2022年初中数学一次方程、二次函数与不等式知识汇总.docx

2022年初中数学一次方程、二次函数与不等式知识汇总 当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个挚友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老挚友重逢。我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。让我们一起到学习啦一起学习吧! 初中数学二次函数学问点汇总 快来看啦!最近小数老师在留言里看到好多人要关于二次函数的学问点，所以今日特意做了一些总结，边看边学，效果更好哦! 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0，且a确定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以确定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 顶点式：y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P(h，k) 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)仅限于与x轴有交点A(x₁，0)和B(x₂，0)的抛物线 注：在3种形式的相互转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x₁,x₂=(-b±√b2-4ac)/2a 二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a确定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。 5.常数项c确定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0，c) 6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) V.二次函数与一元二次方程 特殊地，二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形态相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到. 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 因此，探讨抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清晰了.这给画图象供应了便利. 2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a). 3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小. 4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c); (2)当=b2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁| 当=0.图象与x轴只有一个交点; 当0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0. 5.抛物线y=ax2+bx+c的最值：假如a0(a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a. 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a≠0). (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0). (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0). 7.二次函数学问很简单与其它学问综合应用，而形成较为困难的综合题目。因此，以二次函数学问为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现. 初中数学一次方程与不等式学问汇总 等式与方程 1、等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式。 2、方程：含有未知数的等式叫做方程。 留意： (1)等式中必需含有等号，故不含等号的式子就不是等式; (2)方程必需是等式，并且含有未知数，两个条件须同时具备; (3)方程中可以含有几个未知数。 例题1、下列式子中，哪些是等式?哪些是方程? (1)−1+7=6 (2)x+7=6 (3) x+7 (4)x+7=7−x (5)4+7=7十4 (6)y3=1 (7)4x+y=7 方程中的项、系数、次数等概念 1、项：在方程中，被“+”、“-”，号隔开的每一部分(包括这部分前面的“十”、“-”号在内)称为一项。 2、未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母叫做未知数的系数。 3、项的次数：在一项中，全部未知数的指数和称为这一项的次数。 4、常数项：不含未知数的项，称为常数项。 列方程的方法 1、列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系，就是列方程。 2、列方程可分两步进行：第一步先依据题设条件设未知数;其次步要找到未知数和已知数之间的等量关系，从而得到方程。 例题2、依据条件列方程： (1)某数的平方与它的4倍互为相反数 (2)某数的相反数与8的差等于这个数的倒数 (3)购买一本书，打八折比打九折少花2元钱，求这本书的原价 例题3、依据下列条件列出方程： (1)a与6两数和的平方等于1 (2)a与6两数平方的和等于1 方程的解 方程的解和解方程 方程的解：使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 解方程：求方程的解的过程叫做解方程 留意： (1)方程的解肯定能使方程左右两边的值相等; (2)方程的解和解方程是两个不同的概念，它们一个是求得的结果，一个是变形的过程，要区分开，方程的解中的“解”是名词，解方程概念中“解”是一个动词。 方程的解 一元一次方程的概念 1、概念：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫一元一次方程。如：x+7=7−x 2、一元一次方程的最简形式：ax=b(a≠0) 3、一元一次方程的标准形式: ax+b=0(a≠0) 留意：理解一元一次方程的概念应把握： (1)是一个方程; (2)只含有一个未知数; (3)未知数的次数是1; (4)化简后未知数的系数不能为0; (5)分母不能含有未知数。 等式基本性质 1：等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式。 2：等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为零的数)，所得结果仍是等式。 留意： (1)运用等式基本性质1时，肯定要留意等式两边同时加上或减去)同一个数或同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，这里要特殊留意“同时”和“同一个”; (2)运用等式基本性质2时，除了要留意等式两边同时乘以(或除以)同一个数，才能保证所得结果仍是等式以外，还必需留意，等式两边不能都除以O，因为0不能作除数或分母; (3)等式还有其他的一些性质，在解方程中也时常会用到，它们是：对称性：假如a=b，那么b=a.即等式的左、右两边交换位置，所得结果仍是等式。 传递性：假如a=b，且b=c，那么a=c。这条性质也叫做等量代换。 利用等式的基本性质解一元一次方程 1、求方程的解的过程叫做解方程 2、详细步骤如下： (1)利用等式的性质解一元一次方程，一般是先利用等式性质1，然后再利用等式性质2，将ax=−b变形为x=−ba即可。 (2)移项法则：方程中的任何一项，都可以在变更符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，这个法则称为移项法则，移项的依据是等式的基本性质1。 留意： (1)移项时，不要遗忘对移动的项变号，如从3+4x=7得到4x= 7+3，是错误的; (2)没移项时，不要误以为有移项，如从−5=x，得到x= 5，这样的错误其缘由在于对运用用等式的性质与移项的区分没有分清; (3)去括号的方法：括号外的因数是正数，去括号后各项的符号不变，括号外的因数是负数，去括号后各项符号应变号; (4)去分母：要去分母，我们首先要找准方程中的各分母，然后再利用等式性质2，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，即可达到去分母的目的。 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页