2022年三角函数、同角三角函数与诱导公式 .pdf

第四章三角函数与解三角形教 材 案考点考 纲 要 求考 点 解 读角的概念任意角的概念、弧度制1.了解任意角的概念 .2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.考查角的概念、 角的集合表示方式、 角度与弧度的互化.注意理解经过扩充之后 ,“第一象限角”“小于 90的角”与“锐角”的概念 ,等式 180= 3.14 的含义 .高考一般对角的概念不单独命题,而是作为基础穿插在其他三角问题之中考查 .三角函数的化简与求值三角函数1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切 )的定义 .2.掌握,的正弦、余弦、正切的诱导公式 ,能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性 .3.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等 ),理解正切函数在区间 (-,)内的单调性.4.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.5.了解函数y=Asin(x+)的物理意义 ,能画出 y=Asin(x+)的图象 ,了解参数 A,对函数图象变化的影响 .6.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 ,会用三角函数解决一些简单的实际问题.和与差的三角函数公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公考查单位圆中的三角函数线,同角基本关系、诱导公式,基本函数的图象与性质.利用同角基本关系式时,由角的范围确定开方后的三角函数的正负.高考试题常以求值题的形式考查公式应用 ,以函数值的比较考查基本函数,三角函数线、基本三角函数的图象作为数形结合工具也应用于解题过程中 ,通常体现在解决函数y=Asin(x+)的相关问题中 .一般以选择、填空题的形式出现,难度为中档偏容易题,预计 2014年高考仍以小题目综合化的方式命题.考查公式的综合应用,注意通过“角”的关系选择相应的公式 .高考试题常以综合运用和差及倍角公式解决求值问题、函数的化简问题.一般为选择、填空题中的中档题,解答题中的容易题 .名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 式.2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 .3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式 ,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 ,了解它们的内在联系 .简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆 ).解三角形解三角形1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 .2.应用能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考查应用正弦定理、 余弦定理解决三角形中的边角互化,以及利用方程思想解决求值的问题.高考试题通常以三角形为背影 ,融汇三角函数公式、三角函数图象与性质、解三角形等知识 ,新课标增加了解三角形应用之后,近几年高考中相应出现了三角函数的实际应用题.一般为中档题 .预计 2014年高考仍以综合化题目的方式命题.从三年考纲对比可以看出高考对三角函数与解三角形的考查有如下特点:1.题型考查全面,客观题主要是对三角函数的求值、化简、三角函数的图象及简单性质等的考查 ,解答题经常以三角变换为工具,综合考查三角函数的图象和性质;或以正、 余弦定理为工具 ,考查解三角形及其应用.如 2012 年新课标全国卷理第9 题,2011 年新课标全国卷理第11题就是对三角函数图象的对称性、单调性及最值等性质的综合考查.因此我们在复习备考期间要注意本板块各知识点间的联系.2.试题难度不大,以中低档试题为主,且试题大多来源于教材,是例题、 习题的变形与创新.如 2012年新课标全国卷理第17题就是对解三角形的考查,试题难度不大;再如 2011年新课标全国卷理第9 题,就是对同角三角函数基本关系式的简单应用.这一考向也体现了高考复习的导向作用 ,要求我们高三的复习备考要立足基础知识.4.1三角函数、同角三角函数与诱导公式名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 知识诠释思维发散一、利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角 ,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin =,cos =,tan =. 在的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r=0.过 P 作 x轴的垂线 ,垂足为M,则 sin =,cos =,tan =. 二、同角三角函数关系式sin2+ cos2= 1,=. 同角三角函数的基本关系式的主要应用是:已知一个角的三角函数值,求此角的其他三角函数值 .在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围 ,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.三、常用关系式(1)当 x (0, )时,有 sin xx. (2)sin(x+)cos( -x)= cos(x- ). (3)sin +cos ,sin -cos ,sin cos 三式之间可以互相表示.设 sin + cos =t -,两边平方 ,得 1+2sin cos =t2,sin cos =. 设 sin -cos =t -,同理有 1-2sin cos =t2,sin cos =. 四、三角函数诱导公式( +)奇变偶不变 (对 k 而言 ,指 k 取奇数或偶数),符号看象限 (看原函数 ,同时可把 看成是锐名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤 :(1)负角变正角 ,再写成 2k+ ,0 2;(2)转化为锐角三角函数:- + 2-2k+(kZ)-sin -sin sin -sin -sin sin cos cos cos -cos -cos cos cos sin 五、三角函数线如 图 , 我 们 把 三 条 与 单 位 圆 有 关 的 有 向 线 段MP,OM,AT分 别 叫 做 角 的,统称为. 1.下列三角函数值为负值的是()(A )tan 2013.(B)sin(-).(C)cos(-450).(D)sin .2.已知角 的终边上一点 (1,-3),则 10sin +的值为()(A )1.(B)-1.(C)1.(D)0.3.已知 sin( -)=log8,且 (- ,0),则 tan(+)的值是()(A ).(B)-. (C).(D)-.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 核心突围技能聚合题型 1三角函数定义的应用例 1(1)已知角 的终边经过点P(4,-3),则 2sin +cos =; (2)已知角 的终边经过点P(4a,-3a)(a 0),则 2sin +cos =; (3)已知角 终边上一点P与 x 轴的距离和与y 轴的距离之比为34,则 2sin +cos =. 变式训练 1(1)角的终边上的点P 与点 A(-1,1)关于 x 轴对称 ,则 sin =; (2)角的终边上的点Q 与点 B(0,1)关于直线y=x 对称 ,则 cos =; (3)角的终边上的点R 与点 C(1,-1)关于原点对称,则 tan =. 题型 2同角三角函数关系的应用例 2已知 0 ,若 cos -sin =-,试求的值 .变式训练 2若=cos ,求 sin 的值 .题型 3三角恒等式的证明例 3求证 :=-.名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 变式训练 3求证 :=.题型 4同角三角函数及诱导公式的综合应用例 4是否存在 、 ,且 (-, ), (0, ) 使等式sin(3 - )=cos(-),cos(-)=-cos(+)同时成立 ?若存在 ,求出 、 的值 ;若不存在 ,请说明理由 .变式训练 4已知关于 x的方程 4x2-2(m+1)x+m= 0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦值,求实数 m 的值 .任意角的三角函数的定义,同角间的三角函数基本关系、诱导公式是任意角的三角函数的基础 ,因而要注意如下几点:1.熟练地掌握常用的方法与技巧,在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制;2.要注意差异分析,又要活用公式,要善于瞄准解题目标进行有效的变形,其解题一般思维模式 :发现差异 ,寻找联系 ,合理转化 ;3.运用同角三角函数关系式化简、证明,常用的变形措施有:大角化小 ,应用“弦化切”的技巧 ,即分子、分母同除以一个不为零的cos ,得到一个只含tan 的三角函数 .例若 A (0,),且 sin A+ cos A=,则=. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 【错解】或-.【剖析】直接由sin A+cos A=,及 sin2A+ cos2A= 1 求出 sin A,cos A 的值 ,求得两解 ,忽略隐含限制 :A (0,)出错 .【正解】由?或由 A知应舍去 ,即故=.【答案】基础角度思路“课时训练”见精练案P245 第四章三角函数与解三角形教材案名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4.1三角函数、同角三角函数与诱导公式知识梳理一、yx二、tan 三、(1)tan x(2)=(3)五、正弦线 余弦线 正切线 三角函数线基础自测1.D2.D3.B典例剖析例1 (1)-(2)- 或(3) 或2变式训练1(1)-(2)1 (3)-1例2-变式训练2例3 略变式训练3略例4 存在,=,=变式训练4名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -