【数学】2010年高考试题——数学（全国卷I）（文）.doc

20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学( (必修必修+ +选修选修) ) 解析版解析版 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第第 I I 卷卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 参考公式：参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 ()( )( )P ABP AP B 2 4SR 如果事件A、B相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ()( )( )P A BP A P BAA 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么 3 3 4 VR n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径 ( )(1)(0,1,2,) kkn k nn P kC ppkn 一、选择题一、选择题 (1)cos300 (A) 3 2 (B)- 1 2 (C) 1 2 (D) 3 2 1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 1 cos300cos 36060cos60 2 (2)设全集1,2,3,4,5U ，集合 1,4M ，1,3,5N ，则 U NM A. 1,3 B. 1,5 C. 3,5 D. 4,5 2.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】2,3,5 UM ，1,3,5N ，则 U NM1,3,52,3,5= 3,5 (3)若变量, x y满足约束条件 1, 0, 20, y xy xy 则2zxy的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图） ， 11 2 22 zxyyxz，由图可知,当直线l经过点 A(1,-1)时，z 最大，且最大值为 max 1 2 ( 1)3z . （4）已知各项均为正数的等比数列 n a， 123 a a a=5， 789 a a a=10，则 456 a a a= (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2 4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知 3 1231322 ()5a a aa aaaA， 3 7897988 ()a a aa aaaA10,所以 1 3 28 50a a , 所以 1 333 6 456465528 ()()(50 )5 2a a aa aaaa aA (5) 43 (1) (1)xx的展开式 2 x的系数是 (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项 公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的 一些基本运算能力. 【解析】 13 43234 22 (1) (1)1 4641 33xxxxxxxxx 0 xy 1 O yx y 20 xy x A 0: 20lxy L0 2 2 A 2 x的系数是 -12+6=-6 (6)直三棱柱 111 ABCA BC中，若90BAC， 1 ABACAA，则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于 (A)30 (B)45(C)60 (D)90 6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 111 ABCA BC的性质、异面直线所成的角、异 面直线所成的角的求法. 【解析】延长 CA 到 D，使得ADAC，则 11 ADAC为平行四边形， 1 DAB就是异面直 线 1 BA与 1 AC所成的角，又三角形 1 ADB为等边三角形， 0 1 60DAB (7)已知函数( ) | lg|f xx.若ab且，( )( )f af b，则ab的取值范围是 (A)(1,) (B)1,)(C) (2,) (D) 2,) 7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做 本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= 1 2a a ,从而错选 D,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或 1 b a ，所以 a+b= 1 a a 又 0<a<b,所以 0<a<1f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+). 【解析 2】由 0<a<b,且f(a)=f(b)得： 01 1 1 a b ab ，利用线性规划得： 01 1 1 x y xy ，化为求 zxy的取值范围问题，zxyyxz ， 2 11 1yy xx 过点 1,1时 z 最小为 2,(C) (2,) （8）已知 1 F、 2 F为双曲线 C: 22 1xy的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1 FP 2 F= 0 60， 则 12 | |PFPF A A B C D A1 B1 C1 D1 O (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想， 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos 1 FP 2 F= 222 1212 12 | 2| PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 12 | |PFPF A4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 12 | |PFPF A4 （9）正方体ABCD- 1111 ABC D中， 1 BB与平面 1 ACD所成角的余弦值为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离 的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 AC 1 D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思 想的具体体现. 【解析 1】因为 BB1/DD1,所以B 1 B与平面 AC 1 D所成角和DD1与 平面 AC 1 D所成角相等,设 DO平面AC 1 D，由等体积法得 11 D ACDDACD VV ,即 1 1 11 33 ACDACD SDOSDD .设 DD1=a, 则 1 22 1 1133 sin60( 2 ) 2222 ACD SAC ADaa A, 2 11 22 ACD SAD CDa A. 所以 1 3 1 2 3 33 ACD ACD SDDa DOa Sa A ,记 DD1与平面 AC 1 D所成角为,则 1 3 sin 3 DO DD ,所以 6 cos 3 . 【解析 2】设上下底面的中心分别为 1, OO； 1 O O与平面AC 1 D所成角就是B 1 B与平面AC 1 D所成角， 1 11 1 36 cos1/ 32 OO OOD OD （10）设 1 2 3 log 2,ln2,5abc 则 （A）abc（B）bca (C) cab (D) cba 10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实 数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= 3 log2= 2 1 log 3 , b=In2= 2 1 log e ,而 22 log 3log1e,所以 a<b, c= 1 2 5 = 1 5 ,而 22 52log 4log 3,所以 c<a,综上 c<a<b. 【解析 2】a= 3 log2= 3 2 1 log ,b=ln2= 2 1 loge , 3 22 1loglog2 e ， 3 22 111 1 2logloge ； c= 1 2 111 5 254 ，c<a<b （11）已知圆O的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么PA PB 的 最小值为 (A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的 求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示：设 PA=PB=x(0)x ,APO=,则 APB=2，PO= 2 1x， 2 1 sin 1x ， | |cos2PA PBPAPB = 22 (1 2sin)x= 22 2 (1) 1 xx x = 42 2 1 xx x ，令PA PBy ，则 42 2 1 xx y x ， 即 42 (1)0 xy xy，由 2 x是实数，所以 2 (1)4 1 ()0yy ， 2 610yy ，解得32 2y 或32 2y . P A B O 故 min ()32 2PA PB .此时21x . 【解析 2】设,0APB， 2 cos1/tancos 2 PA PBPAPB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 22 2 1 2sin 2 sinsin 22 换元： 2 sin,01 2 xx ， 11 21 232 23 xx PA PBx xx 【解析 3】建系：园的方程为 22 1xy，设 11110 ( ,), ( ,), (,0)A x yB xyP x， 22 11101110110 ,001AOPAx yxxyxx xyx x 22222222 1100110110 221232 23PA PBxx xxyxxxxx （12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有 ABCD 112 22 323 Vhh 四面体 ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, 22 max 2 212 3h,故 max 4 3 3 V. 第卷 注意事项： 222 10110111001 ,2PA PBxxyxxyxx xxy 1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。 3.第卷共 10 小题，共 90 分。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上 (注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式 2 2 0 32 x xx 的解集是 . 13. 21,2xxx 或【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法 【解析】: 2 2 0 32 x xx 2 02210 21 x xxx xx ，数轴标根 得：21,2xxx 或 (14)已知为第二象限的角， 3 sin 5 a ,则tan2 . 14. 24 7 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角 的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为为第二象限的角,又 3 sin 5 , 所以 4 cos 5 ， sin3 tan cos4 , 所 2 2tan24 tan(2 ) 1tan7 (15)某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类 课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答) 15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论 的数学思想. 【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 12 34 C C种不同的选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 21 34 C C种不 同的选法.所以不同的选法共有 12 34 C C+ 21 34 18 1230C C 种. 【解析 2】: 333 734 30CCC (16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D， 且BF2FD uu ruur ，则C的离心率为 . 16. 3 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程 与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数 形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点： “数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化 问题的捷径. 【解析 1】如图， 22 |BFbca, 作 1 DDy轴于点 D1,则由BF2FD uu ruur ，得 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc, 即 3 2 D c x ,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由| 2|BFFD,得 2 3 2, c aa a 3 3 e 【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 22 22 1 xy ab ，设 22 ,D xy，F 分 BD 所成的比为 2， 22 22 3022333 0 ; 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy ，代入 22 22 91 1 44 cb ab ， 3 3 e 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 10 分）(注意：在试题卷上作答无效) 记等差数列 n a的前n项和为 n S，设 3 12S ，且 123 2 ,1a a a 成等比数列，求 n S. (18)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效) 已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内 角C xO y B F 1 D D (19)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效注意：在试题卷上作答无效) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 各专家独立评审 (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率； (II)求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率 （20） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 S-ABCD 中，SD底面 ABCD，AB/DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC . （）证明：SE=2EB； （）求二面角 A-DE-C 的大小 . （21）(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数 42 ( )32(31)4f xaxaxx （I）当 1 6 a 时，求( )f x的极值; （II）若( )f x在1,1上是增函数，求a的取值范围 (22)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效）（注意：在试题卷上作答无效） 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为 F，过点( 1,0)K 的直线l与C相交于A、B两点， 点 A 关于x轴的对称点为 D . （）证明：点F在直线BD上； （）设 8 9 FA FB A，求BDK的内切圆M的方程 .