2008年高考试题——数学理（湖北卷）.doc

绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷共4面，满分150分，考试时间120分钟祝考试顺利注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘巾在答题卡上指定位置。2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上，对应题目的答案标号涂写，如写改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。3. 非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字夂答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设，则A.(-15,12)B.0 C.-3 D.-112. 若非空集合A,B,C满足AB=C，且B不是A的子集，则A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B. “xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C. “xC”是“xA”的充分条件D. “xC”是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件3. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的休积为A. B. C. D. 4. 函数f(x)=的定义域为A.(- ,-4)2,+ B.(-4,0) (0,1)C. -4,0（0，1）D. 4，0（0，1）5.将函数的图象F按向量（，3）平移得到图象F,若F的一条对称轴是直线x=,则的一个可能取值是A. B. C. D. 6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为A.540 B.300 C.180 D.1507.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是 A.-1，+ B.（-1，+） C.（-，-1） D.（-，-1）8.已知mN*,a,bR，若,则ab=A-m Bm C-1 D19.过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有A.16条 B.17条 C.32条 D.34条10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：;.其中正确式子的序号是A.B.C.D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.11.设z1是复数，(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是-1，则z2的虚部为 .12在ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则的值为 .13.已知函数,其中xR，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为 .14.已知函数f(x)=2x,等差数列ax的公差为2.若,则= .15.观察下列等式：可以推测，当x2（kN*）时， ak-2= .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数f(t)=（）将函数化简成的形式；（）求函数的值域.17.（本小题满分12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（）求的分布列，期望和方差；（）若,试求a,b的值.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面.（）求证：；（）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断的大小关系，并予以证明.19.（本小题满分13分）如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，POB=30，曲线C是满足为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.若OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.20.(本小题满分12分)水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V（t）=（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第月份（i=1,2,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.21.(本小题满分14分)已知数列和满足：，其中为实数，n为正整数.（）对任意实数，证明数列不是等比数列；（）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（）设0ab,为数列的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分50分.1.C 解析：由题意可知：，2.B 解析：由韦恩图，知正确3.B 解析：易知球的半径是，所以根据球的体积公式知，故B为正确答案4.D 解析：要使函数有意义，则有 5.A 解析：依题意可得图象的解析式为,当对称，根据选项可知A正确。6.D 解析：将分成满足题意的份有，与，两种，所以共有种方案7.C 解析：由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以8.A 解析：易知由洛必达法则有，所以9.C 解析：可知过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,所以共有弦长为整数有。10.B 解析：由焦点到顶点的距离可知正确，由椭圆的离心率知正确，故应选二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分25分.11.1解析：设由复数相等有：，则12. 解析：由余弦定理有，原式=13. 解析：由题意知所以，所以解集为。14.-6解析：依题意有。而15. ，0解析：由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以。三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（）（）由得在上为减函数，在上为增函数，又（当），即故g(x)的值域为17.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）解：（）的分布列为：01234P（）由，得a22.7511，即又所以当a=2时，由121.5+b,得b=-2; 当a=-2时，由1-21.5+b，得b=4.或即为所求.18.本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）（）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，则由平面A1BC侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA1AD=A,从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBC.（）解法1：连接CD，则由（）知是直线AC与平面A1BC所成的角，是二面角A1BCA的平面角，即于是在RtADC中，在RtADB中，由ABAC，得又所以解法2：由（）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则由得可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.所以于是由cb，得即又所以19.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为0，b0）.则由 解得a2=b2=2,曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由式得x1+x2=,于是EF而原点O到直线l的距离d，SDEF=若OEF面积不小于2,即SOEF，则有 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1(1-,1) (1, ).解法2：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， .k（-，-1）（-1，1）（1，）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x1-x2= 当E、F在同一去上时（如图1所示），SOEF当E、F在不同支上时（如图2所示）.SODE=综上得SOEF于是由OD2及式，得SOEF=若OEF面积不小于2 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1（-1，1）（1，）.20.本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）解：（）当0t10时，V(t)=(-t2+14t-40)化简得t2-14t+40>0,解得t4，或t10，又0t10，故0t4.当10t12时，V（t）4（t-10）（3t-41）+5050,化简得（t-10）（3t-41）0,解得10t，又10t12,故 10t12.综合得0<t<4,或10<t12,故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.()()知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V（t）= 令V(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).当t变化时，V(t) 与V (t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0-V(t)极大值由上表，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e2+50-108.52(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）（）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22=a1a3,即矛盾.所以an不是等比数列.()解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1x-(+18),所以当18，bn=0(nN+),此时bn不是等比数列：当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nN+).故当-18时，数列bn是以（18）为首项，为公比的等比数列.()由（）知，当=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得Sn=-要使a<Sn<b对任意正整数n成立，即a<-(+18)1（）nb(nN+) 当n为正奇数时，1<f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a<-(+18),<当a<b3a时，由b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；当b>3a存在实数，使得对任意正整数n,都有a<Sn<b,且的取值范围是（b-18,-3a-18）.