2008年高考试题——数学文（安徽卷）.doc

绝密启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）安徽省庐江矾山中学 卢俊本考卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷第1至第2页，第卷第3至第4页。全卷满分为150分，时间120分钟。考生注意事项：1答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2答第卷时，每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3答第II卷时，必须使用毫米黑色笔迹签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确定后再用毫米黑色笔迹签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。4考试结束，务必将试题和答题卡一并上交。参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 其中表示球的半径如果事件相互独立，那么球的体积公式 其中表示球的半径第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若A为全体正实数的集合，则下列结论正确的是：A BC D2若，则A B C D3已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是：A若，则 B若，则C若，则 D若，则40是方程有一个负根的：A必要不充分条件 B充分必要条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件5在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则ABC的大小为：A B C D6函数的反函数为：A B C D7，则中奇数的个数为：A2 B3 C4 D58函数的图象的对称轴方程可能是：A B C D9设函数，则：A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数10若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为：A B C D11若A为不等式组表示的平面区域，则当从变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为；A B1 C D21212名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排的8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不便，则不同调整方法的种数为：A B C D（在此卷上答题无效）绝密起用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用毫米黑色笔迹签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上.13函数的定义域为 。14已知双曲线的离心率为，则 。15在数列中，其中、为常数，则 。16已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD，BCCD，若，则B、C两点间的球面距离是 。三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的值域。18（本小题满分12分）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片上印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”。（）现对三位被测试者先后进行测试。第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取一张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；（）若某位被测试者从这10张卡片中一次随机抽取3张，求这3张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。ODBMAC19（本小题满分12分）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，OA底面ABCD， OA = 2，M为OA的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到面OCD的距离。20（本小题满分12分）已知函数，其中为实数，且。（）已知函数在处取得极值，求的值；（）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。21（本小题满分12分）设数列满足，其中、为实数，且。（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项的和；（）若对任意成立，证明：。22（本小题满分14分）已知椭圆C：，其相应于焦点的准线方程为。（）求椭圆C的方程；（）已知过点倾斜角为的直线分别交椭圆C于A、B两点，求证：；（）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B和D、E，求的最小值。参考答案第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若A为全体正实数的集合，则下列结论正确的是：A BC DD 【解析】，故选D。2若，则A B C DB 【解析】，故选B。3已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是：A若，则 B若，则C若，则 D若，则B 【解析】 或与相交，A不正确； ，B正确； ，或与相交或与异面，C不正确； ，或与相交，D不正确。 故选B。40是方程有一个负根的：A必要不充分条件 B充分必要条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件B 【解析】 0方程有一个负根；反之，方程有一个负根0。故选B5在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则ABC的大小为：A B C DA 【解析】由余弦定理得：，故选A。6函数的反函数为：A B C DC 【解析】，故选C。7，则中奇数的个数为：A2 B3 C4 D5A 【解析】只有和是奇数，其他都是偶数，故选A。8函数的图象的对称轴方程可能是：A B C DD 【解析】，是函数的图象的一条对称轴，故选D。9设函数，则：A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数A 【解析】，有最大值，故选A。10若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为：A B C DD 【解析】显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即，直线与曲线有公共点，解得，故选D。11若A为不等式组表示的平面区域，则当从变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为； A B1 C D2C 【解析】当从变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域如图中的阴影部分，显然，这部分面积大于1而小于2，故选C。1212名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排的8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不便，则不同调整方法的种数为：A B C DC 【解析】从后排的8人中抽2人有种方法，把抽出的2人插入前排，其他人的相对顺序不便有种方法，故共有种不同调整方法，选C。第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上.13函数的定义域为 。 【解析】由解得，的定义域为。14已知双曲线的离心率为，则 。4 【解析】由解得，15在数列中，其中、为常数，则 。 【解析】 由知数列是首项为公差为4的等差数列，故。DAOBC16已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD，BCCD，若，则B、C两点间的球面距离是 。 【解析】由题设易知AD的中点O为球心，且OB = OC = 4，又在直角ABC中，B、C两点间的球面距离为。三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知函数（）求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的值域。本题主要考查三角函数式的化简、三角函数的图象及性质，区间上的三角函数的值域等。考查运算能力和推理能力。解：（）所以周期为。（），又在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时取得最大值1。又，当时取得最小值。函数在区间上的值域为。18（本小题满分12分）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片上印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”。（）现对三位被测试者先后进行测试。第一位被测试者从这10张卡片中随机抽取一张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率；（）若某位被测试者从这10张卡片中一次随机抽取3张，求这3张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。 本题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题和解决问题的能力。解：（）每次测试中，被测试者从0张卡片中随机抽取的张卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取1张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为。（）设表示所抽取的三张卡片中，恰有张卡片上的拼音带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为，则，因而所求的概率为。19（本小题满分12分）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，OA底面ABCD， OA = 2，M为OA的中点。（）求异面直线AB与MD所成角的大小；（）求点B到面OCD的距离。 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。ODBMACPQ解：方法一（综合法）（）CDAB，MDC为异面直线AB与MD所成角（或其补角）作APCD于点P，连接MPOA底面ABCD，CDMP。， AB与MD所成角的大小为。（）AB平面OCD，点B和点A到平面OCD的距离相等连接OP，过点A作AQOP与点Q，APCD，OACD，CD平面OAP平面OAP，又，平面O CD，线段的长就是点A到平面OCD的距离。，DMOAPCB，点B到面OCD的距离为。方法二（向量法）：作APCD与点P。如图，分别以AB，AP，AO所在直线为轴建立直角坐标系。（）设AB与MD所成角为，AB与MD所成角的大小为。（）设平面OCD的法向量为，则，得，取，解得。设点B到面OCD的距离为，则为在向量上的投影的绝对值。，点B到面OCD的距离为。20（本小题满分12分）已知函数，其中为实数，且。（）已知函数在处取得极值，求的值；（）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。 本题主要考查函数的导数的概念与计算，导数与函数极值的关系，不等式的性质和综合运用有关知识解决问题的能力。解：（），由于函数在时取得极值，所以，即，（）方法一：由题设知：对任意都成立，即对任意都成立，设，则对任意，为单调增函数（）所以，对任意的，恒成立的充分必要条件是，即，故的取值范围是。方法二：由题设知：对任意都成立，即对任意都成立，于是对任意都成立，即，故的取值范围是。21（本小题满分12分）设数列满足，其中、为实数，且。（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项的和；（）若对任意成立，证明：。 本题主要考查数列的概念，数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能力，综合运用知识解决问题的能力。解：（）方法一：，当时，是首项为，公比为的等比数列。，即，当时，仍满足上式，数列的通项公式为，（）。方法二：由题设得：时，时也满足上式。数列的通项公式为，（）。（）由（）得，。（）证明：由（）知若，则。，由对任意的成立，知。下证，用反证法。方法一：假设。由函数的函数图像知，当趋于无穷大时，趋于无穷大。不能对恒成立，导致矛盾。， 。方法二：假设，。即（）恒成立 （*）、为常数，（*）对不能恒成立， 。22（本小题满分14分）已知椭圆C：，其相应于焦点的准线方程为。（）求椭圆C的方程；（）已知过点倾斜角为的直线分别交椭圆C于A、B两点，求证：；（）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B和D、E，求的最小值。 本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系等知识。考查数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力。解：（）由题意得：，椭圆C的方程为。aHBAyDOE第22题图（）方法一：由（）知，是椭圆C的左焦点，离心率，设是椭圆的左准线，则：作于，于，于轴交于点H（如图），点A在椭圆上，=，同理。方法二：当时，记。则AB：将其代入方程得设，则是此二次方程的两个根。， ，代入式得。 当时，仍满足式。（）设直线AB倾斜角为，由于DEAB，由（）可得，当或时，取得最小值。