐拐点点0()0.fx .反反之之不不一一定定成成立立求函数的求函数的连续连续区间；区间；求出求出；y 求求0 y的根及的根及y 不存在的根；不存在的根；列表判断列表判断说明说明4:求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：25证：证：0()0,fx 设设(3)求拐点方法求拐点方法2:00000 ( ),(,()0,()0( ).f xxxf xyxxfffx 设设函函数数在在的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导 且且而而那那末末是是曲曲线线的的拐拐点点P154T150000( )()()limxxfxfxfxxx 即即00( )limxxfxxx 0 00()U x 则则000( )(),0fxxU xxx 使使0( )0 xxfx 时时；0( )0.xxfx 时时 00,()( )xf xyf x 所所以以曲曲线线的的拐拐点点. .(2)求拐点方法求拐点方法1:00()0,.fxx 且且或或在在 处处二二阶阶不不可可导导则则01)( )fxx 若若在在 的的两两侧侧异异号号00(,().xf x为为拐拐点点0( ),f xx设设函函数数在在 的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导02)( )fxx 若若在在 的的两两侧侧不不变变号号00(,().xf x不不是是拐拐点点26例例5.sincos(0,2 ).yxx 求求曲曲线线在在内内的的拐拐点点解：解：,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 (0,2 ) 在在内内曲曲线线有有拐拐点点为为37(,0),(,0).44曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.求拐点求拐点2方方法法 适适用用于于：00()0.fxx 的的点点而而0()0,fx 27内容小结内容小结1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别2.曲线凹凸的判别曲线凹凸的判别( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调上单调递增递增( )0,fxxI ( )f x函函数数在在 I 上单调上单调递减递减定理定理1：( )0,( )fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上是是凹凹的的. .( )0,( )fxxIyf xI 曲曲线线在在 上上是是凸凸的的. .定理定理2： 00( ),()xf xyf x 连连续续曲曲线线上上凹凹弧弧与与凸凸弧弧的的分分界界点点，.称称为为该该曲曲线线的的拐拐点点3.拐点的定义拐点的定义:注：注：拐点是拐点是曲线上曲线上的点的点,是一对有序的实数是一对有序的实数.()I设设 为为开开区区间间()I设设 为为开开区区间间28求求)(xf的连续区间，的连续区间，求求，)(xf 求导数等于零的点和不可导点，求导数等于零的点和不可导点，用以上的点分割定义区间用以上的点分割定义区间,列表判断列表判断.4.求求 的单调区间的单调区间(判断单调性判断单调性)的步骤的步骤:)(xf化为化为积商，积商，单调性的应用有单调性的应用有:(1)可以确定某些方程实可以确定某些方程实根的个数根的个数.(2)证明不等式证明不等式.求函数的求函数的连续连续区间；区间；求出求出；y 求求0 y的根及的根及y 不存在的根；不存在的根；列表判断列表判断5.求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：凹凸性的应用有凹凸性的应用有:(1)证明不等式证明不等式,(2)求拐点求拐点. .290,1( )0,(0),(1),(1)(0),(0)(1)fxffffff 设设在在上上则则的大小顺序是的大小顺序是 ( )( )(1)(0)(1)(0)Affff BP182T2(1)思考与练习思考与练习:( )(1)(1)(0)(0)Bffff ( )(1)(0)(1)(0)Cffff ()(1)(0)(1)(0)Dffff 提示提示:( )fx 利利用用的的单单调调性性，(1)(0)( ) (01)fff 作业作业:P152 3(1) (7),5(4) (5),9(3) (6), 10(3),12. 预习预习:P154-160思考：思考：P153 T 4,7