2022年求曲线的方程 .pdf
2.1.2 求曲线的方程（2） （教学设计）教学目标：知识目标： 1.根据条件，求较复杂的曲线方程. 2.求曲线的交点 . 3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标 : 1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力. 2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标：1.渗透数形结合思想. 2.培养学生的辨证思维. 教学重点1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0. 2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题. 教学难点1.寻找“几何关系”. 2.转化为“动点坐标”关系. 教学方法启发诱导式教学法. 启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径. 教学过程一、复习回顾：求曲线的方程( 轨迹方程 ), 一般有下面几个步骤: 1. 建立适当的坐标系, 设曲线上任一点M 的坐标( ,)x y;2. 写出适合条件P 的几何点集 :()PM P M; 3. 用坐标表示条件()P M, 列出方程( ,)0f x y; 4. 化简方程( , )0fx y为最简形式 ; 5. 证明 ( 查漏除杂 ). 说明： 回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤 (2)、(3)为关键步骤 ,说明 (5)步不要求书面表达,但思维一定要到位 ,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解：（一）、直接法：由题设所给 (或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法例 1：(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R 的动点 P 的轨迹方程；(2)过点 A(a，o)作圆 Ox2+y2=R2(aRo)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹对(1)分析：动点 P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页解： （1）设动点P(x，y)，则有 |OP|=2R 或|OP|=0即 x2+y2=4R2或 x2+y2=0故所求动点P 的轨迹方程为x2+y2=4R2或 x2+y2=0（2）设弦的中点为M(x ，y)，连结 OM，则 OM AM kOM kAM=-1 ，其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧 (不含端点 )变式训练1：.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PMy 轴，垂足为M，点 N 与点 P 关于 x轴对称且 OP M N4，求动点P 的轨迹方程。解：x24y221 （二）、代入法（ 相关点法）： 若动点 P(x ，y) 随已知曲线上的点Q(x0，y0) 的变动而变动，且x0、y0 可用x、y 表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程这种方法称为相关点法( 或代入法 ) 例 2：已知 ABC，A(2,0)，B(0， 2)，第三个顶点C 在曲线132xy上移动，求 ABC 的重心的轨迹方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页解析：设 ABC 的重心为 G(x，y)，顶点 C 的坐标为 (x1，y1)，由重心坐标公式得x 20 x13y02y13，x13x2y13y2，代入 y1 3x211，得 3y 23(3x2)21. y9x2 12x3 即为所求轨迹方程题后感悟 (1)代入法： 像本例将所求点M 的坐标代入已知曲线方程求得动点M 的轨迹方程的方法叫代入法(2)代入法求轨迹(曲线 )方程的基本步骤为设点：设所求轨迹上任意点M(x，y)，设动点 (已知轨迹的动点)P(x0， y0)求关系式：求出两个动点的关系式x0f x，y ，y0g x， y .代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程变式训练2：已知 O 为直角坐标系原点，M 为圆3222yx上的动点，试求MO 中点的轨迹方程。（三）、参数法： 如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立x、y 分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数 )消去，即可得到x、y 的关系式例 3：过原点的直线与圆05622xyx相交于 A、B 两点，求弦AB 的中点 M 的轨迹方程。解：设过原点的直线为y=kx，弦 AB 的中点 M(x,y) 把 y=kx 代入 x2+y2-6x+5=0 得：x2+(kx)2-6x+5=0即: (1+k2)x2-6x+5=0 消去 k 得： y2=3x-x2 弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为y2=3x-x2 。221k16xx22121k16kkxkxyy221221k13k2yyyk132xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页变式训练3：- 答案 : （四）、.两曲线交点问题: 例 4：已知抛物线mxxy22及直线xyl2:, 当 m 为何值时 ,(1)有两个交点；(2)仅有一个交点；(3)无交点 . 分析：抛物线C 和直线l的交点个数与其方程构成的方程组的解的个数一一对应. 解:由xymxxy222消去y得042mxx(1) 抛物线C 和直线l有两个交点,则方程有两根,所以0442m, .4m故当4m时,抛物线 C 和直线l有两个交点 . (2) 同理 , 4m时, 抛物线 C 和直线l仅有一个交点 . (3) 当时 ,抛物线 C 和直线l无交点 . : 小结：1. 两条曲线交点的坐标应是两个曲线的方程的公共实数解.即两个曲线方程组成的方程组的实数解. 2.两曲线交点个数与方程组的实数解一一对应. 3、求曲线方程的几种方法三、课堂小结，巩固反思：1、求曲线的方程( 轨迹方程 ), 一般有下面几个步骤: 1. 建立适当的坐标系, 设曲线上任一点M 的坐标( ,)x y;2. 写出适合条件P 的几何点集 :()PM P M; 3. 用坐标表示条件()P M, 列出方程( ,)0f x y; 4. 化简方程( , )0fx y为最简形式 ; 5. 证明 ( 查漏除杂 ). 2、常用求轨迹方程的方法。四、分层作业：1 ABC 一边的两个端点是B(0，6)和 C(0，-6)，另两边斜率的积是49，求顶点A 的轨迹方程。（注：暂不考虑变量的取值范围）的顶点的轨迹方程是二次函数)(1)12()(22Rmmxmxxf043yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页解：2213681yx2点 P 与一定点F(2， 0)的距离和它到一定直线x=8 的距离的比是12，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？解：2211612xy4、已知点M 到点 F(0,1)和直线 l：y 1 的距离相等，求点M 的轨迹方程图 2 解： 设点 M 的坐标为 (x，y)，点 M 的轨迹就是集合PM|MF| |MQ| ，其中 Q 是点 M 到直线 y1 的垂线的垂足 由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x2 y 12|y1|，将上式两边平方，得 x2(y1)2(y1)2，化简，得y14x2.下面证明方程是所求轨迹的方程(1)由求方程的过程，可知曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)设点 M1的坐标 (x1，y1)是方程的解， 那么 y114x21，即 x21(y1 1)2(y1 1)2，x21 y1 12|y121,(3,1),.CyxABCPABBCP3. 已知曲线：定点为上任一点 点 为中点 当 在 上运动时求 点的轨迹方程),(yxP令),(11yxB.21,2311yyxx.12, 3211yyxx.)12(1)32(2yxP点的轨迹方程是所求，又2111yx解: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页1|，|M1F| |M1Q1|.其中 Q1是点 M1到直线 y 1 的垂线的垂足，因此点M1是曲线上的点由(1)(2)，可知方程是所求轨迹的方程，图形如图2 所示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
