【数学】2011年高考试题——理（山东卷）解析版.doc

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷） 理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。（1）设集合，则A. B. C. D. 解析：，答案应选A。（2）复数为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：对应的点为在第四象限，答案应选D.（3）若点在函数的图象上，则的值为A. B. C. D. 解析：，答案应选D.（4）不等式的解集是A. B. C. D. 解析：当时，原不等式可化为，解得；当时，原不等式可化为，不成立；当时，原不等式可化为，解得.综上可知，或，答案应选D。另解1：可以作出函数的图象，令可得或，观察图像可得，或可使成立，答案应选D。另解2：利用绝对值的几何意义，表示实数轴上的点到点与的距离之和，要使点到点与的距离之和等于10，只需或，于是当，或可使成立，答案应选D。（5）对于函数，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件解析：若是奇函数，则的图象关于轴对称；反之不成立，比如偶函数，满足的图象关于轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B。（6）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则A. B. C. D. 解析：函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，即，答案应选C。另解1：令得函数在为增函数，同理可得函数在为减函数，则当时符合题意，即，答案应选C。另解2：由题意可知当时，函数取得极大值，则，即，即，结合选择项即可得答案应选C。另解3：由题意可知当时，函数取得最大值，则，结合选择项即可得答案应选C。（7）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元） 4 2 3 5销售额（万元） 49 26 39 54根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为A.6.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元解析：由题意可知，则，答案应选B。（8）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为A. B. C. D. 解析：圆，而，则，答案应选A。D.C.B.A.（9）函数的图象大致是解析：函数为奇函数，且，令得，由于函数为周期函数，而当时，当时，则答案应选C。（10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时，则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为A.6 B.7 C.8 D.9正（主）视图俯视图解析：当时，则，而是上最小正周期为2的周期函数，则，答案应选B。 (11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真，命题的个数是A.3 B.2 C.1 D.0解析：均是正确的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；圆柱平躺即可使得三个命题为真，答案选A。 （12）设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若,且，则称调和分割，已知平面上的点调和分割点，则下面说法正确的是A. C可能是线段AB的中点 B. D可能是线段AB的中点C. C,D可能同时在线段AB上 D. C,D不可能同时在线段AB的延长线上解析：根据题意可知，若C或D是线段AB的中点，则，或，矛盾；开始输入非负整数l，m，n输出y结束若C,D可能同时在线段AB上，则则矛盾，若C,D同时在线段AB的延长线上，则，故C,D不可能同时在线段AB的延长线上，答案选D。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。（13）执行右图所示的程序框图，输入，则输出的y的值是 。解析：。答案应填：68.（14）若展开式的常数项为60， 则常数的值为 。解析：的展开式，令，答案应填：4.（15）设函数，观察：，根据上述事实，由归纳推理可得：当，且时， 。解析：，以此类推可得。答案应填：。16.已知函数且。当时函数的零点为，则 。解析：根据，而函数在上连续，单调递增，故函数的零点在区间内，故。答案应填：2.三、解答题：本大题共6小题，共74分。17.（本小题满分12分） 在中，内角的对边分别为，已知，（）求的值；（）若，求的面积S。解：（）在中，由及正弦定理可得，即则，而，则，即。另解1：在中，由可得由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得。另解2：利用教材习题结论解题，在中有结论.由可得即，则，由正弦定理可得。（）由及可得则，S，即。（18）（本题满分12分） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘。已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望。解析：（）记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件,则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件，根据各盘比赛结果相互独立可得故红队至少两名队员获胜的概率为.（）依题意可知，；;.故的分布列为0123P0.10.350.40.15故.19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，（）若是线段的中点，求证：平面；（）若，求二面角的大小几何法：证明：（），可知延长交于点，而，则平面平面，即平面平面，于是三线共点，若是线段的中点，而,则，四边形为平行四边形，则，又平面，所以平面；（）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角。若，设，则，为的中点，在中,则，即二面角的大小为。坐标法：（）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，设，则,.由可得，由可得,，则，而平面，所以平面；（）（）若，设，则， ,则,设分别为平面与平面的法向量。则，令，则，； ，令，则，。于是，则，即二面角的大小为。20. （本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行第二行第三行（）求数列的通项公式；（）若数列满足：，求数列的前项和解析：（）由题意可知，公比，通项公式为；（）当时，当时故另解：令，即则故.21. （本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元设该容器的建造费用为千元（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的解析：（）由题意可知，即，则.容器的建造费用为，即，定义域为.（），令，得.令即，（1）当时，当，函数为减函数，当时有最小值；（2）当时，当，；当时，此时当时有最小值。22. （本小题满分12分）已知动直线与椭圆：交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点（）证明：和均为定值；（）设线段的中点为，求的最大值；（）椭圆上是否存在三点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由解析：（）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则于是，.当直线的斜率存在，设直线为，代入可得，即，即，则，满足，综上可知，.（）当直线的斜率不存在时，由（）知当直线的斜率存在时，由（）知，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为。（）假设椭圆上存在三点，使得，由（）知，.解得,，因此只能从中选取，只能从中选取，因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，故椭圆上不存在三点，使得。