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同济六版高等数学第四章第同济六版高等数学第四章第一节课件一节课件上页下页铃结束返回首页微分法:)?()( xF积分法:)()?(xf互逆运算一、原函数与不定积分的概念上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则CxFdxxf)()( Cxxdxsincos 下页 因为x是x21的原函数, 所以 Cxdxx21 上页下页铃结束返回首页解：当 x0 时, (ln x)x1, 例 2. 求函数xxf1)(的不定积分 例2 合并上面两式, 得到 解 如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则CxFdxxf)()( Cxdxxln 1(x0) 当 x0 时, ln(x)xx1) 1(1, Cxdxx)ln( 1(x0) Cxdxx|ln 1(x0) 下页上页下页铃结束返回首页 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程 解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2C 因所求曲线通过点(1, 2), 故21C, C1 于是所求曲线方程为yx21 因为Cxxdx22, 下页yxo)2, 1 (上页下页铃结束返回首页 函数f(x)的积分曲线也有无限多 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 下页2x的积分曲线上页下页铃结束返回首页ox例3. 质点在距地面0 x处以初速0v力, 求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 质点抛出时刻为,0t此时质点位置为初速为,0 x设时刻 t 质点所在位置为, )(txx 则)(ddtvtx(运动速度)tvtxdddd22g(加速度).0v垂直上抛 , 不计阻 先由此求)(tv 再由此求)(tx上页下页铃结束返回首页先求. )(tv,ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttvg再求. )(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由)(ddtvtx,0vt g知故ox)0(0 xx )(txx 上页下页铃结束返回首页v微分与积分的关系 从不定积分的定义可知又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以 由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的 )()(xfdxxfdxd, 或)()(xfdxxfdxd 或dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()(, 或记作 或记作CxFxdF)()( 首页上页下页铃结束返回首页二、基本积分表(1)Ckxkdx(2)Cxdxx111(3)Cxdxx|ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxtansec2(9)Cxxdxcotcsc2(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)Cxdxxcsccotcsc(14)Cxdxxch sh (15)Cxdxxsh ch Ckxkdx(k 是常数), Cxdxx111, Cxdxx|ln1, Cedxexx, Caadxaxxln, Cxxdxsincos, Cxxdxcossin, Cxxdxtansec2, Cxxdxcotcsc2, Cxdxxarctan112, Cxdxxarcsin112, Cxxdxxsectansec, Cxdxxcsccotcsc, Cxdxxch sh , Cxdxxsh ch 下页上页下页铃结束返回首页例 5 dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772 例5 例4 例6 例 4 dxxdxx331CxCx21321131Cxx372 例 6 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131dxxdxx331CxCx21321131 dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772dxxdxxx252Cx1251251Cx 2772 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33 (2)Cxdxx111, 首页积分表上页下页铃结束返回首页三、不定积分的性质 这是因为, f(x)g(x) dxxgdxxfdxxgxf)()()()( )()()()(dxxgdxxfdxxgdxxf)()()()(dxxgdxxfdxxgdxxfv性质1 下页上页下页铃结束返回首页三、不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxf)()()()( dxxfkdxxkf)()(k 是常数, k 0) v性质1 v性质2 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(Cxxdxxdxx23272125325725 例7 例8 dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(dxxdxxdxxxdxxx2125212525)5() 5(Cxxdxxdxx23272125325725 例 8 dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323dxxxxdxxxxxdxxx)133(133) 1(222323 Cxxxxdxxdxxdxdxx1|ln3321113322 下页积分表上页下页铃结束返回首页例 11 dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222 例10 三、不定积分的性质dxxgdxxfdxxgxf)()()()( dxxfkdxxkf)()(k 是常数, k 0) v性质1 v性质2 例9 例 9 xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3例 10 CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2 例11 Cxxdxxdxx|lnarctan1112xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3xdxdxedxxexxcos3)cos3(Cxexsin3 CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2CeCeedxedxexxxxxx2ln12)2ln()2()2(2 Cxxdxxdxx|lnarctan1112 下页dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222dxxxdxxxxxdxxxxx)111()1 ()1 ()1 (122222 积分表上页下页铃结束返回首页例 12 dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111 例12 dxxdxdxxdxxx222211)111(Cxxxarctan313 例13 例 13 dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectantan xxC dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111dxxxxdxxxdxxx222242411) 1)(1(1111 dxxdxdxxdxxx222211)111( dxxdxdxxdxx222sec) 1(sectandxxdxdxxdxx222sec) 1(sectan 例 14 dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 例14 例15 Cxx)sin(21 例 15 Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222Cxdxxdxxxcot4sin142cos2sin1222 结束积分表上页下页铃结束返回首页内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 (见P 186)2. 直接积分法:利用恒等变形恒等变形, 及 基本积分公式基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习1. 若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 221上页下页铃结束返回首页2. 若)(xf是xe的原函数 , 则xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10上页下页铃结束返回首页3. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx上页下页铃结束返回首页4. 已知22221d1d1xxBxxAxxx求 A , B .解解: 等式两边对 x 求导, 得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA上页下页铃结束返回首页作业作业P192 2 (17) , (19) , (21) , (23) , (25) 5 ; 28 结束语结束语
