2022年一元二次方程解法讲义 .pdf

精品资料欢迎下载龙文教育学科教师辅导讲义课题一元二次方程的解法教学目标1.理解一元二次方程及其有关概念2.会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点1.一元二次方程的判定，求根公式2.一元二次方程的解法与应用考点及考试要求1.一元二次方程的定义,一般形式，配方式2.熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法 ,配方法 .，因式分解，公式法去3.一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念(1) 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2) 一般表达式：)0(02acbxax注：当 b=0时可化为02cax这是一元二次方程的配方式(3) 四个特点： (1) 只含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2；(3) 是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（ a0）(4) 难点： 如何理解“未知数的最高次数是2” ：该项系数不为“ 0” ；未知数指数为“ 2” ；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题 ：例 1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A 12132xx B 02112xx C 02cbxaxD 1222xxx变式： 当 k 时，关于 x 的方程3222xxkx是一元二次方程。例 2、方程0132mxxmm是关于 x 的一元二次方程，则m的值为。考点二、方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用： 利用根的概念求代数式的值；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载典型例题 ：例 1、已知322yy的值为 2，则1242yy的值为。例 2、关于 x 的一元二次方程04222axxa的一个根为 0，则 a 的值为。说明： 任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例 3、已知关于x 的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为。说明： 本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1 ”巧解代数式的值。例 4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，则m 的值为。例 5、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式： 若0122aa，0122bb，则abba的值为。6、方程02acxcbxba的一个根为（）A 1 B 1 C cb D a7、若yx则yx324,0352。考点三、方程解法（1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。（2）方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如mxmmx其解为：,02对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题 ：例 1、解方程：; 08212x（2）7)132x（; 09132x（4）2221619xx（5）11162492xx例 2、解关于 x 的方程：02bax3. 下列方程无解的是（）A.12322xx B.022x C.xx132 D.092x类型二、配方法基本步骤 :1.先将常数c 移到方程右边 2.将二次项系数化为1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4. 方程左边成为一个完全平方式：在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题 ：例 1、试用配方法说明322xx的值恒大于 0，47102xx的值恒小于 0。例 2、已知 x、y 为实数，求代数式74222yxyx的最小值。变式：若912322xxt，则 t 的最大值为，最小值为。例 3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。变式 1：已知041122xxxx，则xx1 . 变式 2：如果4122411bacba, 那么cba32的值为。例 4、分解因式：31242xx类型三、因式分解法 :把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的 根 ， 就 是 原 方 程 的 两 个 根 。 这 种 解 一 元 二 次 方 程 的 方 法 叫 做 因 式 分 解 法021xxxx21,xxxx或方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0” ，方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx分解方法 : 提公因式 , 利用平方差与完全平方公式, 十字相乘法针对练习 ：例 1、3532xxx的根为（）A 25x B 3x C 3,2521xx D 52x例 2. （1）221694ba( 平方差 ) (2) yxyxyx3234268( 提公因式 ) （3）22)(4)(nmnm（平方差 ) （4）962aa ( 完全平方式 ) (5）223612yxxy ( 完全平方式 ) （ 6）4)(5)(2baba（十字相乘法）（7）22127qpqp（十字相乘法）（8）32)2(2)2(5mnnmn( 提公因式 ) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载例 3、若044342yxyx，则 4x+y 的值为。例 4、方程062xx的解为（）A.2321，xx B.2321，xx C.3321，xx D.2221，xx例 5、解方程：04321322xx例 6、已知023222yxyx, 则yxyx的值为。变式：已知023222yxyx, 且0,0 yx, 则yxyx的值为。例 7、解下列方程(1) (2x 3)2 = (3x 2)2 (2) 4x+145 -x-52 = 23 x+2 (4) 5m2 17m + 14=0 (5) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42 (6) 2x2 + (3a-b)x 2a2+3ab- b2 =0 例 8、解关于 x 的方程 x2+x 2+k(x2+2x)=0 （对 k 要讨论）类型四、 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式, 就可得到方程的根。条件：04,02acba且公式：aacbbx242,04,02acba且典型例题 ：例 1、选择适当方法解下列方程：.6132x.863 xx0142xx01432xx5211313xxxx说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例 2、在实数范围内分解因式：（1）3222xx；（2）1842xx. 22542yxyx说明：对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成cbxax2=)(21xxxxa. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、“降次思想”的应用主要内容： 求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题 ：例 1、已知0232xx，求代数式11123xxx的值。例 2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。例 3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形；能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。例 4、用两种不同的方法解方程组)2(.065) 1(, 6222yxyxyx说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题. 考点四、根与系数的关系前提： 对于02cbxax而言，当满足0a、0时，才能用韦达定理。主要内容：acxxabxx2121,应用： 整体代入求值。典型例题 ：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（） A.3 B.3 C.6 D.6说明 ： 要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系， 必须熟练掌握ba、ba、 ab、22ba之间的运算关系 . 例 2、解方程组：. 2,10)2(;24,10)1 (22yxyxxyyx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载说明：一些含有yx、22yx、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题. 有时，后者显得更为简便. 例 3、已知关于 x 的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,xx，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。例 4、当 k取何值时，方程04234422kmmxmxx的根与m均为有理数？例 5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 6、已知ba，0122aa，0122bb，求ba变式：若0122aa，0122bb，则abba的值为。例 7、已知,是方程012xx的两个根，那么34 . 测试题目 ：一、选择题1解方程： 3x2+27=0得（）. (A)x= 3 (B)x=-3 (C) 无实数根 (D) 方程的根有无数个2方程（ 2-3x ）+（3x-2 ）2=0 的解是（）. (A),x2=-1 (B) ,(C)x1=x2= (D) ,x2=1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载3. 方程(x-1)2=4 的根是 ( ). (A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2 4. 用配方法解方程 :正确的是 ( ). (A) (B)(C), 原方程无实数解 (D) 原方程无实数解5. 一元二次方程用求根公式求解 , 先求 a,b,c 的值, 正确的是 ( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=-,c=2 (C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b=,c=2 6用公式法解方程： 3x2-5x+1=0，正确的结果是（）. （A）（B）（C）（D）都不对二、填空7方程 9x2=25的根是 _. 8. 已知二次方程 x2+(t-2)x-t=0有一个根是 2, 则 t=_, 另一个根是 _. 9. 关于 x 的方程 6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0 有一个根是 0, 则 m的值为 _. 10. 关于 x 的方程 (m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为 _. 11. 方程(x+2)(x-a)=0和方程 x2+x-2=0 有两个相同的解 , 则 a=_. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载三、用适当的方法解下列关于x 和 y 的方程12（x+2）（x-2 ）=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)2 14.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0. 16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0. 18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0. 20.a2x2+2abx+b2- 4=0(a0). 21 （b-c）x2-（c-a ）x+ （a-b）=0 （ac）22用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0. （A） 因式分解法（B）配方法（C ）公式法23解方程：（1）（2）24解关于 x 的方程： x2-2x+1-k （x2-1 ）=0 25已知 |2m-3|=1 ，试解关于 x 的方程 3mx （x+1）-5（x+1） （x-1 ）=x2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载26、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55 元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下， 使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少？27、将一条长 20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少? 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -