2022年概率论与数理统计试题-a .pdf

概率论与数理统计试卷A 卷第 1 页 共 4 页深圳大学期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷闭卷A/B 卷A 课程编号2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分3 命题人 (签字) 审题人 (签字) 年月日题号一二三四五六七八九十基本题总分附加题得分评卷人第一部分基本题一、选择题（共6 小题，每小题 5 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错 0 分）1. 事件表达式 A B 的意思是( ) (A) 事件 A 与事件 B 同时发生(B) 事件 A 发生但事件 B 不发生(C) 事件 B 发生但事件 A 不发生(D) 事件 A 与事件 B 至少有一件发生答：选 D，根据 A B 的定义可知。2. 假设事件 A 与事件 B 互为对立，则事件AB( )(A) 是不可能事件(B) 是可能事件(C) 发生的概率为 1 (D) 是必然事件答：选 A，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。3. 已知随机变量 X,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X2Y2服从 ( ) (A) 自由度为 1 的2分布(B) 自由度为 2 的2分布(C) 自由度为 1 的 F 分布(D) 自由度为 2 的 F 分布答：选 B，因为 n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的2分布。4. 已知随机变量 X,Y 相互独立， XN(2,4),YN( 2,1), 则( ) (A) X+YP(4) (B) X+YU(2,4) (C) X+YN(0,5) (D) X+YN(0,3) 答：选 C，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5, 所以有 X+YN(0,5)。5. 样本(X1,X2,X3)取自总体 X，E(X)= , D(X)=2, 则有( ) (A) X1+X2+X3是 的无偏估计(B) 1233XXX是 的无偏估计(C) 22X是2的无偏估计(D) 21233XXX是2的无偏估计答：选 B，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。6. 随机变量 X 服从在区间 (2,5)上的均匀分布，则X 的数学期望 E(X)的值为 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选 C，因为在 (a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。二、填空题（共6 小题，每小题 5 分，满分 30分。把答案填在题中横线上）_学院专业姓名学号(密封线内不答题)密封线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页概率论与数理统计试卷A 卷第 2 页 共 4 页1. 已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则 P(AB)= _ 答：填 0.18, 由乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.6 0.3=0.18。2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为_ 答：填0.784，是因为三人都不中的概率为0.63=0.216, 则至少一人中的概率就是1 0.216=0.784。3. 一个袋内有 5 个红球， 3 个白球， 2 个黑球，任取 3 个球恰为一红、一白、一黑的概率为_ 答：填 0.25或14，由古典概型计算得所求概率为31053210.254C。4. 已知连续型随机变量,01,( )2,12,0,.xxXf xxx其它则 P X 1.5=_ 答：填 0.875，因 P X 1.51.50( )d0.875f xx。5. 假设 XB(5, 0.5)(二项分布 ), YN(2, 36), 则 E(X+Y)=_ 答：填 4.5，因 E(X)=5 0.5=2.5, E(Y)=2, E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2.5+2=4.5 6. 一种动物的体重 X 是一随机变量， 设 E(X)=33, D(X)=4，10 个这种动物的平均体重记作Y，则 D(Y)_ 答：填 0.4，因为总体 X 的方差为 4，10个样本的样本均值的方差是总体方差的1/10。三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10 分）解：设从甲袋取到白球的事件为A，从乙袋取到白球的事件为B，则根据全概率公式有()() (|)() (|)211150.417323412P BP A P B AP A P B A四、已知随机变量 X 服从在区间 (0,1)上的均匀分布， Y2X +1， 求 Y的概率密度函数。 （10分）解：已知 X 的概率密度函数为1,01,( )0,.Xxfx其它Y 的分布函数 FY(y)为11( )2122YXyyFyP YyPXyP XF因此 Y 的概率密度函数为1,13,11( )( )2220,.YYXyyfyFyf其它五、已知二元离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布如下表所示：Y X 1 1 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页概率论与数理统计试卷A 卷第 3 页 共 4 页1 0.1 0.2 0.3 2 0.2 0.1 0.1 (1) 试求 X 和 Y的边缘分布率(2) 试求 E(X),E(Y),D(X),D(Y),及 X 与 Y 的相关系数XY(满分 10 分) 解：(1)将联合分布表每行相加得X 的边缘分布率如下表：X 1 2 p 0.6 0.4 将联合分布表每列相加得Y 的边缘分布率如下表：Y 1 1 2 p 0.3 0.3 0.4 (2) E(X)1 0.6+2 0.4=0.2, E(X2)=1 0.6+4 0.4=2.2, D(X)=E(X2) E(X)2=2.2 0.04=2.16 E(Y)1 0.3+1 0.3+2 0.4=0.8, E(Y2)=1 0.3+1 0.3+4 0.4=2.2 D(Y)= E(Y2) E(Y)2=2.2 0.64=1.56 E(XY)=( 1) ( 1) 0.1+( 1) 1 0.2+( 1) 2 0.3+2 ( 1) 0.2+2 1 0.1+2 2 0.1= =0.1 0.2 0.6 0.4+0.2+0.40.5 cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)0.5 0.160.66 cov(,)0.660.660.361.836()( )2.16 1.56XYX YD X D Y六、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15 个进行检验，算出平均使用寿命为 1950 小时，样本标准差s为 300 小时，以 95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。(满分 10 分) 解：已知样本均值1950 x, 样本标准差 s=300, 自由度为 15 1=14, 查 t 分布表得t0.025(14)=2.1448, 算出0.0252.1448300(14)166.13.87315st, 因此平均使用寿命的置信区间为166.1x，即(1784, 2116)。附：标准正态分布函数表221( )ed2uxxu(x)0.90.950.9750.99x 1.2815511.6448531.9599612.326342t 分布表 Pt(n)tn)=N 0.1 0.05 0.025 14 1.3450 1.7613 2.1448 15 1.3406 1.7531 2.1315 16 1.3368 1.7459 2.1199 第二部分附加题附加题 1 设总体 X 的概率密度为(1),01,( ; )0,xxf x其它其中 1 为未知参数，又设 x1,x2, ,xn是 X 的一组样本观测值， 求参数的最大似然估计值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页概率论与数理统计试卷A 卷第 4 页 共 4 页（满分 15分）解：似然函数1(1)nniiLx11lnln(1)lndlnlnd(1)niiniiLnxLnx令d ln0dL，解出 的最大似然估计值为1?1lnniinx附加题 2设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。（满分 15 分）Y Xy1y2y3PX=xi=ipx118x218PY=yj=jp161 解：已知 X 与 Y 独立，则pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj), 经简单四则运算，可得Y Xy1y2y3PX=xi=ipx11241811214x218381434PY=yj=jp1612131 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页