2008年高考试题——数学理（福建卷）.doc

2008年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数 学（理科）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，第卷第1至第2页，第卷第2至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。参考公式：如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径P(AB)=P(A)+P(B) 第一卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）A）1 B）2 C）1或2 D）-1设集合，那么“”是“”的（ ） A）充分而不必要条件 B）必要而不充分条件C）充要条件 D）既不充分也不必要条件设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前7项的和为（ ）A）63 B）64 C）127 D）128函数，若，则的值为（ ）A）3 B）0 C）-1 D）-2某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A） B） C） D）如图，在长方体中， 则与平面所成角的正弦值为（ ） A） B） C） A）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）A）14 B）24 C）28 D）48若实数，则的取值范围是（ ） A） B） C） D）函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则的值可以为（ ） A） B） C） D）在中，角A、B、C的对边分别为、，若，则角B的值为（ ） A） B） C）或 D）或双曲线的两个焦点为、，若P为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A） B） C） D）已知函数的导函数的图象如右图， 那么的图象可能是（ ）第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。若，则 。（用数字作答）若直线与圆(为参数)没有公共点，则实数的取值范围是 。若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 。设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意、，都有、（除数），则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域；数集也是数域。有下列命题： 整数集是数域； 若有理数集，则数集必为数域；数域必为无限集； 存在无穷多个数域。其中正确的命题的序号是 。（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)（本小题满分12分） 已知向量，且A为锐角。 ()求角A的大小； ()求函数的值域。(18)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，O为AD中点。 ()求证：平面； ()求异面直线与所成角的大小； ()线段上是否存在点，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。(19)（本小题满分12分） 已知函数 ()设是正数组成的数列，前项和为，其中，若点在函数的图象上，求证：点也在的图象上； ()求函数在区间内的极值。(20)（本小题满分12分） 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 ()求他不需要补考就可获得证书的概率；()在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E。(21) （本小题满分12分） 如图，椭圆的一个焦点是，O为坐标原点。 ()已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； ()设过点F的直线交椭圆于A、B两点。若直线绕点F任意转动，恒有，求的取值范围。(22) （本小题满分14分） 已知函数。 ()求的单调区间； ()记在区间上的最小值为，令。 ()如果对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；()求证：。 数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B由得,且（2）A由得,可知“”是“”的充分而不必要条件.（3）C由及是公比为正数的等比数列，得公比（4）B注意到为奇函数，又故即.（5）B由（6）D 连与交与O点,再连BO,则为所成角,下面就是计算了.（7）A只少一名女生可用间接法即。（8）C可看做可行域中的点与原点构成直线的低斜率.（9）A,而f(x)=cosx (xR)的图象按向量(m,0) 平移后得到,所以,故可以为.（10）D由得即,又在中所以B为或.（11）B可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系（12）D 从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应该斜率慢慢变小,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x).二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）31令,再令（14）此圆的圆心为(-1.2),因为要没有公共点,所以根据圆心到直线的距离大于半径即可;或者可以联立方程根据二次函数的.（15）9依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径. ,（16）要满足对四种运算的封闭,只有一个个来检验，如对除法如不满足，所以排除；对当M中多一个元素则会出现所以它也不是一个数域；成立.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分.解:()由题意得由A为锐角得,()由()知,所以 因为,所以,因此,当时,有最大值,当时,有最小值-3,所以所求函数的值域是(18)本小题主要考查直线与平面位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。解法一：（）证明：在PAD中PA=PD,O为AD中点，所以POAD,又侧面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）连结BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OBDC.由（）知，POOB,PBO为锐角，所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以OB，在RtPOA中，因为AP，AO1，所以OP1，在RtPBO中，tanPBO所以异面直线PB与CD所成的角是.（）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.设，则，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.解法二：()同解法一.()以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以所以异面直线PB与CD所成的角是， ()假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由()知设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).则所以即，取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点Q满足题意，此时.(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. ()证明：因为所以, 由点在函数y=f(x)的图象上, 又所以 所以,又因为,所以, 故点也在函数y=f(x)的图象上.()解:,由得.当x变化时,的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分. 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B，“科目B补考合格”为事件B. ()不需要补考就获得证书的事件为A1B1,注意到A1与B1相互独立，则.答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.()由已知得，2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 故答：该考生参加考试次数的数学期望为.(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一：()设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形， 所以, 即1 因此，椭圆方程为 ()设 ()当直线 AB与x轴重合时， ()当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角. 即恒成立. 又,所以对mR恒成立，即对mR恒成立.当mR时，最小值为0，所以. ,因为a>0,b>0,所以,即,解得a>或a<(舍去)，即a>,综合（i）(ii)，a的取值范围为（，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线l垂直于x轴时，x=1代入=1.因为恒有,，即>1,解得a>或a<(舍去)，即a>.（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）, B（x2,y2）.设直线AB的方程为y=k(x-1)代入得,故x1+x2=因为恒有,所以,得恒成立.=.由题意得对kR恒成立.当时，不合题意；当时，a=;当时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0,解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分.解法一：（I）因为，所以函数定义域为（-1,+）,且.由得-1<x<0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）；由得x>0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.(II)因为f(x)在0,n上是减函数，所以,则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(i)> 又lim,因此c<1，即实数c的取值范围是（-，1）.（II）由（i）知因为2=所以(nN*),则N*）解法二：（）同解法一.（）因为f(x)在上是减函数，所以则（i）因为对nN*恒成立.所以对nN*恒成立.则对nN*恒成立.设 nN*，则cg(n)对nN*恒成立.考虑因为0，所以内是减函数；则当nN*时，g(n)随n的增大而减小，又因为1.所以对一切因此c1,即实数c的取值范围是(-，1.() 由()知 下面用数学归纳法证明不等式 当n=1时，左边，右边，左边<右边.不等式成立. 假设当n=k时,不等式成立.即当n=k+1时，=即nk1时，不等式成立综合、得，不等式成立.所以即.