2022年七年级数学一元一次方程人教实验版知识精讲 .pdf

七年级数学一元一次方程（二）人教实验版【本讲教育信息 】一. 教学内容：一元一次方程（二）列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分知识。列方程解应用题的主要步骤：1. 认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；2. 用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；3. 利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；4. 求出所列方程的解；5. 检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。【学习提示】一. 数字问题 ：（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为 c（其中 a、b、 c 均为整数，且1a9， 0 b9， 0 c 9）则这个三位数表示为：100a10b c。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2N表示，连续的偶数用2N2 或 2N2 表示；奇数用2N1 或 2N1 表示。例 1. 一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3 倍，求这个三位数 分析 由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为 X 7，个位上的数是3X，等量关系为三个数位上的数字和为17。解： 设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X7，个位上的数是3X XX73X17 解得 X2 X79，3X6 答：这个三位数是926 例 2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数36对调后新两位数解： 设十位上的数字X，则个位上的数是2X，102XX（ 10X2X） 36 解得 X4，2X8，答：原来的两位数是48。二. 工程问题 ：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量工作效率工作时间名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。例 3. 一件工作，甲独作10 天完成，乙独作8 天完成，两人合作几天完成？ 分析 甲独作 10 天完成，说明的他的工作效率是1/10 ，乙的工作效率是1/8 等量关系是：甲乙合作的效率合作的时间1 解： 设合作 X天完成（1/10 1/8 ）X1 解得 X40/9 答：两人合作40/9 天完成例 4. 一件工程，甲独做需15 天完成，乙独做需12 天完成，现先由甲、乙合作3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析 设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量乙完成工作量工作总量。解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得， () 31，解这个方程，1 12155x60 5x 33 x 6答：乙还需6天才能完成全部工程。例 5. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6 小时可注满水池；单独开乙管8 小时可注满水池，单独开丙管9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ 分析 等量关系为：甲注水量乙注水量丙排水量1。解：设打开丙管后x 小时可注满水池，由题意得， ()(x 2) 1 解这个方程，(x 2) 1 21x 428x72 13x 30 x 2答：打开丙管后2小时可注满水池。三. 行程问题： 解题指导 （1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程速度时间。（2）基本类型有 1 ）相遇问题； 2 ）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。例 6. 甲、乙两站相距480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行140 公里。（1）慢车先开出1 小时，快车再开。 两车相向而行。 问快车开出多少小时后两车相遇？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600 公里？（3） 两车同时开出， 慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。（1）分析： 相遇问题，画图表示为：甲乙等量关系是：慢车走的路程快车走的路程480 公里。解： 设快车开出x 小时后两车相遇，由题意得，140 x90(x 1) 480 解这个方程，230 x390 x 1答：快车开出1小时两车相遇分析： 相背而行，画图表示为：600 甲乙等量关系是：两车所走的路程和480 公里 600 公里。解： 设 x 小时后两车相距600 公里，由题意得， (140 90)x 480600 解这个方程，230 x 120 x 答：小时后两车相距600 公里。（3）分析： 等量关系为：快车所走路程慢车所走路程480 公里 600 公里。解： 设 x 小时后两车相距600 公里，由题意得，(14090)x 480600 50 x120 x 2.4 答： 2.4 小时后两车相距600 公里。分析： 追及问题，画图表示为：甲乙等量关系为：快车的路程慢车走的路程480 公里。解： 设 x 小时后快车追上慢车。由题意得， 140 x90 x480 解这个方程，50 x480 x 9.6 答： 9.6 小时后快车追上慢车。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 分析： 追及问题，等量关系为：快车的路程慢车走的路程480 公里。解： 设快车开出x 小时后追上慢车。由题意得，140 x90(x 1) 480 50 x570 x 11.4 答：快车开出11.4 小时后追上慢车。例 7. 甲乙两人在同一道路上从相距5 千米的 A、B两地同向而行，甲的速度为5 千米 /小时， 乙的速度为3 千米 / 小时， 甲带着一只狗，当甲追乙时， 狗先追上乙， 再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15 千米 /小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？ 分析 追击问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程它的速度时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间解： 设甲用 X小时追上乙，根据题意列方程 5X 3X 5 解得 X2.5 ，狗的总路程：152.5 37.5 答：狗的总路程是37.5 千米。例 8. 某船从 A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了 7 小时，已知此船在静水中的速度为8 千米 / 时，水流速度为2 千米 / 时。 A、C两地之间的路程为10 千米，求A、B两地之间的路程。 分析 这属于行船问题，这类问题中要弄清：（1）顺水速度船在静水中的速度水流速度；（2）逆水速度船在静水中的速度水流速度。相等关系为：顺流航行的时间逆流航行的时间7 小时。解： 设 A、B两码头之间的航程为x 千米，则B、C间的航程为 (x 10) 千米，由题意得， X/ （82） （ X10）/ （82） 7 解这个方程，X/10 （ X 10）/6 7， x 32.5 答： A、 B两地之间的路程为32.5 千米。四. 利润赢亏问题1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等2）有关关系式：商品利润商品售价商品进价商品标价折扣率商品进价商品利润率商品利润/ 商品进价商品售价商品标价折扣率例 9. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40% ，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 分析 通过列表分析已知条件，找到等量关系式进价折扣率标价优惠价利润率60 元8 折x 元80%x 40% 等量关系：商品利润率商品利润/ 商品进价解： 设标价是x 元，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 100406060%80 x解之： x105 优惠价为 80%x8410510080（元）例 10.一家商店将某种服装按进价提高40% 后标价，又以8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？ 分析 探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润X元8 折（1 40% ）X元80% （140% ）X 15 元等量关系：（利润折扣后价格进价）折扣后价格进价15 解： 设进价为X元， 80%X （140% ） X15，X125 答：进价是125 元。五. 储蓄问题1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20% 付利息税2）利息本金利率期数本息和本金利息利息税利息税率（20% ）例 11. 某同学把250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 分析 等量关系：本息和本金（1利率）解： 设半年期的实际利率为X，250（1X） 252.7 X0.0108 所以年利率为0.0108 20.0216 答：银行的年利率是2.16% 例 12. 为了准备6 年后小明上大学的学费20000 元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：1）直接存入一个6 年期；2）先存入一个三年期，3 年后将本息和自动转存一个三年期；3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？ 分析 这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。解： 1）设存入一个6 年的本金是X元名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - X（162.88%） 20000，X17053 2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，Y（12.7% 3）（ 12.7% 3） 20000，X17115 3）设存入一年期本金为Z 元 ，Z（12.25%）6 20000，Z17894 所以存入一个6 年期的本金最少。六. 日历中的方程例 13. 1） 在一份日历中， 任意框出一个竖列上相邻的四个数，观察他们之间是什么关系？如果框出的四个数的和为58，这四天分别是几号？2）如果用一个正方形所圈出的4 个数的和为76，这四天分别是几号？ 分析 观察、分析四个数的关系，设法用一个未知数圈出的四个数解： 1）设竖列的四个数中最小的一个是X，其余三数分别为X7， X14，X21 XX7X 14X 2158，X4。所以这四个数是4 号， 11 号， 18 号， 25 号2）设四个数中最大的一个数Y，其余三个数是Y1，Y7，Y8 YY1Y 7Y876，Y23，所以这四个数是15、16、22、23 注意： 虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。【模拟试题】 （答题时间： 40 分钟）1. 一个三位数，它的个位上的数比百位上的数的3 倍大 1，它的十位上的数比百位上的数的 4 倍小 3，如果把这个三位数的十位上的数与百位上的数对换，得到的三位数比原来的三位数大270，求原来的三位数。2. 一个四位数，左边第一位数字是7，若把这个数字调到末位，得到的新数比原来四位数少 864，求原来的数。3. 一件工作，甲独作20 小时完成，乙独作12 小时完成，现在先由甲独作4 小时，剩下的部分由甲乙合作，剩下的部分需几小时完成？4. 一轮船从重庆到上海要5 昼夜，而从上海到重庆要7 个昼夜，那么有一竹排从重庆顺流漂到上海要多少天？5. 一个水池共有A、B两个进水管和一个排水管C，单开 A管 6 小时注满水池，单开B管 10 小时注满全池，单开C管 9 小时把水池中的水排完。若先同时打开A 、 B两管，向空池内注水， 2.5 小时后，打开C管，则打开C管几小时后可将水池中注满水？设 X小时以后可以注满，6. 甲乙两站之间的路程为450 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65 千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85 千米（1）两车同时开出相向而行，几小时相遇？（2）快车先开出30 分钟后，两车相向而行，慢车行驶几小时两车相遇？7. A、B两地的路程为100 千米，小王骑车从A地到 B地，小李跑步从B地到 A地，小李出发三个半小时后，小王才出发，已知小王骑车的速度为10 千米 / 小时，小李跑步的速度为 8 千米 / 小时，问两人各走几小时相遇？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8. 一队学生去校外郊游，以5 千米 / 小时的速度行进，走了18 分后学校将一重要通知传给队长，通讯员从学校出发，骑车以14 千米 / 小时的速度按原路追上去，几小时可以追上队伍？9. 一列快车长200 米，速度为 50 千米 / 小时， 一列慢车长250 米，速度为 30 千米 / 小时，两车从相遇到分开共需几秒？10. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按8 折优惠出售，已知某种皮鞋进价是60 元， 8 折以后商家仍获利利润率为40% ，这双皮鞋的标价是多少？优惠价是多少？11. 某商店先在甲地以每件15 元的价格购进商品10 件，后来又以每件12.5 元的价格在乙地购进同样的商品40 件，如果商店销售这些商品时，获得12% 利润率，商品售价应定为多少元？12. 商品的进价为200 元，标价为300 元，折价销售时的利润率为5% ，商品打了几折？13. 一年定期的存款月利率是0.945%，现存入100 元，求明年的今日得到的本息和。14. 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出1000 张票，募得票款6950元，成人票每张8 元，学生票每张5 元，问成人票和学生票各卖了多少张？希望工程委员会决定把募捐款作为助学金发给山区的65 名学生， 其中每个初中生的助学金是 150 元，每个小学生的助学金为80 元，问发给初中生和小学生各多少人？15. 将若干支铅笔分给几个同学，若每人5 支还剩 3 支；若每人7 支还差 5 支，问有多少学生，有多少铅笔？16. 有一些分别标有3、6、9、12, 的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大3，小明拿到了相邻的3 张卡片，且这些卡片上的数字之和是342，（1）小明拿到了哪三张卡片？（2）小明拿到相邻的3 张卡片上的数字和能是95 吗？17. 在 3 点钟和 4 点钟之间，时钟上的分针和时针什么时候重合？18. 某厂第一月和第二月共生产化肥848 吨， 已知增长率为12% ， 求一月的产量是多少吨？试题答案1. 设百位上的数字为x，则个位上的数字为3x1，十位上的数字为4x3；原三位数表示为： 100 x10(4x 3) 3x1；交换后的三位数表示为：100（4x3） 10 x3x 1；根据题意得方程：100（4x3） 10 x3x1100 x10(4x 3) 3x 1270；化简得；270 x 540，解方程得；x2。所以，原三位数为257。2. 设后三个数字组成的三位数x，则原来的三位数表示为7000 x；新的三位数表示为10 x7；根据题意得方程；7000 x10 x7864；解方程得；x681；所以原三位数是7681。3. 设剩余部分需要x 小时完成，甲每天完成201，乙每天完成121；根据题意得方程；11220204xx；解方程得；x6，所以，剩余部分需要6 小时完成。4. 设竹排从重庆顺流漂到上海要用x 天，则竹排每天漂流总路程的1/x ，所以轮船在静水中每天航行总路程的比可表示为1/5 1/x 或 1/7 1/x ；得方程； 1/5 1/x 1/7 1/x ；解方程得； x35 天。5. 设打开 C管 x 小时后可将水池中注满水，则A水管每小时住满全池的1/6 ，B水管每小时住满全池的1/10 ，C水管每小时放掉满全池的1/9 ；根据题意得方程；（2.5/6 ）（2.5/10 ）x/6 x/10 x/9 1 化简得； 6015x9x10 x90，解得； x15/7（小时）。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6. （1）设两车同时开出相向而行，x 小时相遇，根据题意得方程；65x 85x 450，解方程得； x 3（小时）。（2）设快车先开出30 分钟后，两车相向而行，慢车行驶x 小时两车相遇，根据题意得方程； 65x850.5 85x450，解方程得；x 163/20 （小时）。7. 设小王出发x 小时后相遇，根据题意得方程；10 x8（x 3.5 ） 100 解得； x 4（小时）。8. 设通讯员x 小时可追上队伍，根据题意得方程；14x560185x，解方程得； x1/6（小时）。9. 设两车从相遇到分开共需x 秒，快车速度为50 千米 / 小时 125/9 米/ 秒，慢车速度为30 千米 / 小时 25/3 米/ 秒，根据题意得得方程；250200)3259125(x；解方程得； x81/4 （秒）。10. 设标价为x 元，则售价为0.8x 元，利润为（0.8x 60）元，根据题意得方程；%4060608.0 x；解方程得； x105（元）所以，标价为105 元，优惠价为84 元。11. 设商品售价应定为x 元，根据题意得方程；x（1040）（ 151012.5 40）（ 112% ），解方程得；x14.56 （元）。12. 设商品打x 折，根据题意得方程；300 x200（1 5% ），解得； x0.7 ；所以，商品打了 7 折。13. 明年的今日得到的本息和100 1000.945%12111.34 元。14. 设成人票卖了x 张，则学生票卖了（1000 x）张，根据题意得方程；8x5（1000 x） 6950 解得； x650，所以卖了成人票650 张，学生票350 张；设发给初中生x 人，则小学生（65x）人，根据题意得；150 x80（ 65x） 6950，J 解得； x25；所以，初中生有25 人，小学生有40 人。15. 设有 x 名学生，根据题意得；5x37x5，解得； x4；所以，有学生4 人，铅笔23 支。16. （1）设小明拿到的卡片分别是x3、x、x3；得方程； x3x x3342，解得；x114；所以，小明拿到了111，114，117。（2）根据上题结论；x95/3 ，所以，小明不可能拿到这样的三张卡片。17. 分析： 这个问题可以看作是环形跑道问题，把一圈看作是60 个单位长度，分针与时针相距 15 个单位长度，时针在前，分针在后，时针每分钟走个单位长，分针每分钟走一个单位长，两针同向而行，何时分针追上时针。解： 设在 3 点过 x 分钟后，两针重合，由题意得： xx15 解这个方程得：x 16答：两针在3 点过 16分时重合。18. 解： 设一月的产量是x 吨，由题意得x(1 12%)x848 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2.12x 848 x400 答：一月的产量是400 吨。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -