2022年椭圆典型例题整理教师版 .pdf
学习必备欢迎下载椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：已知椭圆的焦点是F1(0， 1)、 F2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。解：由 PF1PF22F1F2224，得 2a4.又 c1，所以 b23. 所以椭圆的标准方程是y24x231. 2已知椭圆的两个焦点为F1( 1,0)， F2(1,0)，且 2a10，求椭圆的标准方程解： 由椭圆定义知c1，b52124. 椭圆的标准方程为x225y2241. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例： 1. 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解： （1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（ 2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例求过点 (3,2)且与椭圆x29y241 有相同焦点的椭圆的标准方程解： 因为c2945，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2y2a251. 由点 ( 3,2) 在椭圆上知9a24a2 51，所以a215. 所以所求椭圆的标准方程为x215y210 1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解： 由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，42a，1422yx为所求五、求椭圆的离心率问题。例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解：31222cac223ac，3331e例 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值解： 当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc由21e，得4k当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12由21e，得4191k，即45k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载满足条件的4k或45k六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例： 1.若 ABC 的两个顶点坐标A(4,0)，B(4,0)， ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。解：顶点 C 到两个定点 A，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a10，所以 a5,2c8，所以 c4，所以 b2a2c29，故顶点 C 的轨迹方程为x225y291.又 A、B、C 三点构成三角形， 所以 y0.所以顶点 C 的轨迹方程为x225y291(y0)答案：x225y291(y0) 2已知椭圆的标准方程是x2a2y2251(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F28，弦AB过点F1，求 ABF2的周长因为 F1F28，即即所以 2c8，即 c4，所以 a2251641，即 a41，所以 ABF2的周长为 4a4 41. 3设 F1、F2是椭圆x29y241 的两个焦点 ,P 是椭圆上的点，且PF1: PF22: 1，求 PF1F2的面积解析： 由椭圆方程，得a3，b2，c5，PF1PF22a6.又 PF1PF221，PF14，PF22，由 2242(2 5)2可知 PF1F2是直角三角形，故 PF1F2的面积为12PF1 PF212244. 七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k解法一： 设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk由韦达定理得22212122kkkxxP是弦中点，121xx故得21k所以所求直线方程为0342yx解法二： 设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，则由题意得1.11212212122222121yyxxyxyx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载得0222212221yyxx将、代入得212121xxyy，即直线的斜率为21所求直线方程为0342yx2直线 l：kxyk0 与椭圆x24y221 的位置关系是() A相交B相离C相切D不确定解析： kxyk0， yk(x1)，即直线过定点(1,0)，而 (1,0)点在x24y22 1 的内部，故l 与椭圆x24y221相交答案： A 3.若直线 yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则m 的取值范围是 () A. ( ， 0)(1， ) B. (1,3) (3， ) C. (， 3)(3,0) D. (1,3) 解析： 本题考查直线与椭圆的位置关系由y x2，x2my231消去 y，整理得 (3m)x24mxm0. 若直线与椭圆有两个公共点，则3m0， 4m24m 3m 0，解得m3，m1.由x2my23 1 表示椭圆知， m0 且 m3.综上可知， m 的取值范围是m1 且 m3，故选 B. 答案： B 42014 郑州外国语学校月考已知椭圆x23y221 的左、右焦点分别为F1， F2，过 F1且倾斜角为45 的直线l与椭圆相交于A，B 两点(1)求 AB 的中点坐标；(2)求 ABF2的周长与面积解： (1)由x23y221，知 a3，b2，c1. F1(1,0)，F2(1,0)， l 的方程为yx 1，联立x23y221，yx1，消去 y 得 5x26x30. 设 A(x1，y1)，B(x2， y2)，AB 中点 M(x0， y0)，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载x1 x265，x1x235，x0 x1x2235，y0y1y22x11 x212x1x22125(或 y0 x0135125)，中点坐标为M(35，25)(2)由题意知， F2到直线 AB 的距离 d|1 01|1212222，|AB|1k2l x1x224x1x28 35， SABF212|AB|d128 3524 65， ABF2的周长 4a43. 5已知椭圆4x2y21 及直线 yx m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解： (1)由4x2y21，yxm，得 5x2 2mx m210. 因为直线与椭圆有公共点，所以 4m220(m21)0. 解得52m52. (2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，由 (1)知， 5x22mxm210，由根与系数的关系得x1x22m5，x1x215(m21)设弦长为d，且 y1y2 (x1m)(x2m)x1x2， dx1 x22 y1y222 x1 x222 x1x224x1x2 24m22545m2 125108m2. 当 m0 时， d 最大，此时直线方程为yx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载八、椭圆中的最值问题例 椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31 ，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标解： 由已知：4a，2c所以21e，右准线8xl：过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2显然MFAM2的最小值为AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上故32Mx所以332，M7设 P 为椭圆x24y291 上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|PF2|的最大值是 _解析： 由已知 a3，|PF1|PF2|2a6， |PF1| |PF2| (|PF1|PF2|2)29. 当且仅当 |PF1|PF2|3 时，式中等号成立故 |PF1| |PF2|的最大值为9. 答案： 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
